バパット・ベグの定理

確率論において、バパット・ベグの定理は、独立ではあるが必ずしも同一分布ではない確率変数の順序統計量の同時確率分布を、確率変数の累積分布関数を用いて表す。ラビンドラ・バパットとMI・ベグは1989年にこの定理を発表したが^{[ 1 ]}、証明は示さなかった。1994年にハンデが簡単な証明を示した^{[ 2 ]。}

多くの場合、サンプルのすべての要素は同じ母集団から取得されるため、同じ確率分布を持ちます。バパット・ベグの定理は、サンプルの各要素が異なる統計母集団から取得され、したがって独自の確率分布を持つ場合の順序統計量を記述します。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$それぞれ累積分布関数を持つ独立な実数値確率変数である。${\displaystyle F_{1}(x),F_{2}(x),\ldots ,F_{n}(x)}$。 書く${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)}}$順序統計量の場合。次に、同時確率分布は${\displaystyle n_{1},n_{2}\ldots ,n_{k}}$ 順序統計（${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{k}}$そして${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k}}$） は

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X_{(n_{1})},\ldots ,X_{(n_{k})}}(x_{1},\ldots ,x_{k})&=\Pr(X_{(n_{1})}\leq x_{1}\land X_{(n_{2})}\leq x_{2}\land \cdots \land X_{(n_{k})}\leq x_{k})\\&=\sum _{i_{k}=n_{k}}^{n}\cdots \sum _{i_{2}=n_{2}}^{i_{3}}\sum _{i_{1}=n_{1}}^{i_{2}}{\frac {P_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})}{i_{1}!(i_{2}-i_{1})!\cdots (n-i_{k})!}},\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})=\operatorname {per} {\begin{bmatrix}F_{1}(x_{1})\cdots F_{1}(x_{1})&F_{1}(x_{2})-F_{1}(x_{1})\cdots F_{1}(x_{2})-F_{1}(x_{1})&\cdots &1-F_{1}(x_{k})\cdots 1-F_{1}(x_{k})\\F_{2}(x_{1})\cdots F_{2}(x_{1})&F_{2}(x_{2})-F_{2}(x_{1})\cdots F_{2}(x_{2})-F_{2}(x_{1})&\cdots &1-F_{2}(x_{k})\cdots 1-F_{1}(x_{k})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\underbrace {F_{n}(x_{1})\cdots F_{n}(x_{1})} _{i_{1}}&\underbrace {F_{n}(x_{2})-F_{n}(x_{1})\cdots F_{n}(x_{2})-F_{n}(x_{1})} _{i_{2}-i_{1}}&\cdots &\underbrace {1-F_{n}(x_{k})\cdots 1-F_{n}(x_{k})} _{n-i_{k}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

は、与えられたブロック行列のパーマネントです。（中括弧内の数字は列数を示します。）^{[ 1 ]}

• 累積分布関数の連続性に関する仮定は不要である。^{[ 2 ]}
• 不等式x ₁ < x ₂ < ... < x _kが課されない場合、不等式の一部は「冗長になる可能性があり、必要な削減を行った後に確率を評価できる」^{[ 1 ]}

Glueck と共著者は、Bapat‒Beg の公式は、確率変数の数と同じ数の指数関数的な数のパーマネントを含むため、計算が困難であると指摘している。^{[ 3 ]}しかし、確率変数が 2 つの可能な分布しか持たない場合、複雑さは次のように軽減できる。${\displaystyle O(m^{2k})}$^{[ 3 ]}したがって、2つの集団の場合、複雑さは多項式になります。${\displaystyle m}$統計の固定数について${\displaystyle k}$。