ショットノイズ

ショットノイズまたはポアソンノイズは、ポアソン過程によってモデル化できるノイズの一種です。

電子工学において、ショット ノイズは電荷の離散的性質から生じます。ショット ノイズは光学デバイスにおける光子の計数でも発生し、光の粒子的性質と関連しています。

公平なコインを投げて表と裏の出現回数を数えるような統計実験では、何回も投げた後の表と裏の数はわずかな割合でしか変わらないのに対し、数回投げただけで表が裏より大幅に多い結果、またはその逆の結果になることがよくあります。数回投げる実験を何度も繰り返すと、結果は大きく変動します。大数の法則から、相対的な変動は投げた回数の逆数平方根に比例して減少することが示され、これはショットノイズを含むすべての統計的変動に有効な結果です。

ショット ノイズは、光や電流などの現象が離散的な (「量子化された」とも呼ばれる)「パケット」の動きから成り立つために存在します。レーザー ポインターから発せられ、壁に当たって目に見えるスポットを作成する光 (離散的な光子の流れ) について考えてみましょう。光の放出を制御する基本的な物理プロセスでは、これらの光子はレーザーからランダムなタイミングで放出されますが、スポットを作成するために必要な数十億の光子は非常に多いため、明るさ (単位時間あたりの光子の数) は時間とともにごくわずかにしか変化しません。ただし、レーザーの明るさを下げて、1 秒あたりに壁に当たる光子がほんのわずかになると、コインを数回投げたときのように、光子の数 (つまり明るさ) の相対的な変動が大きくなります。これらの変動がショット ノイズです。

ショットノイズの概念は、真空管内の電流の変動を研究していたウォルター・ショットキーによって1918年に初めて導入されました。^[1]

エネルギーを運ぶ粒子（電子回路内の電子や光学装置内の光子など）の数が有限で、独立したランダムなイベントの発生を記述するポアソン分布による不確実性が大きくなる場合、ショットノイズが支配的になることがあります。これは、電子工学、電気通信、光検出、基礎物理学において重要です。

この用語は、たとえ完全に数学的なものであっても、同様の起源を持つあらゆるノイズ源を説明するために使用できます。たとえば、粒子シミュレーションでは、ある程度の「ノイズ」が発生する可能性があります。シミュレーションされる粒子の数が少ないため、シミュレーションは現実世界のシステムを反映しない過度の統計的変動を示します。ショット ノイズの大きさは、電流や光の強度などのイベントの予想数の平方根に応じて増加します。ただし、信号自体の強度はより急速に増加するため、ショット ノイズの相対的な割合は減少し、信号対ノイズ比(ショット ノイズのみを考慮) はいずれにしても増加します。したがって、ショット ノイズは、増幅された小さな電流または低い光強度で最も頻繁に観察されます。

大きな数値の場合、ポアソン分布は平均の周りの正規分布に近づき、基本イベント（光子、電子など）は個別に観測されなくなり、通常、実際の観測におけるショットノイズは真のガウスノイズと区別できなくなります。ショットノイズの標準偏差は平均イベント数Nの平方根に等しいため、信号対雑音比（SNR）は次のように表されます。

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {N}{\sqrt {N}}}={\sqrt {N}}.\,}$

したがって、 Nが非常に大きい場合、信号対雑音比も非常に大きくなり、他のソースによるNの相対的な変動がショット ノイズよりも優位になる可能性が高くなります。ただし、他のノイズ ソースが熱雑音などの固定レベルにある場合、またはよりもゆっくりと増加する場合は、 N (DC 電流または光レベルなど) が増加すると、ショット ノイズが優位になる可能性があります。${\displaystyle {\sqrt {N}}}$

電子回路におけるショットノイズは、直流電流のランダムな変動から成り、これは電流が離散電荷（電子）の流れであることに起因します。しかし、電子の電荷は非常に小さいため、多くの（ただしすべてではない）電気伝導の場合、ショットノイズは比較的重要ではありません。たとえば、1アンペアの電流は約1 秒あたり6.24 × 10 ^{18 個}の電子です。この数は 1 秒あたり数十億単位でランダムに変化しますが、このような変動は電流自体に比べればごくわずかです。さらに、ショット ノイズは、電子回路の他の 2 つのノイズ源であるフリッカー ノイズやジョンソン ナイキスト ノイズに比べるとそれほど重要ではありません。ただし、ショット ノイズは温度や周波数に依存しません。一方、ジョンソン ナイキスト ノイズは温度に比例し、フリッカー ノイズは周波数が増加するとスペクトル密度が減少するのに対しです。そのため、高周波数および低温では、ショット ノイズが主なノイズ源になることがあります。

