歪み（光学）

幾何光学において、歪みは直線投影（シーン内の直線が画像内でも直線のままとなる投影）からの偏差です。これは光学収差の一種であり、球面収差、コマ収差、色収差、像面湾曲、非点収差などの他の収差とは、画像内の物体の形状や構造を変えずに画像の鮮明さに影響を与える（例えば、物体内の直線は画像内でも直線のままですが、前述の収差によって画像の鮮明さが低下することがある）のに対し、歪みは画像内の物体の構造を変えることがある（そのため、歪みと呼ばれます）という意味で区別されます。

歪みは不規則であったり、さまざまなパターンをたどったりしますが、最も一般的に見られる歪みは放射状対称、またはそれに近いもので、写真レンズの対称性から生じます。これらの放射状歪みは通常、樽型歪みまたは糸巻き型歪みに分類されます。 ^[1]

樽型歪み

樽型歪みでは、光軸からの距離とともに像の拡大率が低下します。その見た目の効果は、球体（または樽型）の周りに写像されたように見える像です。半球状の視野をとれる魚眼レンズは、このタイプの歪みを利用して、無限に広い物体面を有限の像領域に写像します。ズームレンズでは、樽型歪みはレンズの焦点距離範囲の中央で現れ、範囲の広角端で最悪になります。^[2] 凹（マイナス）球面レンズは樽型歪みになりやすいです。

糸巻き歪み

糸巻き型歪みでは、光軸からの距離に応じて像の拡大率が増大します。目に見える効果は、像の中心を通らない線が、糸巻き型のように像の中心に向かって内側に湾曲することです。凸型（プラス）球面レンズでは糸巻き型歪みが生じやすくなります。

口ひげの歪み

両方のタイプが混在する歪みは、口ひげ歪み（口ひげ歪み）または複合歪みと呼ばれることもあり、あまり一般的ではありませんが、まれではありません。これは、画像の中心に近い樽型歪みとして始まり、画像の周辺に向かって徐々に糸巻き型歪みに変わり、フレームの上半分の水平線が口ひげのように見えます。

数学的には、樽型歪みと糸巻き型歪みは二次式で、中心からの距離の二乗に比例して大きくなります。口ひげ型歪みでは、四次式（次数 4）の項が重要です。中心では次数 2 の樽型歪みが支配的ですが、端では糸巻き型方向の次数 4 の歪みが支配的です。他の歪み（中心では糸巻き型、端では樽型、または高次の歪み（次数 6、次数 8））も原理的には可能ですが、実際のレンズでは通常発生せず、高次の歪みは主な樽型および糸巻き型の影響に比べて小さいです。

これらの歪みの名前は、視覚的に類似した身近な物体に由来しています。

• 
  樽型歪曲収差では、直線が樽のように中心に向かって外側に膨らみます。
• 
  糸巻き型歪みでは、正方形の角がクッションのように細長い点を形成します。
• 
  口ひげの歪みでは、水平線が中央で膨らみ、フレームの端（フレームの上部にある場合）に近づくにつれて反対方向に曲がります。これは、カールしたハンドルバー口ひげに似ています。

写真撮影において、歪みは特にズームレンズ、特に広角ズームに関連していますが、単焦点レンズでも見られることがあり、焦点距離に依存します。たとえば、キヤノンEF50mm f /1.4 は、非常に短い焦点距離で樽型歪みを呈します。樽型歪みは広角レンズに見られることがあり、ズームレンズの広角端でよく見られますが、糸巻き型歪みは古い望遠レンズや低価格の望遠レンズでよく見られます。口ひげ型歪みは、特にズームレンズの広角端、特定のレトロフォーカスレンズ、最近ではNikon 18–200 mm などの広角ズームで見られます。

双眼鏡などの視覚光学機器では、ある程度の糸巻き型歪みがよく見られ、球面効果を打ち消す役割を果たします。

これらの歪みを理解するには、これらが放射状の欠陥であることを思い出す必要があります。問題の光学系は回転対称性を持っているため (非放射状の欠陥は除く)、教訓的に正しいテスト画像は、射撃手の標的のように、均等に離れた同心円のセットになります。すると、これらの一般的な歪みが、実際にはオブジェクトから画像への非線形の半径マッピングを意味していることがわかります。一見ピンクッション歪みのように見えるものは、実際には小さな半径と比較した大きな半径の誇張された半径マッピングにすぎません。半径変換 (オブジェクトから画像へ) を示すグラフは、上端 (右端) で急勾配になります。逆に、樽型歪みは、実際には小さな半径と比較した大きな半径の縮小した半径マッピングです。半径変換 (オブジェクトから画像へ) を示すグラフは、上端 (右端) で緩やかになります。

波長に依存する放射状の歪みは、「横方向の色収差」と呼ばれます。「横方向」は放射状、「色」は色（波長）に依存するためです。これにより、画像の外側部分の高コントラスト領域に色の付いたフリンジが発生する可能性があります。これを、フィールド全体に収差、特に紫色のフリンジを引き起こす軸（縦方向）の色収差と混同しないでください。

