連絡先バンドル

微分幾何学において、接触束は滑らかな多様体から構成される特定の種類のファイバー束である。接束がパラメータ化された曲線の局所的な振る舞いを記述する多様体であるのと同様に、接触束（次数1）はパラメータ化されていない曲線の局所的な振る舞いを記述する多様体である。より一般的には、次数kの接触束はk次元部分多様体の局所的な振る舞いを記述する多様体である。

接触束は各点における接空間のグラスマン多様体を組み合わせることによって得られるため、グラスマン束および射影束の特殊な場合である。

${\displaystyle M}$は${\displaystyle n}$次元の滑らかな多様体。${\displaystyle TM}$は、その接束である。${\displaystyle T^{*}M}$は、その余接束である。

k次接触要素​${\displaystyle p\in M}$は${\displaystyle k}$飛行機${\displaystyle E\subset T_{p}M}$。 のために${\displaystyle k=n-1}$これらは超平面である。

ベクトル空間が与えられた場合${\displaystyle V}$そのk次元部分空間の空間は${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}(V)}$それはグラスマン岩です。

の${\displaystyle k}$k 番目の接触束は、 k次接触要素のすべてからなる多様体である。$${\displaystyle C_{k}(M)=\bigsqcup _{p\in M}\mathrm {Gr} _{k}(T_{p}M)}$$投影と共に${\displaystyle \pi :C_{k}(M)\to M}$これは、典型的な繊維を持つ滑らかな繊維束です。${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}(\mathbb {R} ^{n})}$。 のために${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$これにより${\displaystyle n-1}$異なる束。各ポイントで${\displaystyle M}$ファイバーとは、点を通る次数kのすべての接触要素の空間である。${\displaystyle C_{k}(M)}$寸法がある${\displaystyle n+(nk)\times k}$。

${\displaystyle C_{k}(M)}$フレームバンドルの関連バンドルとして構築することもできます。$${\displaystyle \operatorname {Fr} (TM)\times _{GL(n,\mathbb {R} )}\operatorname {Gr} _{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$$標準アクションを介して${\textstyle GL(n,\mathbb {R} )}$の上${\textstyle \operatorname {Gr} _{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$スカラー部分群${\textstyle \mathbb {R} \times I_{n\times n}}$自明な作用をするため、その（有効な）構造群は射影線形群である。${\textstyle PGL(n,\mathbb {R} )}$それらはすべて同じプリンシパルに関連付けられていることに注意してください。${\textstyle GL(n,\mathbb {R} )}$-バンドル。

いつ${\displaystyle k=1}$射影接束との正準的な同一視が存在する。${\displaystyle \mathbb {P} (TM)}$線要素の束とも呼ばれます。各ファイバー${\displaystyle \mathrm {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n})}$自然に関連付けられる${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\,n-1}}$。 もし${\displaystyle M}$リーマン計量を持つ場合、その単位接束は${\displaystyle UT(M)}$ダブルカバー​${\displaystyle C_{1}(M)}$標識を忘れたことによって。

いつ${\displaystyle k=n-1}$射影化された余接束との自然な同一視が存在する。${\displaystyle \mathbb {P} (T^{*}M)}$この場合、全空間は、トートロジー的な1形式によって誘導される自然な接触構造を持つ。${\displaystyle T^{*}M}$詳しく言うと、超平面とは${\displaystyle H\subset T_{p}M}$は、共ベクトルの線に対応します。${\displaystyle T_{p}^{*}M}$それぞれの核は${\displaystyle H}$与える${\displaystyle C_{n-1}(M)\cong \mathbb {P} (T^{*}M)}$これは超平面要素の束とも呼ばれます。

各ポイントの周囲${\displaystyle M}$ローカル座標系を構築する${\displaystyle q^{1},\dots ,q^{n}}$。各接触要素は、局所的なアトラスを誘導します。${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$座標系。最初のシステムは次の形式です。${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{(n-k)\times (n-k)}|A\end{bmatrix}}}$、 どこ${\displaystyle A}$形状が の行列です${\displaystyle (n-k)\times k}$それ以外のものは、その列を並べ替えることによって得られる。

のk次元部分多様体${\displaystyle M}$一意にk次元部分多様体へと持ち上げる${\displaystyle C_{k}(M)}$これはガウス写像の一般化です。ただし、すべてのk次元部分多様体ではありません。${\displaystyle C_{k}(M)}$は、 k次元部分多様体のリフトである。${\displaystyle M}$実際、k次元部分多様体${\displaystyle C_{k}(M)}$は、 k次元部分多様体のリフトである。${\displaystyle M}$ある分布の整数多様体である場合${\displaystyle C_{k}(M)}$この分布は接触構造と呼ばれます。${\displaystyle C_{k}(M)}$。

特別な場合${\displaystyle k=n-1}$接触構造は次元の超平面の分布である${\displaystyle (2n-2)}$で${\displaystyle (2n-1)}$次元多様体${\displaystyle C_{n-1}(M)}$そして、それは最大限に非積分可能である。実際、「接触構造」とは、通常、この最大限非積分可能な場合と局所的に接触同相な分布のみを指す。

• グラスマン期
• グラスマン束
• ジェットバンドル
• 投影化
• 接触形状

• Blair, David E. (2010).接触多様体とシンプレクティック多様体のリーマン幾何学. Progress in Mathematics. Vol.  203 (第2 版). ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser. doi : 10.1007/978-0-8176-4959-3 . ISBN 978-0-8176-4958-6。
• バーク、ウィリアム・L. (1985).応用微分幾何学（復刻 版）. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-26317-7。