射影束

数学において、射影束とは、そのファイバーが射影空間であるファイバー束のことである。

定義によれば、ネーター的スキームS上のスキームXは、局所的に射影的n空間である場合にP ⁿバンドルである。${\displaystyle X\times _{S}U\simeq \mathbb {P} _{U}^{n}}$また、遷移自己同型は線形である。滑らかな多様体のような正則スキームS上では、すべての射影束は次の形式である。${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$あるベクトル束（局所的に自由な層）Eについて。^{[ 1 ]}

多様体X上の任意のベクトル束は、ファイバーの射影空間を取ることで射影束を与えるが、すべての射影束がこのようにして生じるわけではない。コホモロジー群H ² ( X ,O*)には障害がある。その理由を理解するために、射影束には適切な開被覆の二重交差上の遷移関数が備わっていることを思い出そう。三重重なりでは、これらの遷移関数の任意の持ち上げは、可逆関数を除いてコサイクル条件を満たす。これらの関数の集合は 2-コサイクルを形成し、射影束がベクトル束の射影化である場合に限り、 H ² ( X ,O*) で消滅する。特に、Xがコンパクトなリーマン面である場合、H ² ( X ,O*)=0 となり、この障害は消滅する。

ベクトル束Eの射影束はグラスマン束と同じものである。${\displaystyle G_{1}(E)}$Eの 1 平面の。

ベクトル束Eの射影束P ( E )は、次の普遍的な性質によって特徴付けられます。^{[ 2 ]}

射f : T → Xが与えられたとき、射影写像p : P ( E ) → Xを通してf を因数分解することは、 f ^* Eの線部分束を指定することである。

例えば、fをpとすると、 p ^* Eの線部分束O (-1)が得られ、これはP ( E )上のトートロジー線束と呼ばれます。さらに、このO (-1) は普遍束であり、線束L がf = p ∘ gという因数分解を与える場合、Lはgに沿ったO (-1)の引き戻しとなります。O ( -1)のより明示的な構成については、Cone# O (1)も参照してください。

P ( E )上には、自然な完全列（トートロジー的完全列と呼ばれる）が存在する。

$\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} (E)}(-1)\to p^{*}E\to Q\to 0}$

ここで、Qはトートロジー商束と呼ばれる。

E ⊂ FをX上のベクトル束 (有限ランクの局所自由層) とし、G = F / Eとする。q : P ( F ) → Xを射影とする。このとき、自然写像O (-1) → q ^* F → q ^* Gは層hom Hom( O (-1), q ^* G) = q ^* G ⊗ O (1)の大域切断である。さらに、この自然写像は、点がE内の直線である場合に限り、その点で消滅する。言い換えれば、この切断の零点軌跡はP ( E ) である。

この構成の特に有用な例は、F がEと自明な線束 (すなわち構造層)の直和E ⊕ 1である場合です。このとき、 P ( E ) はP ( E ⊕ 1 )内の超平面であり、無限遠の超平面と呼ばれ、P ( E ) の補集合はEと同一視できます。このようにして、P ( E ⊕ 1) はEの射影完備化 (または「コンパクト化」) と呼ばれます。

射影束P ( E ) は、直線束によるEのねじれに対して安定である。正確には、直線束Lが与えられたとき、自然な同型が存在する。

${\displaystyle g:\mathbf {P} (E){\overset {\sim }{\to }}\mathbf {P} (E\otimes L)}$

そのため${\displaystyle g^{*}({\mathcal {O}}(-1))\simeq {\mathcal {O}}(-1)\otimes p^{*}L.}$^{[ 3 ]}（実際には、右側の線束に普遍性を適用することでg

射影束の非自明な例は、ファイブレーションを用いて多数見つけることができる。${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$例えば、レフシェッツファイブレーションなど。例えば、楕円形のK3曲面${\displaystyle X}$繊維状構造を持つK3表面です

$\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} ^{1}}$

繊維が${\displaystyle E_{p}}$のために$\displaystyle p\in \mathbb {P} ^{1}}$一般的に楕円曲線である。すべての楕円曲線は特異点を持つ種数1の曲線であるため、ファイブレーションのグローバルセクションが存在する。このグローバルセクションにより、モデルが存在する。${\displaystyle X}$射影束への射を与える^{[ 4 ]}

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})}$

ワイエルシュトラス方程式によって定義される

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}$

どこ${\displaystyle x,y,z}$ローカル座標を表す${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}}$それぞれ、係数

${\displaystyle a_{i}\in H^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(2i))}$

は、${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$。この方程式は、ワイエルシュトラス方程式の各項が全次数を持つため、適切に定義されていることに注意してください。${\displaystyle 12}$（係数の次数と単項式の次数の合計を意味します。たとえば、${\displaystyle {\text{deg}}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12}$)

接触束、より一般的にはグラスマン束は射影束である。リーマン多様体の単位接束は、その射影接束の二重被覆である。

X を複素滑らかな射影多様体とし、E をその上の階数rの複素ベクトル束とする。p : P ( E ) → X をEの射影束とする。このとき、コホモロジー環H ^* ( P ( E )) は、引き戻しp ^*を介してH ^* ( X )上の代数となる。このとき、第 1チャーン類ζ = c ₁ ( O (1)) は、関係式によって H ^* ( P ( E ))を生成する。

${\displaystyle \zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0}$

ここでc _i ( E ) はEのi番目のチャーン類です。この記述の興味深い特徴の 1 つは、チャーン類を関係式の係数として定義できることです。これはグロタンディークが採用したアプローチです。

複素体以外の体では、コホモロジー環の代わりにチャウ環を用いる場合、同じ記述が成り立つ（ Xは滑らかであると仮定する）。特に、チャウ群については、直和分解が存在する。

${\displaystyle A_{k}(\mathbf {P} (E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\zeta ^{i}A_{k-r+1+i}(X).}$

結果として、この分解はXが滑らかでも射影的でもなくても有効であることが判明した。^{[ 5 ]}対照的に、A _k ( E ) = A _{k - r} ( X ) は、ギシン準同型を介して、 Eのファイバー、つまりベクトル空間が縮約可能であるため、道徳的に成り立つ。

• プロジェクト建設
• 円錐（代数幾何学）
• 線織面（射影束の一例）
• セヴェリ・ブラウアー品種
• ヒルツェブルッフ面

• エレンクワグ、G.ナラシンハン、MS (1983)、「複雑なトーラス上の射影バンドル」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1983 (340): 1–5、doi : 10.1515/crll.1983.340.1、ISSN 0075-4102、MR 0691957、S2CID 122557310   
• Fulton, William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol.  2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4MR 1644323​ 
• ハートショーン、ロビン（1977）、『代数幾何学』、大学院数学テキスト、第 52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90244-9MR 0463157​