放射状歪みは主に低次の放射状成分によって支配されているが、^[3]ブラウンの歪みモデル^[4] 、コンラディの以前の研究に基づくブラウン・コンラディモデルとしても知られるモデルを使用して補正することができる。^[5]ブラウン・コンラディモデルは、レンズ内の物理的要素が完全に整列していないために生じる放射状歪みと接線方向歪みの両方を補正する。後者は偏心歪みとしても知られている。放射状歪みに関する追加的な議論については、張^[6]を参照のこと。ブラウン・コンラディ歪みモデルは、

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x_{\mathrm {u} }=x_{\mathrm {d} }&+(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} }) (K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+\cdots )+(P_{1}(r^{2}+2(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })^{2})\\&+2P_{2}(x_{ \mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} }))(1+P_{3}r^{2}+P_{4}r^{4}\cdots )\\y_{\mathrm {u} }=y_{\mathrm {d} }&+(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} })(K_{1}r^{2 }+K_{2}r^{4}+\cdots )+(2P_{1}(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} })\\&+P_{2}(r^{2}+2(y_{\mathrm {d} }- y_{\mathrm {c} })^{2}))(1+P_{3}r^{2}+P_{4}r^{4}\cdots ),\end{alignedat}}}$$

どこ

• ${\displaystyle (x_{\mathrm {d} },\ y_{\mathrm {d} })}$指定されたレンズを使用して像平面に投影された歪んだ像点です。
• ${\displaystyle (x_{\mathrm {u} },\ y_{\mathrm {u} })}$理想的なピンホールカメラによって投影された歪みのない画像点です。
• ${\displaystyle (x_{\mathrm {c} },\ y_{\mathrm {c} })}$歪みの中心です。
• ${\displaystyle K_{n}}$は半径方向の歪み係数です。${\displaystyle n^{\mathrm {th} }}$
• ${\displaystyle P_{n}}$は接線方向の歪み係数であり、${\displaystyle n^{\mathrm {th} }}$
• ${\displaystyle r}$= 、歪んだ画像点と歪み中心間のユークリッド距離。 ^[3]${\displaystyle {\sqrt {(x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} })^{2}+(y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} }) ^{2}}}}$

樽型歪みは通常、負の項を持ちますが、糸巻き型歪みは正の値を持ちます。口ひげ型歪みは非単調な放射状幾何級数を持ち、その一部では数列の符号が変わります。 ${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle r}$

放射状の歪みをモデル化するために、分割モデル^[7]は、ブラウン・コンラディの偶数次多項式モデル^{[8]よりも正確な近似値を提供する。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {u} }&=x_{\mathrm {c} }+{\frac {x_{\mathrm {d} }-x_{\mathrm {c} }} {1+K_{1}r^{2}+K_{2}r^{4}+\cdots }}\\y_{\mathrm {u} }&=y_{\mathrm {c} }+{\frac {y_{\mathrm {d} }-y_{\mathrm {c} }}{1+K_{1}r^{2}+K_{2 }r^{4}+\cdots }},\end{整列}}}$$

以前に定義された同じパラメータを使用します。放射状の歪みについては、この分割モデルはブラウン・コンラディモデルよりも好まれることが多いです。これは、より少ない項で深刻な歪みをより正確に記述できるためです。^[8]このモデルを使用すると、通常、ほとんどのカメラをモデル化するには1つの項で十分です。^[9]

ソフトウェアは、画像を逆歪みで歪ませることで、これらの歪みを修正できます。これには、どの歪んだピクセルが各歪んでいないピクセルに対応するかを決定することが含まれますが、歪み方程式の非線形性のため、これは簡単ではありません。 ^[3]このような歪ませ方を赤、緑、青に個別に適用することで、横方向の色収差（紫/緑のフリンジ）を大幅に軽減できます。

歪みまたは歪み補正には、両方の係数セット、または一般に解析解のない非線形問題の反転が必要です。近似、局所線形化、反復ソルバーなどの標準的なアプローチがすべて適用されます。どのソルバーが適しているかは、必要な精度と利用可能な計算リソースによって異なります。

前述のように、単項除算モデルは、ほとんどのカメラをモデル化するのに十分であるだけでなく、逆歪み問題に対する解析的な解も持っている。^[8]この場合、歪んだピクセルは次のように表される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {d} }&=x_{\mathrm {c} }+{\frac {x_{\mathrm {u} }-x_{\mathrm {c} }} {2K_{1}r_{u}^{2}}}(1-{\sqrt {1-4K_{1}r_{u}^{2}}})\\y_{\mathrm {d} }&=y_{\mathrm {c} }+{\frac {y_{\mathrm {u} }-y_{\mathrm {c} }}{2K_{1}r_{u}^{2}}}(1-{\sqrt {1-4K_{1}r_{u}^{2}}})、\end{整列}}}$$

