リューネブルクレンズ

リューネブルクレンズ（ドイツ語ではLüneburg-Linse）は、球面対称の屈折率分布型レンズです。典型的なリューネブルクレンズの屈折率nは、中心から外面に向かって放射状に減少します。可視光から電波までの電磁放射に使用できます。

特定の屈折率プロファイルでは、レンズは 2 つの同心球の完全な幾何学的像を互いに重ね合わせます。この効果を生み出す屈折率プロファイルは無数にあります。最も単純な解決策は、1944 年にルドルフ ルーネブルクによって提案されました。 ^[1] ルーネブルクの屈折率の解決策は、レンズの外側に2 つの共役焦点を作成します。1 つの焦点が無限遠にあり、もう 1 つがレンズの反対側の面にある場合、解決策は単純で明確な形になります。その後、J. ブラウンと AS グットマンは、1 つの内部焦点と 1 つの外部焦点を生成する解決策を提案しました。^{[2] [3]}これらの解決策は一意ではありません。解決策の集合は、数値的に評価する必要がある定積分 の集合によって定義されます。 ^[4]

理想的なルーネベルグレンズの表面の各点は、反対側に入射する平行光線の焦点となる。理想的には、レンズを構成する材料の誘電率は 、中心の2から表面の1に低下する（または屈折率が1から1に低下する）ため、 ${\displaystyle \epsilon_{r}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}}}={\sqrt {2-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}},}$

ここで、 はレンズの半径です。表面の屈折率は周囲の媒体の屈折率と同じなので、表面では反射は起こりません。レンズ内では、光線の経路は楕円の弧になります。 ${\displaystyle R}$

マクスウェルの魚眼レンズも、一般化されたルーネブルグレンズの一例である。魚眼レンズは、1854年にマクスウェルによって^初めて完全に説明された（したがって、ルーネブルグの解決法よりも古い）もので、屈折率は

${\displaystyle n(r)={\sqrt {\epsilon _{r}}}={\frac {n_{0}}{1+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}},}$

ここで、はレンズの中心での屈折率、はレンズの球面の半径です。^[6]レンズの表面での屈折率は です。レンズは球面上の各点を表面上の反対側の点に結像します。レンズ内では、光線の経路は円弧になります。 ${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n_{0}/2}$

このレンズの特性は、1853年のケンブリッジ・アンド・ダブリン数学ジャーナルに掲載された一連の問題またはパズルの1つで説明されています。^[7]課題は、光線が円形の経路を描くことを前提として、屈折率を半径の関数として求め、さらにレンズの集束特性を証明することです。解答は、同じジャーナルの1854年版に掲載されています。^[5]問題と解答はもともと匿名で発表されましたが、この問題（および他の1つの問題）の解答は、マクスウェルの死後11年目に出版されたニーヴンの「ジェームズ・クラーク・マクスウェルの科学論文」[8]に収録されまし^た。

実際には、ルーネベルグレンズは通常、それぞれ屈折率が異なる個別の同心シェルの層状構造です。これらのシェルは、ルーネベルグの解とはわずかに異なる階段状の屈折率プロファイルを形成します。この種類のレンズは通常、マイクロ波周波数に使用され、特に効率的なマイクロ波アンテナやレーダー較正標準を構築するために使用されます。ルーネベルグレンズの円筒形の類似物は、レーザーダイオードからの光をコリメートするためにも使用されます。

F-35のリューネブルク反射鏡（目印の突起）

レーダー反射器は、リューネブルグレンズの表面の一部を金属化することで作ることができます。遠方のレーダー送信機からの放射線は、レンズの反対側の金属化部分の下側に集束され、ここで反射されてレーダーステーションに再び集束されます。この方式の難点は、金属化された領域がレンズのその部分での放射線の出入りをブロックしますが、金属化されていない領域は反対側に死角をもたらすことです。

取り外し可能なリューネブルクレンズ型レーダー反射鏡は、訓練中にステルス機を視認可能にするため、または実際のレーダーシグネチャを隠すために軍用機に取り付けられることがある。他のタイプのレーダー反射鏡とは異なり、その形状は航空機の操縦性に影響を与えない。^{[9] [10]}

リューネブルグレンズは、高利得無線アンテナの基礎として使用することができます。このアンテナはパラボラアンテナに似ていますが、主な焦点合わせ要素としてパラボラ反射鏡ではなくレンズを使用します。パラボラアンテナと同様に、受信機へのフィードまたは送信機からのフィードが焦点に配置され、フィードは通常ホーンアンテナで構成されます。フィードホーンの位相中心は焦点の位置と一致している必要がありますが、位相中心は必ずホーンの口のやや内側にあるため、レンズの表面に直接当てることはできません。したがって、焦点が表面にある古典的なレンズではなく、表面からやや外側に焦点を合わせる さまざまなリューネブルグレンズを使用する必要があります^{[11] 。}

