ピンホールカメラモデル

ピンホールカメラモデルは、3次元空間の点の座標と理想的なピンホールカメラの画像平面への投影との間の数学的な関係を記述するものであり、カメラの絞りは点として記述され、光の焦点を合わせるためにレンズは使用されない。このモデルには、たとえば、レンズや有限サイズの絞りによって引き起こされる幾何学的な歪みや焦点が合っていないオブジェクトのぼやけは含まれない。 ^{[1]また、ほとんどの実用的なカメラが離散的な画像座標しか持たないことも考慮されていない。つまり、ピンホールカメラモデルは、} 3Dシーンから2D画像へ のマッピングの一次近似としてのみ使用できる。その妥当性はカメラの品質に依存し、一般に、レンズの歪み効果が増加するにつれて、画像の中心から端に向かって減少する。

ピンホール カメラ モデルが考慮しない効果の一部は、たとえば画像座標に適切な座標変換を適用することで補正できます。その他の効果は、高品質のカメラを使用する場合は無視できるほど小さいです。つまり、ピンホール カメラ モデルは、コンピューター ビジョンやコンピューター グラフィックスなどで、カメラが 3D シーンを描写する方法の合理的な説明としてよく使用されます。

ピンホール カメラのマッピングに関連するジオメトリを図に示します。図には次の基本オブジェクトが含まれています。

• 原点がOにある 3D 直交座標系。カメラの絞りもここにあります。座標系の 3 つの軸は、X1、X2、X3 と呼ばれます。軸 X3 はカメラの視線方向を指しており、光軸、主軸、または主光線と呼ばれます。軸 X1 と X2 が張る平面は、カメラの前面、つまり主平面です。
• 3D の世界がカメラの絞りを通して投影される画像平面。画像平面は軸 X1 および X2 に平行で、原点OからX3 軸の負の方向に離れた位置にあります。ここで、fはピンホール カメラの焦点距離です。ピンホール カメラの実際の実装では、画像平面は、 f > 0の場合に座標-fで X3 軸と交差するように配置されます。${\displaystyle f}$
• 光軸と像面の交点にある点R。この点は主点 ^[2]または像中心と呼ばれます。
• 軸 X1、X2、X3 を基準とした座標にある世界のどこかの点P。${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$
• 点Pのカメラへの投影線。これは点Pと点Oを通る緑の線です。
• 点Pを画像平面に投影したものをQと表記します。この点は、投影線 (緑) と画像平面の交点によって決まります。実際の状況では、> 0 であると想定できます。これは、交点が明確に定義されていることを意味します。${\displaystyle x_{3}}$
• 画像平面には、原点がRで、軸 Y1 と Y2 がそれぞれ X1 と X2 に平行な 2D 座標系もあります。この座標系に対する点Qの座標はです。${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$

すべての投影線が通過するカメラのピンホール開口部は、無限に小さい点であると想定されています。文献では、3D空間内のこの点は光学中心（またはレンズ中心、カメラ中心）と呼ばれています。^[3]

次に、点Qの座標が点Pの座標にどのように依存するかを理解したいと思います。これは、前の図と同じシーンを上から、X2 軸の負の方向を見下ろした次の図を使用して行うことができます。 ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$

この図には、2つの相似な三角形があり、どちらも投影線（緑）の一部を斜辺としています。左の三角形のカテティはとfで、右の三角形のカテティはとです。2つの三角形は相似なので、 ${\displaystyle -y_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle {\frac {-y_{1}}{f}}={\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$または${\displaystyle y_{1}=-{\frac {f\,x_{1}}{x_{3}}}}$

同様の調査をX1軸の負の方向から見ると、

${\displaystyle {\frac {-y_{2}}{f}}={\frac {x_{2}}{x_{3}}}}$または${\displaystyle y_{2}=-{\frac {f\,x_{2}}{x_{3}}}}$

これを要約すると

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}=-{\frac {f}{x_{3}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

これは、点Pの 3D 座標と、画像平面内の 点Qによって指定された画像座標との関係を記述する式です。${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$

ピンホール カメラによって記述される 3D 座標から 2D 座標へのマッピングは、透視投影に続いて画像平面で 180 度回転します。これは、実際のピンホール カメラの動作に対応しています。つまり、結果として得られる画像は 180 度回転し、投影されたオブジェクトの相対的なサイズは焦点までの距離によって決まり、画像全体のサイズは画像平面と焦点の間の距離fによって決まります。カメラに期待される回転しない画像を生成するには、次の 2 つの方法があります。

• 画像平面の座標系を 180° 回転します (どちらの方向にも)。これは、ピンホール カメラの実際の実装で問題を解決する方法です。写真カメラの場合は、画像を見る前に回転させ、デジタル カメラの場合は、回転する順序でピクセルを読み取ります。
• 画像平面を、X3 軸と-fではなくfで交差するように配置し、前の計算をやり直します。これにより、実際には実装できない仮想 (または前面) 画像平面が生成されますが、実際のカメラよりも分析が簡単な理論上のカメラが提供されます。

どちらの場合も、3D座標から2D画像座標へのマッピングは、上記の式で表されますが、否定は除かれ、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\frac {f}{x_{3}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

空間内の点の3D座標から2D画像座標へのマッピングは、同次座標でも表すことができます。を同次座標（4次元ベクトル）での3D点の表現とし、をピンホールカメラでのこの点の画像の表現（3次元ベクトル）とします。すると、次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} \,\mathbf {x} }$

ここで、はカメラ行列であり、は射影空間の要素間の等式を意味します。これは、左辺と右辺が非ゼロのスカラー乗算を除いて等しいことを意味します。この関係の結果として、は射影空間の要素としても見ることができます。つまり、2 つのカメラ行列は、スカラー乗算を除いて等しい場合、等価です。ピンホール カメラ マッピングを 2 つの線形表現の分数としてではなく線形変換として記述すると、3D 座標と 2D 座標間の関係の多くの導出を簡素化できます。^{[引用が必要]}${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle 3\times 4}$ ${\displaystyle \,\sim}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

• カメラによる切除
• 共線性方程式
• 入射瞳、実際のカメラの物体空間に対するピンホールの等価位置。
• 射出瞳、実際のカメラの像面に対するピンホールの等価位置。
• イブン・アル・ハイサム
• ピンホールカメラは、この記事で説明した数学モデルの実用的な実装です。
• 直線レンズ

• David A. Forsyth および Jean Ponce (2003)。『コンピュータビジョン、現代的アプローチ』。Prentice Hall。ISBN 0-12-379777-2。
• リチャード・ハートリー、アンドリュー・ジッサーマン (2003)。コンピュータビジョンにおけるマルチビュージオメトリ。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-54051-8。
• Bernd Jähne (1997)。科学的応用のための画像処理の実践ハンドブック。CRC Press。ISBN 0-8493-8906-2。
• Linda G. Shapiroおよび George C. Stockman (2001)。コンピュータビジョン。Prentice Hall。ISBN 0-13-030796-3。
• Gang Xu および Zhengyou Zhang (1996)。ステレオ、モーション、およびオブジェクト認識におけるエピポーラ幾何学。Kluwer Academic Publishers。ISBN 0-7923-4199-6。
• Szeliski, Richard (2022). コンピュータビジョン：アルゴリズムとアプリケーション（第2版）。Springer Nature。p. 925。ISBN 3030343723. 2023年12月30日閲覧。