ポアソン比

x方向に引き伸ばされた立方体（図1参照）において、x方向の長さがΔL増加し、 y方向とz方向の長さがΔL ′減少した場合、微小対角ひずみは次のように与えられる。

${\displaystyle d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}}、\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}}、\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}。}$

変形を通してポアソン比が一定である場合、これらの式を積分し、ポアソン比の定義を用いると、

${\displaystyle -\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy}{y}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.}$

解いて指数化すると、 Δ LとΔ L ′の関係は次のようになる。

${\displaystyle \left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.}$

ΔLとΔL ′の値が非常に小さい場合、一次近似では次の式が得られます。

${\displaystyle \nu \estimate -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.}$

材料の伸縮による立方体の体積の相対変化ΔV / Vを計算できます。V = L ³なので、

${\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}}$

導き出すことができる

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1}$

上記で導出したΔLとΔL ′の関係式を用いて：

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1}$

また、 ΔLとΔL ′の値が非常に小さい場合、一次近似では次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}\おおよそ (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}}$

等方性材料の場合、ラメの関係式^{[ 10 ]}を使用できます。

$\displaystyle \nu \approx \frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}}$

ここで、Kは体積弾性率、Eはヤング率である。

直径（または幅、厚さ） d、長さLの棒に張力が加わり、長さがΔLだけ変化する場合、直径dは次のように変化します。

${\displaystyle {\frac {\Delta d}{d}}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}}$

上記の式は、変形が小さい場合にのみ有効です。変形が大きい場合は、以下の（より正確な）式を使用できます。

${\displaystyle \Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)}$

どこ

• dは元の直径です
• Δdはロッドの直径の変化です
• νはポアソン比である
• Lは伸縮前の元の長さです
• ΔLは長さの変化量である。

長さが増加するにつれて値が減少するため、値は負になります。

圧縮力（すなわち垂直力）のみを受ける線形等方性材料の場合、ある軸方向への材料の変形は、3次元空間において他の軸方向への材料の変形を引き起こします。したがって、フックの法則（圧縮力の場合）を3次元に一般化することが可能です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{xx}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{yy}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{zz}+\sigma _{xx}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{zz}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]\end{aligned}}}$

^{[ 11 ]} ここで：

• εxx、 εyy _、およびεzz_は、 x、 y、 z方向のひずみである_。
• σxx、 σyy _、およびσzz_は、 x、 y、およびz方向の応力である
• Eはヤング率（等方性材料の場合、どの方向でも同じ値）である。
• νはポアソン比（等方性材料の場合、どの方向でも同じ値）である。

これらの方程式はすべて以下のようにまとめられます。

${\displaystyle \varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ii}(1+\nu )-\nu \sum _{k}\sigma _{kk}\right]}$

最も一般的な場合、せん断応力も垂直応力と同様に作用し、フックの法則の完全な一般化は次のように表される。

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k}\sigma _{kk}\right]}$

ここで、δ _ijはクロネッカーのデルタである。通常はアインシュタインの表記法が用いられる。

$\displaystyle \sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}}$

方程式を簡潔に書くと次​​のようになります。

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}\right]}$

異方性材料の場合、ポアソン比は伸長方向と横方向の変形方向に依存する。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )&=-E\left(\mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}m_{\alpha }m_{\beta }\\[4px]E^{-1}(\mathbf {n} )&=s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}n_{\alpha }n_{\beta }\end{aligned}}}$

ここで、νはポアソン比、Eはヤング率、nは伸長方向に沿った単位ベクトル、mは伸長方向と垂直な方向の単位ベクトルです。ポアソン比は、異方性の種類に応じて異なる数の特殊方向を持ちます。^{[ 12 ] [ 13 ]}

直交異方性材料は、その物性において互いに直交する3つの対​​称面を持つ。例えば木材は、木目方向が最も硬く（そして強く）、他の方向ではそれほど硬くない。

すると、フックの法則は行列形式で次のように表すことができます^{[ 14 ] [ 15 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

どこ

• E _iは軸iに沿ったヤング率である
• G _ijは、法線が方向iにある平面上の方向jにおけるせん断弾性率である
• ν _ijは、方向iに伸長が加えられたときに方向jに収縮が生じる場合に対応するポアソン比です。

直交異方性材料のポアソン比は、各方向（x、y、z）で異なります。しかし、応力テンソルとひずみテンソルの対称性から、式中の6つのポアソン比すべてが独立しているわけではないことがわかります。独立している材料特性は9つだけです。3つの弾性率、3つのせん断弾性率、そして3つのポアソン比です。残りの3つのポアソン比は、次の関係式から求めることができます。

${\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}}$

上記の関係から、 E _x > E _yの場合、ν _xy > ν _yxであることがわかります。大きい方の比率（この場合はν _xy）を主ポアソン比、小さい方の比率（この場合はν _yx）を副ポアソン比と呼びます。他のポアソン比についても同様の関係が見られます。

横等方性材料には、弾性特性が等方的となる等方性面が存在する。この等方性面がyz平面であると仮定すると、フックの法則は次の形式となる^{[ 16 ]。}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

ここで、定数の数を減らすために等方性のyz平面を使用しました。つまり、

${\displaystyle E_{y}=E_{z},\qquad \nu _{xy}=\nu _{xz},\qquad \nu _{yx}=\nu _{zx}.}$。

応力テンソルとひずみテンソルの対称性は、

${\displaystyle {\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}},\qquad \nu _{yz}=\nu _{zy}.}$

これにより、6 つの独立した定数E _x、E _y、G _xy、G _yz、ν _xy、ν _yzが残ります。しかし、横等方性により、 G _yzとE _y、ν _yzの間にさらに制約が生じます。

${\displaystyle G_{yz}={\frac {E_{y}}{2\left(1+\nu _{yz}\right)}}.}$

したがって、弾性材料特性は5つ独立しており、そのうち2つはポアソン比である。仮定した対称面においては、νxyと_{νyxのうち大きい方が}主ポアソン比となる。その他の主ポアソン比と副ポアソン比は等しい。

オーセチックと呼ばれる一部の材料は、負のポアソン比を示します。縦軸方向に正のひずみを加えると、材料の横方向のひずみは実際に正になります（つまり、断面積が増加します）。これらの材料の場合、これは通常、独特な方向に配向したヒンジ付き分子結合によるものです。これらの結合が縦方向に伸びるためには、ヒンジが横方向に「開く」必要があり、結果として正のひずみを示します。^{[ 21 ]}これは構造化された方法でも行うことができ、機械的メタマテリアルなどの材料設計の新しい側面につながります。

研究によると、特定の種類の無垢材は圧縮クリープ試験中にのみ負のポアソン比を示すことがわかっています。^{[ 22 ] [ 23 ]}圧縮クリープ試験では、最初は正のポアソン比を示しますが、徐々に減少して負の値に達します。したがって、これは、一定荷重中の木材のポアソン比が時間依存であることも示しており、軸方向と横方向のひずみが同じ速度で増加しないことを意味します。

微細構造を設計した媒体は、負のポアソン比を示すことがある。単純なケースでは、材料を除去して周期的な多孔質媒体を作成することで、オーセチック性が得られる。^{[ 24 ]}格子はより低いポアソン比の値に達することができ、^{[ 25 ]}等方性の場合には限界値 -1 に限りなく近づくことができる。^{[ 26 ]}

300種類以上の結晶性物質が負のポアソン比を持つ。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}例えば、Li、Na、K、Cu、Rb、Ag、Fe、Ni、Co、Cs、Au、Be、Ca、Zn、Sr、Sb、MoS2_など。