電流が非常に小さい場合、また時間スケールが短い場合 (したがって帯域幅が広い場合)、ショット ノイズが重要になることがあります。たとえば、マイクロ波回路は 1ナノ秒未満の時間スケールで動作し、16ナノアンペアの電流を流すと、1 ナノ秒あたりに通過する電子はわずか 100 個になります。ポアソン統計によると、1 ナノ秒あたりの実際の電子数は 10 電子rmsずつ変化するため、1 ナノ秒あたりに 90 個未満の電子が通過する時間は 6 分の 1 になり、1 ナノ秒あたりに 110 個を超える電子がカウントされる時間は 6 分の 1 になります。この時間スケールでこの小さな電流を見ると、ショット ノイズは DC 電流自体の 1/10 になります。

ショットキーによる結果は、電子の通過の統計がポアソン分布に従うという仮定に基づいており、周波数におけるスペクトル雑音密度は^[2]で次のように表される。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle S(f)=2e\vert I\vert \ ,}$

ここで、は電子電荷、 は電子流の平均電流です。ノイズスペクトルパワーは周波数に依存しないため、ノイズはホワイトノイズです。これは、平均電流と、電流が測定される接点（ はトランスポートチャネルのラベル）の透過固有値とを関連付けるランダウアーの公式と組み合わせることができます。最も単純なケースでは、これらの透過固有値はエネルギーに依存しないと見なすことができるため、ランダウアーの公式は次のようになります。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle I={\frac {e^{2}}{\pi \hbar }}V\sum _{n}T_{n}\ ,}$

ここで印加電圧は、 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle S={\frac {2e^{3}}{\pi \hbar }}\vert V\vert \sum _{n}T_{n}\ ,}$

一般的にはショットノイズのポアソン値と呼ばれる。これは、電子がフェルミ・ディラック統計に従うことを考慮に入れていないという意味で古典的な結果である。正しい結果は、電子の量子統計を考慮しており、（零温度で） ${\displaystyle S_{P}}$

${\displaystyle S={\frac {2e^{3}}{\pi \hbar }}\vert V\vert \sum _{n}T_{n}(1-T_{n})\ .}$

これは、1990年代にViktor Khlus、Gordey Lesovik（それぞれ単一チャネルの場合）、Markus Büttiker（複数チャネルの場合）によって得られました。^[2]このノイズは白色ノイズであり、常にポアソン値に対して抑制されます。抑制の度合いは、ファノ係数として知られています。異なるトランスポートチャネルによって生成されるノイズは独立しています。完全に開いたチャネル（）と完全に閉じたチャネル（）は、電子ストリームに不規則性がないため、ノイズを生成しません。 ${\displaystyle F=S/S_{P}}$${\displaystyle T_{n}=1}$${\displaystyle T_{n}=0}$

有限温度では、ノイズの閉じた表現も書くことができます。^[2]これは、ショットノイズ（ゼロ温度）とナイキスト・ジョンソンノイズ（高温）の間を補間します。

• トンネル接合は、すべての輸送チャネルで透過率が低いという特徴があるため、電子の流れはポアソン分布となり、ファノ係数は 1 になります。
• 量子ポイントコンタクトは、すべてのオープンチャネルで理想的な伝送が特徴であるため、ノイズは発生せず、ファノ係数はゼロになります。例外は、チャネルの 1 つが部分的にオープンしてノイズが発生する、プラトー間のステップです。
• 金属拡散ワイヤは、形状や材料の詳細に関係なく、ファノ係数が1/3です。^[3]
• 分数量子ホール効果を示す2DEGでは、電流はサンプルの端を移動する準粒子によって運ばれ、その電荷は電子電荷の有理数分数である。その電荷の最初の直接測定は、電流のショットノイズを通じて行われた。^[4]

これは、電流に寄与する電子が互いに影響されずに完全にランダムに発生する場合の結果ですが、電荷の蓄積によりこれらの自然な変動が大幅に抑制される重要なケースがあります。平均して 100 個の電子が 1 ナノ秒ごとにポイント A からポイント B に移動する前の例を考えてみましょう。最初の 0.5 ナノ秒では平均して 50 個の電子がポイント B に到着すると予想されますが、特定の 0.5 ナノ秒では 60 個の電子が到着する可能性があります。これにより、ポイント B で平均よりも負の電荷が生成され、その余分な電荷により、残りの 0.5 ナノ秒中にポイント A からさらに離れる電子の流れが妨げられる傾向があります。したがって、1 ナノ秒にわたって積分された正味電流は、計算した予想される変動 (10 個の電子 rms) を示すのではなく、平均値の 100 個の電子付近にとどまる傾向があります。これは通常の金属線や金属フィルム抵抗器の場合であり、クーロン力を通じて互いに作用する個々の電子の運動間の反相関により、ショットノイズはほぼ完全にキャンセルされます。

しかし、このショットノイズの減少は、熱活性化などのランダム励起によりすべての電子が克服しなければならない電位障壁でのランダムイベントから電流が生じた場合には適用されません。これは、たとえばpn接合の場合に当てはまります。^{[5] [6]}そのため、半導体ダイオードは、特定のDC電流を流すことによってノイズ源としてよく使用されます。

