ナイキスト安定判別法

制御理論と安定性理論において、ナイキスト安定性基準またはストレッカ―ナイキスト安定性基準は、1930年にシーメンスのドイツ人電気技師フェリックス・ストレッカ― ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}と1932年にベル電話研究所のスウェーデン系アメリカ人電気技師ハリー・ナイキスト^{[ 4 ]}によって独立に発見された、線形動的システムの安定性を決定するための図式的手法である。

この手法は開ループシステムのナイキスト線図のみを参照するため、閉ループシステムまたは開ループシステムの極と零点を明示的に計算することなく適用できます（ただし、各タイプの右半平面特異点の数は既知である必要があります）。その結果、遅延のあるシステムなど、非有理関数で定義されるシステムにも適用できます。ボード線図とは異なり、右半平面特異点を持つ伝達関数も扱うことができます。さらに、航空機の制御システムなど、複数の入力と複数の出力を持つより複雑なシステムへの自然な一般化も可能です。

ナイキスト安定基準は、フィードバックのあるシステムの設計と解析のために、電子工学や制御システム工学、その他の分野で広く使用されています。ナイキストは最も一般的な安定性テストの 1 つですが、線形時不変(LTI) システムに限定されています。しかし、非線形システム向けのナイキスト基準 (およびグラフ) の一般化として、円基準や非線形演算子のスケーリングされた相対グラフなどがあります。^{[ 5 ]}さらに、リアプノフ法などの他の安定性基準も非線形システムに適用できます。

ナイキスト線図はグラフを用いた手法ではあるものの、システムが安定または不安定になる理由、あるいは不安定なシステムを安定させる方法について、直感的な理解を得るには限界がある。ボード線図のような手法は、汎用性は低いものの、場合によってはより有用な設計ツールとなる。

ナイキスト線図は、自動制御や信号処理で使用される周波数応答のパラメトリックプロットです。ナイキスト線図の最も一般的な用途は、フィードバックのあるシステムの安定性を評価することです。デカルト座標では、伝達関数の実部がX軸に、虚部がY軸にプロットされます。周波数をパラメータとして掃引することで、周波数ごとに1つの点が得られます。同じプロットは極座標でも記述でき、伝達関数のゲインが半径座標、伝達関数の位相が対応する角度座標となります。ナイキスト線図は、ベル研究所の元エンジニアであるハリー・ナイキストにちなんで名付けられました。

閉ループ負帰還システムの安定性評価は、開ループシステム（つまり、フィードバックループのない同じシステム）のナイキスト線図にナイキスト安定判別法を適用することによって行われます。この方法は、遅延やその他の非有理伝達関数を持つシステムにも容易に適用でき、他の方法では解析が難しいと思われる場合でも問題ありません。安定性は、点（−1, 0）を囲む回数を調べることで判断されます。システムが安定するゲインの範囲は、実軸との交点を調べることで決定できます。

ナイキスト線図は、伝達関数の形状に関する情報を提供することができます。たとえば、この線図は、曲線が原点に近づく角度によって、伝達関数の零点と極の数の差に関する情報を提供します^{[ 6 ] 。}

手描きで描く場合、ナイキスト線図の漫画版が用いられることがあり、これは曲線の線形性を示す一方で、関心領域の詳細をより分かりやすくするために座標を歪ませる。計算機でプロットする場合は、関心のあるすべての周波数を網羅するように注意する必要がある。これは通常、広い範囲の値をカバーするために、パラメータを対数的に掃引することを意味する。

この数学ではラプラス変換が用いられており、時間領域における積分と微分を、s領域における単純な乗算と除算に変換する。

伝達関数が次のようになるシステムを考える。${\displaystyle G(s)}$;負帰還を伴う閉ループに配置された場合${\displaystyle H(s)}$すると、閉ループ伝達関数（CLTF）は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

安定性は、感度低下係数多項式の根を調べることによって判断できる。${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$例えばラウス配列を用いる方法もあるが、この方法はやや面倒である。開ループ伝達関数（OLTF）を調べることによっても結論を導き出すことができる。${\displaystyle G(s)H(s)}$ボード線図を使用するか、またはここではナイキスト基準を使用した極座標線図を使用して、次のようにします。

任意のラプラス領域伝達関数$\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$2つの多項式の比として表すことができる。

$\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

ルーツ${\displaystyle N(s)}$はゼロと呼ばれます$\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$、そしてそのルーツは${\displaystyle D(s)}$極は​$\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$極$\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$特性方程式の根とも言われている${\displaystyle D(s)=0}$。

