ヘックマン補正

ヘックマン補正は、非ランダムに選択されたサンプルや、偶発的に打ち切られた従属変数によるバイアスを補正するための統計的手法であり、観測データを使用する定量的社会科学において広く見られる問題である。^{[ 1 ]}概念的には、これは各観測の個々のサンプリング確率（いわゆる選択方程式）と従属変数の条件付き期待値（いわゆる結果方程式）を明示的にモデル化することによって達成される。結果として得られる尤度関数は、打ち切り従属変数のトビットモデルと数学的に類似しており、この関連性は1974年にジェームズ・ヘックマンによって初めて指摘された。 ^{[ 2 ]}ヘックマンはまた、このモデルを推定するための2段階制御関数アプローチを開発した。 ^{[ 3 ]}これは、非効率性という代償を伴うものの、両方の方程式を同時に推定する計算上の負担を回避するものである。^{[ 4 ]}ヘックマンはこの分野での業績により、2000年にノーベル経済学賞を受賞した。 ^{[ 5 ]}

無作為に抽出されていないサンプルに基づく統計分析は、誤った結論を導く可能性があります。ヘックマン補正は、2段階の統計的手法であり、無作為に抽出されていないサンプルによる影響を補正する手段となります。

ヘックマンは、行動関係を推定する際に非ランダムに選択されたサンプルを使用することによるバイアスを、仕様誤差として論じた。彼は、このバイアスを補正するための2段階推定法を提案している。この補正法は制御関数の概念を用いており、実装が容易である。ヘックマンの補正法は正規性の仮定を前提とし、サンプル選択バイアスの検定とバイアス補正モデルの式を提供する。

ある研究者が賃金提示額の決定要因を推定したいと考えているが、実際に働いている人の賃金データしか入手できないと仮定します。働いている人は母集団から無作為に選ばれているわけではないため、働いている人というサブグループから賃金の決定要因を推定すると、バイアスが生じる可能性があります。ヘックマン補正は2段階で行われます。

最初の段階では、研究者は経済理論に基づいて、就労確率のモデルを定式化する。この関係の標準的な仕様は、次の形式のプロビット回帰である。

${\displaystyle \operatorname {Prob} (D=1|Z)=\Phi (Z\gamma ),}$

ここで、Dは雇用状況を示し（回答者が雇用されている場合はD  = 1、そうでない場合はD = 0）、Zは説明変数のベクトルである。   ${\displaystyle \gamma }$は未知のパラメータのベクトルであり、Φは標準正規分布の累積分布関数である。このモデルを推定することで、各個人の就業確率を予測するために使用できる結果が得られる。

第２段階では、研究者は、予測された個々の確率の変換を追加の説明変数として組み込むことにより、自己選択を補正する。賃金方程式は次のように指定できる。

${\displaystyle w^{*}=X\beta +u}$

どこ${\displaystyle w^{*}}$これは、回答者が働いていない場合には観察されない、基礎となる賃金提示額を表します。その人が働いている場合の賃金の条件付き期待値は次のようになります。

${\displaystyle E[w|X,D=1]=X\beta +E[u|X,D=1].}$

誤差項が同時正規分布に従うという仮定の下で、

${\displaystyle E[w|X,D=1]=X\beta +\rho \sigma _{u}\lambda (Z\gamma ),}$

ここでρは、働く傾向の観測不能な決定要因間の相関である。${\displaystyle \varepsilon }$賃金提示の観測不能な決定要因u、σ _uは標準偏差です ${\displaystyle u}$、 そして${\displaystyle \lambda }$逆ミルズ比は、${\displaystyle Z\gamma }$この方程式は、サンプル選択が、 Xと の両方を条件とする省略変数バイアスの一形態として見なせるというヘックマンの洞察を示している。${\displaystyle \lambda }$サンプルがランダムに選択されたかのようです。賃金方程式は、置き換えることで推定できます。${\displaystyle \gamma }$第1段階のプロビット推定値を用いて、${\displaystyle \lambda }$期間、そしてそれを賃金方程式の線形回帰推定における追加の説明変数として含めること。${\displaystyle \sigma _{u}>0}$係数${\displaystyle \lambda }$ゼロになるのは、${\displaystyle \rho =0}$係数が${\displaystyle \lambda }$ゼロであることは、サンプル選択性をテストすることと同等である。