他の状況では、相互作用によりショットノイズが増大する可能性があり、これは超ポアソン統計の結果である。例えば、共鳴トンネルダイオードでは、デバイスが電流電圧特性の負性微分抵抗領域にバイアスされているときに、静電相互作用と量子井戸の状態密度の相互作用によりショットノイズが大幅に増大する。^[7]

ショット ノイズは、熱平衡時に予想される電圧および電流の変動とは異なります。これは、DC 電圧または電流が流れていなくても発生します。これらの変動はジョンソン ナイキスト ノイズまたは熱ノイズとして知られ、抵抗コンポーネントのケルビン温度に比例して増加します。ただし、どちらもホワイト ノイズの例であるため、その発生源がまったく異なるにもかかわらず、単に観察するだけでは区別できません。

ショットノイズは電子の有限電荷によるポアソン過程であるため、二乗平均平方根電流変動の大きさは^{[8]と計算できる。}

${\displaystyle \sigma _{i}={\sqrt {2qI\,\Delta f}}}$

ここで、qは電子の素電荷、Δ fはノイズが考慮される片側帯域幅（ヘルツ単位） 、 I は流れる DC 電流です。

100mAの電流の場合、1Hzの帯域幅で電流ノイズを測定すると、次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{i}=0.18\,\mathrm {nA} \;.}$

このノイズ電流が抵抗器に流れると、ノイズ電圧は

${\displaystyle \sigma _{v}=\sigma _{i}\,R}$

生成される。このノイズをコンデンサーを介して結合すると、ノイズ電力を供給できる。

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}qI\,\Delta fR.}$

一致する負荷に。

検出器に入射するフラックス信号は、光子の単位で次のように計算されます。 $${\displaystyle P={\frac {\Phi \,\Delta t}{\frac {hc}{\lambda }}}}$$

ここで、cは光速、h はプランク定数です。ポアソン統計に従って、光子ノイズは信号の平方根として計算されます。 $${\displaystyle S={\sqrt {P}}}$$

CCDカメラのSNRは次の式で計算できます: ^[9] ここで: $${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {I\cdot QE\cdot t}{\sqrt {I\cdot QE\cdot t+N_{d}\cdot t+N_{r}^{2}}}},}$$

• I = 光子束（光子/ピクセル/秒）、
• QE = 量子効率、
• t = 積分時間（秒）、
• N _d = 暗電流（電子/ピクセル/秒）、
• N _r = 読み取りノイズ（電子）。

光学において、ショットノイズは、検出された（または抽象的には単にカウントされた）光子数が互いに独立して発生するため、その変動を表します。したがって、これは離散化のもう 1 つの結果であり、この場合は電磁場のエネルギーを光子の観点から表します。光子検出の場合、関連するプロセスは、たとえば光子から光電子へのランダムな変換であり、これにより、量子効率が 1 未満の検出器を使用する場合に、有効なショットノイズレベルが大きくなります。エキゾチックなスクイーズドコヒーレント状態でのみ、単位時間あたりに測定される光子の数が、その期間にカウントされる光子の予想数の平方根よりも小さい変動を持つことができます。もちろん、光信号には、ショットノイズの寄与をはるかに上回るノイズの他のメカニズムがあります。ただし、これらがない場合、ショットノイズ（この文脈では「量子ノイズ」または「光子ノイズ」とも呼ばれます）のみが残るため、光検出は「光子ノイズ制限」であると言われています。

ショットノイズは、 個々の光子の検出が観察されるガイガーモードで使用される光電子増倍管およびアバランシェフォトダイオードの場合に簡単に観察できます。ただし、同じノイズ源は、任意の光検出器によって測定されるより高い光強度で存在し、後続の電子増幅器のノイズを支配している場合は直接測定できます。他の形式のショットノイズと同様に、ショットノイズによる光電流の変動は、平均強度の平方根としてスケールされます。

${\displaystyle (\Delta I)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle \left(I-\langle I\rangle \right)^{2}\rangle \propto I.}$

コヒーレント光ビーム（他のノイズ源を持たない）のショットノイズは、電磁場の量子ゆらぎを反映する基本的な物理現象です。光ホモダイン検出では、光検出器のショットノイズは、量子化された電磁場のゼロ点ゆらぎ、または光子吸収プロセスの離散的性質のいずれかに起因する可能性があります。 ^[10]ただし、ショットノイズ自体は量子化された場の特徴的な特徴ではなく、半古典理論によって説明することもできます。ただし、半古典理論ではショットノイズの圧縮は予測されていません。 ^[11]ショットノイズは、光信号の位相を保存する 量子増幅器によって導入されるノイズの下限も設定します。

• ジョンソン・ナイキスト雑音または熱雑音
• 1/fノイズ
• バーストノイズ
• 接触抵抗
• 画像ノイズ
• 量子効率

•  この記事には、連邦規格 1037Cのパブリック ドメイン マテリアルが組み込まれています。一般調達局。2022 年 1 月 22 日にオリジナルからアーカイブされました。( MIL-STD-188 をサポート)。