フリードマン・ディアコニス則

統計学では、フリードマン・ディアコニス則はヒストグラムで使用するビンの幅を選択するために使用できます。^{[1]この則は、}デイビッド・A・フリードマンとペルシ・ディアコニスにちなんで名付けられました。

ある確率分布からサンプリングされた経験的測定値のセットに対して、フリードマン・ディアコニス則は、ヒストグラム（相対頻度密度）と理論的な確率分布の密度との二乗差の積分を近似的に最小化するように設計されています。

詳細には、積分平均二乗誤差（IMSE）は

${\displaystyle {\text{IMSE}}=E\left[\int _{I}(H(x)-f(x))^{2}\right]}$

ここで、は分布からサンプリングされたデータポイントで計算された区間上のヒストグラム近似です。は、データポイントの多くの独立した抽出にわたる期待値を表します。穏やかな条件、つまり、その最初の2つの導関数が の場合、FreedmanとDiaconisは、ビン幅を選択することで積分が最小化されることを示しています。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E[\cdot ]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle h^{*}=\left(6/\int _{-\infty }^{\infty }f'(x)^{2}dx\right)^{1/3}n^{-1/3}}$

この式はスコットによって以前に導かれた。^[2]積分と期待値の順序を入れ替えることはフビニの定理によって正当化される。フリードマン・ディアコニス則は正規分布であると仮定して導かれ、正規参照則の例となる。この場合は である 。^[3]${\displaystyle f}$${\displaystyle \int f'(x)^{2}=(4{\sqrt {\pi }}\sigma ^{3})^{-1}}$

フリードマンとディアコニスは標準偏差を推定するために四分位範囲を使用している：^[4]ここで、は正規密度の累積分布関数である。これは次の規則を与える。 ${\displaystyle \sigma \sim \phi ^{-1}(0.75)-\phi ^{-1}(0.25)}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\text{Bin width}}=2\,{{\text{IQR}}(x) \over {\sqrt[{3}]{n}}}}$

ここで、はデータの四分位範囲、はサンプル内の観測値の数です。実際、正規密度を使用すると、先頭の係数2は になりますが、^[4] 2はFreedmanとDiaconisが推奨する係数です。 ${\displaystyle \operatorname {IQR} (x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \sim 2.59}$

係数 2 を約 2.59 に置き換えると、フリードマン - ディアコニス則は、 正規分布からサンプリングされたデータに対して スコットの規則と漸近的に一致します。

もう一つのアプローチは、スタージスのルールを使うことです。ビンの幅を約個空でないビンになるように設定しますが、データポイントの数が多い場合にはこのアプローチは推奨されません。^[4] ビン選択のさまざまな代替アプローチについては、BirgéとRozenholcを参照してください。^[5]${\displaystyle 1+\log _{2}n}$