ヘックマンの業績は、経済学だけでなく他の社会科学においても数多くの実証的応用を生み出した。このオリジナルの方法は、その後、ヘックマン自身や他の研究者によって一般化された。^{[ 6 ]}

ヘックマン補正は、第2段階のOLS推定によって生成される共分散行列が不整合である2段階M推定量です。 ^{[ 7 ]}正しい標準誤差やその他の統計量は、漸近近似またはブートストラップなどのリサンプリングによって生成できます。^{[ 8 ]}

• 上述の2段階推定量は、限定情報最尤推定量（LIML）である。漸近理論およびモンテカルロシミュレーションで実証された有限サンプルでは、​​完全情報（FIML）推定量の方が統計的特性が優れている。しかし、FIML推定量は計算上実装がより困難である。^{[ 9 ]}
• 標準モデルでは、誤差が同時正規分布に従うと仮定します。この仮定が成り立たない場合、推定量は一般的に不一致となり、小標本では誤った推論をもたらす可能性があります。^{[ 10 ]}このような場合、セミパラメトリック法やその他のロバストな代替法を使用できます。^{[ 11 ]}
• このモデルは、同じ共変量が選択方程式と関心のある方程式に現れる場合、正規性の仮定から形式的な識別を得ますが、逆ミルズ比に実質的な非線形性がある裾野に多くの観測値がない限り、識別は不安定になります。一般に、信頼できる推定値を生成するには除外制約が必要です。選択方程式に非ゼロの係数で現れるが関心のある方程式には現れない変数が少なくとも 1 つ必要であり、これは本質的に操作変数です。そのような変数が利用できない場合、サンプリング選択性を補正することが困難になる可能性があります。^{[ 9 ]}これには 2 つの理由があります。操作変数がない場合、識別は、通常非常に弱いと考えられる関数形式の仮定に依存します。^{[ 12 ]}さらに、仮定が成り立つ場合でも、選択された関数は調査対象領域で線形関数形式に非常に近い場合があり、第 2 段階で多重共線性の問題を引き起こします。

• R : ヘックマン型手順はsampleSelectionパッケージの一部として利用可能です。^{[ 13 ] [ 14 ]}
• Stata :このコマンドはheckmanヘックマン選択モデルを提供します。^{[ 15 ] [ 16 ]}

• 傾向スコアマッチング– 統計的マッチング手法 
• ロイモデル– 経済学における自己選択モデル 

• アチェン、クリストファー・H. (1986). 「準実験における治療効果の推定 ：打ち切りデータの場合」 . 『準実験の統計分析』 . バークレー：カリフォルニア大学出版局. pp. 97–137 . ISBN  0-520-04723-0。
• Breen, Richard (1996).回帰モデル ：打ち切りデータ、標本選択データ、または切断データ. Thousand Oaks: Sage. pp. 33–48 . ISBN  0-8039-5710-6。
• Fu, Vincent Kang; Winship, Christopher ; Mare, Robert D. (2004). "サンプル選択バイアスモデル".Hardy, Melissa; Bryman, Alan (編). 『データ分析ハンドブック』 .ロンドン：Sage.pp. 409–430 . doi : 10.4135 /9781848608184.n18 . ISBN  0-7619-6652-8。
• Greene, William H. ( 2012). 「偶発的打ち切りと標本選択」『計量経済学分析』 （第7 版）ボストン：ピアソン。pp. 912–27。ISBN  978-0-273-75356-8。
• Vella, Francis (1998). 「サンプル選択バイアスのあるモデルの推定：概説」。Journal of Human Resources . 33 (1): 127–169 . doi : 10.2307/146317 . JSTOR 146317 . 

• ノーベル賞受賞者ヘックマンに関する事実。