プレシーブの限界と限界

数学の一分野である圏論において、圏C上の前層の極限または余極限は、関手圏における極限または余極限である。^[1]${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

カテゴリは小さな極限と小さな余極限を許容する。^[2]明示的には、が小さなカテゴリIからの関数であり、UがC内のオブジェクトである場合、は点ごとに計算されます。 ${\displaystyle {\widehat {C}}}$${\displaystyle f:I\to {\widehat {C}}}$${\displaystyle \varinjlim _{i\in I}f(i)}$

${\displaystyle (\varinjlim f(i))(U)=\varinjlim f(i)(U).}$

同じことは小さな極限にも当てはまります。具体的には、たとえばファイバー積が存在し、点ごとに計算されることを意味します。

Cが小さいとき、米田の補題により、 Cを の完全なサブカテゴリとして見ることができる。 が関数であり、 が小さなカテゴリIからの関数であり、の余極限が表現可能、つまりC内のオブジェクトに同型である場合、^[3] Dにおいて、 ${\displaystyle {\widehat {C}}}$${\displaystyle \eta :C\to D}$${\displaystyle f:I\to C}$${\displaystyle \varinjlim f}$${\displaystyle {\widehat {C}}}$

${\displaystyle \eta (\varinjlim f)\simeq \varinjlim \eta \circ f,}$

(特に右側の余極限はDに存在します。)

密度定理は、すべての前層が表現可能な前層の余極限であることを述べています。

• 柏原正樹、シャピラ、ピエール(2006)。カテゴリーと層。