ピカールの定理

複素解析において、ピカールの大定理とピカールの小定理は解析関数の値域に関する関連定理である。これらはエミール・ピカールにちなんで名付けられている。

小ピカール定理:関数が 完全かつ非定数である場合、その関数が想定する値の集合は 、複素平面全体か、平面から 1 点を除いたもののいずれかです。${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\textstyle f(z)}$

証明の概要:ピカールの元の証明は、モジュラー ラムダ関数の特性に基づいています。モジュラー ラムダ関数 は通常 と表記され、現代の用語を使用すると、単位円板による2 度穴を開けた平面の正則普遍被覆を実行します。この関数は、楕円関数の理論で明示的に構築されています。 が2 つの値を省略すると、モジュラー関数の逆関数との合成により、平面が単位円板にマッピングされ、リウヴィルの定理により が定数であることがわかります。${\textstyle \lambda }$${\textstyle f}$${\textstyle f}$${\textstyle f}$

この定理は、定数でない関数全体の像は非有界でなければならないとするリウヴィルの定理を大幅に強化したものです。ピカールの定理のさまざまな証明が後に見つかり、ショットキーの定理はその定量的なバージョンです。 の値に 1 つの点が欠けている場合、この点は関数の 欠落値と呼ばれます。${\textstyle f}$

ピカールの定理:解析関数が点 で本質的な特異点を持つ場合、の任意の穴をあけられた近傍では 、最大で 1 つの例外を除いて、すべての可能な複素数値が無限に頻繁に取ります。${\textstyle f}$${\textstyle w}$${\textstyle w,f(z)}$

これは、の範囲が複素平面で稠密で あることを保証するだけのカソラーティ・ワイエルシュトラスの定理を大幅に強化したものです。大ピカール定理の結果は、任意の完全な非多項式関数は、最大でも 1 つの例外を除いて、すべての可能な複素数値に無限に頻繁に到達するということです。 ${\textstyle f}$

ここで示すように、両方の定理には「単一の例外」が必要です。

• e ^{z は}0にならない非定数関数である。
• ${\textstyle e^{\frac {1}{z}}}$ 0 で本質的な特異点を持ちますが、値として 0 に達することはありません。

が 2 つの値と を 省略した完全な関数であるとします。 を考慮すると、一般性を失うことなく および であると仮定できます。 ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\textstyle z_{0}}$${\textstyle z_{1}}$${\textstyle {\frac {f(z)-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}}$${\textstyle z_{0}=0}$${\textstyle z_{1}=1}$

は単連結で の 値域から が除外されるため、f は正則対数を持ちます。 が となる完全関数であるとします。このとき の値域からすべての整数が除外されます。二次方程式の公式 を使用した同様の議論により、となる完全関数が存在します。このとき の値域から という形式のすべての複素数が除外されます。ここで は整数で は非負の整数です。 ${\textstyle \mathbb {C} }$${\textstyle f}$${\textstyle 0}$${\textstyle g}$${\textstyle f(z)=e^{2\pi ig(z)}}$${\textstyle g}$${\textstyle h}$${\textstyle g(z)=\cos(h(z))}$${\textstyle h}$${\textstyle 2\pi n\pm i\cosh ^{-1}(m)}$${\textstyle n}$${\textstyle m}$

ランダウの定理により、 であれば、すべての に対して、 の値域には半径 の円板が含まれます。しかし、上記から、十分に大きい円板には、 hの値域から省略される数が少なくとも 1 つ含まれます。したがって、すべての に対して、 が成り立ちます。微積分学の基本定理により、は定数であるため、 も定数です。 ${\textstyle h'(w)\neq 0}$${\textstyle {R>0}}$${\textstyle h}$${\textstyle |h'(w)|R/72}$${\textstyle h'(w)=0}$${\textstyle w}$${\textstyle h}$${\textstyle f}$

ピカールの定理は、有理型関数にも適用される、もう少し一般的な形でも成り立ちます。

大ピカールの定理（有理型バージョン）：Mがリーマン面、w がM上の点、P ¹ ( C ) =  C  ∪ {∞} がリーマン球面を表し、f  : M \{ w } → P ¹ ( C ) がwに本質的特異点を持つ正則関数である場合、 w を含むMの任意の開集合上で、関数f ( z ) はP ¹ ( C ) の2点を除くすべての点に無限回到達します。

例:関数f ( z ) = 1/(1 −  e ^{1/ z} )は、原点を削除した複素平面C* = C - {0} 上で有理型です。この関数はz  = 0 で本質的な特異点を持ち、0 の任意の近傍で無限に頻繁に値 ∞ に達しますが、値 0​​ または 1 には達しません。

この一般化により、関数全体が多項式であるか、無限大に本質的な特異点を持つため、小ピカール定理は大ピカール定理から導かれます。小定理と同様に、達成されない (最大 2 つの) 点は関数の欠落値です。

次の予想は「大ピカールの定理」に関連している：^[1]

予想: { U ₁ , ..., U _n } を、穴の開いた単位円板D  \ {0}を覆うCの開連結部分集合の集合とする。各U _jに、各交差点U _j  ∩  U _kで d f _j = d f _kとなるような、単射正則関数f _jがあるとする。すると、微分はD上の有理型1形式に接着する。

微分はD \ {0}上の正則 1 形式g  d zに接着されることは明らかです。 gの0 における留数が 0 である 特殊なケースでは、この推測は「偉大なピカールの定理」から導かれます。

• コンウェイ、ジョン B. (1978)。『1 つの複素変数の関数 I』（第 2 版）。シュプリンガー。ISBN 0-387-90328-3。
• Shurman, Jerry. 「ピカールの定理の概要」(PDF) 。2010年 5 月 18 日閲覧。