ピカール定理

複素解析において、ピカールの大定理とピカールの小定理は、解析関数の値域に関する関連定理である。これらはエミール・ピカールにちなんで名付けられた。

小ピカール定理：関数が${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$が全体かつ非定数である場合、${\textstyle f(z)}$ これは、複素平面全体、または平面から1点を除いた平面のいずれかであると仮定します。

証明の概略：ピカールの元の証明は、通常で表されるモジュラーラムダ関数の性質に基づいていた。${\textstyle \lambda }$、そして現代の用語を用いると、単位円盤による2回穴の開いた平面の正則普遍被覆を実行する。この関数は楕円関数の理論において明示的に構成されている。もし${\textstyle f}$2 つの値を省略し、次に持ち上げる${\textstyle f}$普遍被覆写像に沿って平面を正則関数を介して単位円盤に送り込むということは、${\textstyle f}$リウヴィルの定理により、定数である。

この定理は、定数でない関数の像は必ず有界でないというリウヴィルの定理を大幅に強化したものです。ピカールの定理のさまざまな証明が後に発見され、ショットキーの定理はその定量的バージョンです。${\textstyle f}$1点だけ欠落している場合、その点は関数の欠落値と呼ばれます。

偉大なピカールの定理：解析関数が${\textstyle f}$ある点に本質的な特異点がある${\textstyle w}$穴の開いた近隣地域で${\textstyle w,f(z)}$ は、最大で1つの例外を除いて、考えられるすべての複素数値を無限に頻繁に取ります。

これはカソラティ・ワイエルシュトラスの定理を大幅に強化したもので、範囲が${\textstyle f}$複素平面において稠密で ある。ピカール大定理の結果として、任意の非多項式関数は、最大で1つの例外を除いて、考えられるすべての複素数値を無限回取得する。

両方の定理において「唯一の例外」が必要であることは、以下で示すとおりである。

• e ^zは決して 0 にならない完全な非定数関数です。
• ${\textstyle e^{\frac {1}{z}}}$ 0 に本質的な特異点を持つが、値として 0 に達することは決してない。

偉大なピカールの定理は、有理型関数にも適用できる、やや一般的な形で真である。

偉大なピカール定理（有理型版）：Mがリーマン面、wがM上の点、P ¹ ( C ) = C ∪ {∞} がリーマン球面を表し、f : M \{ w } → P ¹ ( C ) がwで本質的特異点を持つ正則関数である場合、 wを含むMの任意の開部分集合上で、関数f ( z )はP ¹ ( C )の2点を除くすべての点に無限回到達する。    

例：関数f ( z ) =  1/(1  − e ^{1/ z} ) は、原点を除いた複素平面C* = C - {0} 上で有理型です。z = 0に本質的な特異点があり、0 の任意の近傍で無限に ∞ の値をとりますが、0 や 1 の値をとることはありません。   

この一般化により、小ピカール定理は大ピカール定理から導かれる。なぜなら、関数全体は多項式であるか、無限遠に本質的な特異点を持つかのどちらかだからである。小定理と同様に、到達しない（最大で2つの）点は、関数の欠落値である。

以下の予想は「偉大なピカールの定理」に関連しています: ^{[ 1 ]}

予想: { U ₁ , ..., U _n } を、穴の開いた単位円盤D \ {0}を覆うCの開連結部分集合の集合とする。各U _j上に、各交点U _j ∩ U _kで d f _j = d f _kとなるような単射正則関数f _jが存在すると仮定する。このとき、微分はD上の有理型1形式に貼り合わされる。    

微分がD \ {0}上の正則1形式g  d zに貼り合わされることは明らかである。gの0における留数がゼロである特殊な場合、この予想は「偉大なピカールの定理」から導かれる。  

• コンウェイ、ジョン・B. (1978). 1変数複素関数論 I (第2 版). スプリンガー. ISBN 0-387-90328-3。
• シャーマン、ジェリー。「ピカールの定理の概略」（PDF） 。 2010年5月18日取得。