どこ

• ${\displaystyle r_{u}}$= 、歪みのない画像点と歪みのない画像点/歪みの中心との間のユークリッド距離。${\displaystyle {\sqrt {(x_{\mathrm {u} }-x_{\mathrm {c} })^{2}+(y_{\mathrm {u} }-y_{\mathrm {c} })^{2}}}}$

キャリブレーションされたソフトウェアは、レンズ/カメラの転送関数の表に基づいて動作します。

• Adobe Photoshop Lightroom および Photoshop CS5 では、複雑な歪みを修正できます。
• PTlensは複雑な歪みを補正するPhotoshopプラグインまたはスタンドアロンアプリケーションです。線形歪みだけでなく、2次以上の非線形成分も補正します。^[10]
• Lensfunはレンズの歪みを補正するための無料で使えるデータベースとライブラリです。^{[11] [12]}
• OpenCVはオープンソースのBSDライセンスのコンピュータビジョンライブラリ（多言語、マルチOS）です。カメラキャリブレーション用のモジュールを備えています。^[13]
• DxO の PhotoLabソフトウェアは複雑な歪みを補正でき、焦点距離も考慮します。
• proDAD Defishr には、アンワープ ツールとキャリブレーター ツールが含まれています。チェッカーボード パターンの歪みに応じて、必要なアンラップが計算されます。
• マイクロフォーサーズシステムのカメラとレンズは、各レンズのファームウェアに保存されている補正パラメータを使用して自動歪み補正を実行し、カメラとRAWコンバータソフトウェアによって自動的に適用されます。これらのレンズのほとんどの光学系は、そのような自動補正を提供しないシステムの同等品よりも大幅に歪みが多いですが、ソフトウェアで補正された最終画像は、競合する設計よりも歪みが著しく少なくなっています。^[14]

手動ソフトウェアを使用すると、歪みパラメータを手動で調整できます。

• ImageMagickはいくつかの歪みを補正することができます。例えば、人気のGoPro Hero3+ Silverカメラの魚眼歪みは、コマンド^{[15]で補正できます。}

convert distorted_image.jpg -distort barrel "0.06335 -0.18432 -0.13009" corrected_image.jpg

• Photoshop CS2およびPhotoshop Elements（バージョン5以降）には、単純な（糸巻き型/樽型）歪みを補正する手動レンズ補正フィルタが含まれています。
• Corel Paint Shop Pro Photo には、単純な歪み (樽型、魚眼レンズ、魚眼球型、糸巻き型) を実現する手動のレンズ歪み効果が含まれています。
• GIMP には手動レンズ歪み補正機能が含まれています (バージョン 2.4 以降)。
• PhotoPerfect には、一般的なピンクッション調整とフリンジ (赤、緑、青の画像部分のサイズ調整) のためのインタラクティブな機能があります。
• Huginは歪みを補正するために使用できますが、それが主な用途ではありません。^[16]

画像に対応するこれらのシステムのほかに、ビデオの歪みパラメータを調整するシステムもあります。

• 「レンズ補正」ビデオフィルタを使用したFFMPEG 。 ^[17]
• Blenderでノード エディターを使用して、入力ノードと出力ノードの間に「Distort/Lens Distortion」ノードを挿入します。

放射状の歪みは、レンズが直線的でないこと、つまり線を線に結像できないことを指します。写真が真っ直ぐに撮影されていない場合、完全な直線レンズを使用しても長方形は台形として表示されます。線は線として結像されますが、線間の角度は保持されません (傾きは等角写像ではありません)。この効果は、遠近法制御レンズを使用して制御するか、後処理で 修正することができます。

遠近法により、カメラは立方体を四角錐台(台形の側面を持つ、切り取られたピラミッド) として画像化します。つまり、遠い方の端は近い方の端よりも小さくなります。これにより遠近法が生まれ、このスケーリングが発生する速度 (遠くのオブジェクトが縮小する速度) によって、シーンの深さや浅さの感覚が生まれます。これは、結果の画像を単純に変換するだけでは変更または修正できません。これは、シーン内のオブジェクトの深さという 3D 情報が必要であるためです。この効果は遠近法の歪みとして知られています。画像自体は歪んでいませんが、通常の視聴距離から見ると歪んで見えるのです。

画像の中心が端よりも近い場合 (たとえば、顔を正面から撮影した場合)、樽型歪みと広角歪み (近くから撮影した場合) はどちらも中心のサイズを拡大しますが、糸巻き型歪みと望遠歪み (遠くから撮影した場合) はどちらも中心のサイズを縮小します。ただし、放射状歪みは直線を曲げます (外側または内側)。一方、遠近法歪みは線を曲げないため、これらは異なる現象です。魚眼レンズは樽型歪みの大きい広角レンズであるため、これらの両方の現象が見られるため、画像の中心にあるオブジェクト (近距離から撮影した場合) は特に拡大されます。樽型歪みが補正されたとしても、結果として得られる画像は依然として広角レンズによるものであり、広角の遠近法が維持されます。

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