べき等測度

数学において、計量群上のべき等測度は、それ自身との畳み込みに等しい確率測度です。言い換えれば、べき等測度は、与えられた計量群上の確率測度の位相半群におけるべき等要素です。

明示的には、計量群XとX上の2つの確率測度μとνが与えられたとき、 μとνの畳み込みμ  ∗  νは次式で与えられる測度である。

${\displaystyle (\mu *\nu )(A)=\int _{X}\mu (Ax^{-1})\,\mathrm {d} \nu (x)=\int _{X}\nu (x^{-1}A)\,\mathrm {d} \mu (x)}$

Xの任意のボレル部分集合Aに対して成り立ちます。(2 つの積分の等式は、フビニの定理からわかります。)測度の弱収束の位相に関しては、畳み込みの演算により、 X上の確率測度の空間は位相半群になります。したがって、μ  ∗  μ  =  μの場合、 μ は冪等測度であるといわれます。

完全で可分な計量群上の唯一のべき等確率測度は、コンパクト部分群の正規化されたハール測度であることが示されます。