ブリーザー面

微分幾何学において、ブリーザー面は、理論物理学に現れる微分方程式であるサイン・ゴードン方程式のブリーザー解^[1]に対応する、1パラメータの数学的面の族である。この面は、曲率が明確に定義されている一定の曲率を持つという注目すべき特性を持つ。このため、ブリーザー面は一般化擬球の例となる。 ${\displaystyle -1}$

擬球と呼ばれる一定の曲率-1 の埋め込まれた表面と、サイン・ゴードン方程式の解との間には対応関係があります。この対応関係は、擬球の最も単純な例であるトラクトロイドから構築できます。漸近座標と呼ばれる特殊な座標系では、ガウス・コダッツィ方程式は、所定の第 1および第 2 基本形式の表面を平坦な計量を持つ3 次元空間に埋め込むことができる場合を規定する無矛盾方程式であり、サイン・ゴードン方程式に簡約されます。

この対応では、トラクトロイドは、サイン・ゴードン解の静的な 1 ソリトン解に対応します。サイン・ゴードンのローレンツ不変性により、1 パラメータのローレンツ ブーストファミリを静的解に適用して新しい解を得ることができます。擬似球面側では、これらはリー変換と呼ばれ、トラクトロイドをディニ面と呼ばれる 1 パラメータの面ファミリに変形します。

Bäcklund 変換法を使用すると、サイン ゴードン方程式の多数の異なる解、つまり多重ソリトン解を構築できます。たとえば、2 ソリトンは Kuen 面に対応します。ただし、これにより無限の解の族が生成されますが、ブリーザー解はその中に含まれません。

ブリーザー解は、正弦ゴードン方程式の逆散乱法から導かれます。 ^[2]ブリーザー解は空間的には局在しますが、時間的には振動します。

サイン ゴードン方程式の各解は、ガウス コダッツィ方程式を満たす第 1 および第 2 の基本形式を与えます。曲面理論の基本定理は、規定された第 1 および第 2 の基本形式を回復するパラメーター化された曲面が存在することを保証します。パラメーター化は局所的には適切に動作しますが、任意に拡張すると、結果として得られる曲面は自己交差や尖点を持つ可能性があります。実際、ヒルベルトの定理によれば、任意の擬似球は に規則的に (大まかに言えば、尖点なしで) 埋め込むことはできません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

パラメータによるパラメータ化は次のように与えられる 。${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3};(u,v)\mapsto (x,y,z)}$${\displaystyle 0<a<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&{}=-u+{\frac {2\left(1-a^{2}\right)\cosh(au)\sinh(au)}{a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}\\\\y&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\cos(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)-\sin(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}\\\\z&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\sin(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)+\cos(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}\end{aligned}}}$

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• バーチャル数学博物館のブリーザー面