完全トーティエント数

数論では、完全トーティエント数は、反復されたトーティエントの合計に等しい整数です。つまり、トーティエント関数を数nに適用し、その結果のトーティエントに再度適用する、という操作を数 1 に達するまで繰り返し、結果として得られる数列を加算します。合計がn に等しい場合、n は完全トーティエント数です。

たとえば、9 より小さく、9 と互いに素な正の整数が 6 つあるため、9 のトーティエントは 6 です。6 より小さく、9 と互いに素な数は 2 つあるため、6 のトーティエントは 2 です。2 より小さく、9 と互いに素な数は 1 つあるため、2 のトーティエントは 1 です。9 = 6 + 2 + 1なので、9 は完全トーティエント数です。

最初のいくつかの完全トーティエント数は

3、9、15、27、39、81、111、183、243、255、327、363、471、729、2187、2199、3063、4359、4375、...（OEISの配列A082897）。​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

記号で書くと

${\displaystyle \varphi ^{i}(n)={\begin{cases}\varphi (n),&{\text{ if }}i=1\\\varphi (\varphi ^{i-1}(n)),&{\text{ if }}i\geq 2\end{cases}}}$

反復トーティエント関数の場合、cが次の整数であれば

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{c}(n)=2,}$

nが完全トーティエント数 であるのは、

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{c+1}\varphi ^{i}(n).}$

多くの完全トーティエントは3の倍数であることが観察される。実際、4375は3で割り切れない最小の完全トーティエント数である。3の累乗はすべて完全トーティエント数であり、これは次の事実を用いた 帰納法でわかる。

${\displaystyle \displaystyle \varphi (3^{k})=\varphi (2\times 3^{k})=2\times 3^{k-1}.}$

ベンカタラマン（1975）は、別の完全トーティエント数の族を発見した。p = 4 × 3 k + 1が素数であれば、 3 ^p は完全トーティエント数である。このようにして完全トーティエント数をもたらす kの値は以下の通りである。

0、1、2、3、6、14、15、39、201、249、1005、1254、1635、...（OEISのシーケンスA005537）。

より一般的には、p が3 より大きい素数で、3 p が完全トーティエント数である場合、p ≡ 1 ( mod 4) となります (Mohan および Suryanarayana 1982)。この形式のすべてのp が完全トーティエント数になるわけではありません。たとえば、51 は完全トーティエント数ではありません。Iannucci ら (2003) は、9 p が完全トーティエント数である場合、 p は論文に記載されている 3 つの特定の形式のいずれかの素数であることを示しました。pが素数で k > 3 である3 k ^p形式の完全トーティエント数が存在するかどうかは不明です。

• ペレス＝カチョ・ビジャベルデ、ロレアーノ（1939年）。 「ソーブレ・ラ・スマ・デ・インディカドーレス・デ・オルデネス・サセシボス」。レヴィスタ マテマティカ イスパノ アメリカーナ。5 (3):45-50。

• ガイ、リチャード K. (2004)。数論における未解決問題。ニューヨーク：シュプリンガー出版社。p. §B41。ISBN 0-387-20860-7。

• Iannucci, Douglas E.; Deng, Moujie; Cohen, Graeme L. (2003). 「完全トーティエント数について」(PDF) . Journal of Integer Sequences . 6 (4): 03.4.5. Bibcode :2003JIntS...6...45I. MR 2051959. 2017-08-12 に オリジナル(PDF)からアーカイブ。2007-02-07に取得。

• Luca, Florian (2006). 「完全トーティエントの分布について」(PDF) . Journal of Integer Sequences . 9 (4): 06.4.4. Bibcode :2006JIntS...9...44L. MR  2247943 . 2007-02-07に取得。

• Mohan, AL; Suryanarayana, D. (1982). 「完全トーティエント数」.数論 (Mysore, 1981) . 数学講義ノート、第938巻、Springer-Verlag. pp. 101–105. MR  0665442.

• Venkataraman, T. (1975). 「完全トーティエント数」.数学学生. 43 : 178. MR  0447089.

• ヒュヴァリネン、トゥッカ (2015)。 「テイデリセット・トティエンティルヴット」。タンペレ: タンペレ・イリオピスト。

この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Perfect Totient Number の資料が組み込まれています。