リューネブルグレンズアンテナは、パラボラアンテナに比べて多くの利点があります。レンズは球面対称なので、アンテナ全体を回転させずに、レンズの周りでフィードを移動することでアンテナを操作できます。また、レンズは球面対称なので、1 つのレンズを、大きく異なる方向を向く複数のフィードに使用できます。対照的に、パラボラ反射鏡で複数のフィードを使用する場合は、コマ(焦点がぼけた状態の一種)を避けるために、すべてのフィードが光軸の小さな角度内にある必要があります。オフセットシステムとは別に、パラボラアンテナでは、フィードとその支持構造によってメイン要素が部分的に隠される (開口部が塞がれる) という問題がありますが、他の屈折システムと同様に、リューネブルグレンズアンテナではこの問題を回避できます。

リューネブルグレンズアンテナのバリエーションとして、半球形のリューネブルグレンズアンテナまたはリューネブルグ反射鏡アンテナがあります。これはリューネブルグレンズの片方の半球のみを使用し、球の切断面を反射金属の接地面上に置きます。この配置によりレンズの重量が半分になり、接地面が便利な支持手段となります。ただし、反射鏡への入射角が約 45° 未満の 場合は、給電部によってレンズが部分的に隠れます。

球対称レンズの場合、各光線はレンズの中心を通る平面に完全に存在します。光線の最初の方向は、レンズの中心点とともにレンズを二等分する平面を特定する線を定義します。レンズの対称面であるため、屈折率の勾配には、光線をその片側または反対側に逸らす原因となるこの平面に垂直な成分はありません。平面では、システムの円対称性により、光線の軌跡を記述するために 極座標を 使用すると便利です。${\displaystyle (r,\theta )}$

フェルマーの原理は、光線上の任意の2点（レンズの入口と出口など）が与えられた場合、光線がそれらの間で取る経路は、最短時間で通過できる経路であると主張します。レンズ内の任意の点における光の速度は屈折率に反比例し、ピタゴラスの法則により、2点間の通過時間は ${\displaystyle (r_{1},\theta _{1})}$${\displaystyle (r_{2},\theta _{2})}$

${\displaystyle T=\int _{(r_{1},\theta _{1})}^{(r_{2},\theta _{2})}{\frac {n(r)}{c}}{\sqrt {(r\,d\theta )^{2}+dr^{2}}}={\frac {1}{c}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}n(r){\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta ,}$

ここで は真空中の光速である。これを最小化すると、光線の経路に沿った の依存性を決定する2階微分方程式が得られる。このタイプの最小化問題はラグランジアン力学で広く研究されており、ベルトラミ恒等式の形で既成の解が存在する。これは、この2階方程式の最初の積分を直ちに提供する。この恒等式に( を表す) を代入すると、次のようになる 。${\displaystyle c}$${\displaystyle T}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle L(r,r')=n(r){\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle {\tfrac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle n(r){\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}-n(r){\frac {r'^{2}}{\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}}=h,}$

ここで は積分定数である。この一階微分方程式は分離可能であり、つまり が片側にのみ現れ、 がもう片側にのみ現れるように再配置することができる。 ^[1]${\displaystyle h}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle d\theta ={\frac {h}{r{\sqrt {{\big (}n(r){\big )}^{2}r^{2}-h^{2}}}}}\,dr.}$

パラメータは任意の光線に対して定数ですが、レンズの中心から異なる距離を通過する光線間では異なります。中心を通過する光線の場合、パラメータはゼロです。マクスウェルの魚眼レンズなどの特殊なケースでは、この一次方程式をさらに積分して、の関数としてのの式を得ることができます。一般に、この式はとの相対的な変化率を提供し、これを数値的に積分してレンズを通過する光線の経路をたどることができます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle r}$

• ボールレンズ
• BLITS（ボールレンズインザスペース）衛星
• 重力レンズも屈折率が放射状に減少します。

• YouTube からのリューネブルグレンズ (誘電体アンテナ) を介した伝播のアニメーション
• YouTube からのマクスウェルの魚眼レンズのアニメーション
• YouTube からのハーフ マクスウェルの魚眼レンズ (誘電体アンテナ) のアニメーション