安定性$\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$は極の値によって決定されます。安定性のためには、各極の実数部は負でなければなりません。$\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$開ループ伝達関数の周りに負の単位フィードバックループを閉じることによって形成され、

${\displaystyle G(s)H(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$

すると、特性方程式の根は、${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$あるいは単に${\displaystyle A(s)+B(s)=0}$。

複素解析から、輪郭$\displaystyle \Gamma _{s}}$複雑な${\displaystyle s}$関数の零点と極を包含するが、それらを通過しない平面${\displaystyle F(s)}$、別の平面にマッピングできます（名前は${\displaystyle F(s)}$平面) 関数によって${\displaystyle F}$正確には、各複素点${\displaystyle s}$輪郭の中で${\displaystyle \Gamma _{s}}$その点にマッピングされる ${\displaystyle F(s)}$新しい${\displaystyle F(s)}$平面が新たな輪郭を生み出す。

ナイキスト線図${\displaystyle F(s)}$輪郭線${\displaystyle \Gamma _{F(s)}=F(\Gamma _{s})}$その地点を囲む${\displaystyle s={-1/k+j0}}$の${\displaystyle F(s)}$飛行機${\displaystyle N}$時代、${\displaystyle N=P-Z}$コーシーの議論原理により。${\displaystyle Z}$そして${\displaystyle P}$それぞれ、ゼロの数${\displaystyle 1+kF(s)}$そして極${\displaystyle F(s)}$輪郭の内側${\displaystyle \Gamma _{s}}$. 包囲を数える際には、${\displaystyle F(s)}$輪郭と同じ意味での平面${\displaystyle \Gamma _{s}}$そして、反対方向の囲みは負の囲みである。つまり、時計回りの囲みを正、反時計回りの囲みを負とみなす。

コーシーの引数原理の代わりに、ハリー・ナイキストが1932年に発表した原著論文では、より洗練されていない手法が用いられている。ここで説明する手法は、ベル研究所に所属していたリロイ・マッコール（『サーボ機構の基本理論』1945年）やヘンドリック・ボーデ（『ネットワーク解析とフィードバック増幅器の設計』1945年）が用いた手法と類似している。この手法は、現代の制御理論の教科書のほとんどに掲載されている。

まず、複素平面の右半分を囲むナイキスト線を構築します。

• 上へ向かう道${\displaystyle j\omega }$軸から${\displaystyle 0-j\infty }$に${\displaystyle 0+j\infty }$。
• 半径が半円弧${\displaystyle r\to \infty }$、それは${\displaystyle 0+j\infty }$そして時計回りに進み${\displaystyle 0-j\infty }$。

関数を通してマッピングされたナイキスト等高線${\displaystyle 1+G(s)}$グラフは${\displaystyle 1+G(s)}$複素平面において。偏角原理により、原点を時計回りに周回する回数は、${\displaystyle 1+G(s)}$右半複素平面では、極の数を差し引いた${\displaystyle 1+G(s)}$右半複素平面において。代わりに、輪郭が開ループ伝達関数によってマッピングされる場合。${\displaystyle G(s)}$その結果はナイキスト線図である。${\displaystyle G(s)}$結果として得られる等高線の −1 の囲み数を数えることで、右半複素平面の極と零点の数の差を求めることができます。${\displaystyle 1+G(s)}$のゼロを思い出してください${\displaystyle 1+G(s)}$は閉ループシステムの極であり、${\displaystyle 1+G(s)}$極と同じ${\displaystyle G(s)}$ここで、ナイキスト基準を述べます。

ナイキスト線図が与えられた場合${\displaystyle \Gamma _{s}}$、 させて${\displaystyle P}$極の数を${\displaystyle G(s)}$に囲まれている${\displaystyle \Gamma _{s}}$、 そして${\displaystyle Z}$ゼロの数を${\displaystyle 1+G(s)}$に囲まれている${\displaystyle \Gamma _{s}}$あるいは、より重要なことに、もし${\displaystyle Z}$は右半平面における閉ループシステムの極の数であり、${\displaystyle P}$は開ループ伝達関数の極の数である。${\displaystyle G(s)}$右半平面では、結果として得られる輪郭は${\displaystyle G(s)}$-飛行機、${\displaystyle \Gamma _{G(s)}}$（時計回りに）その点を囲む${\displaystyle (-1+j0)}$${\displaystyle N}$次のような回数${\displaystyle N=Z-P}$。

システムが元々開ループ不安定な場合、システムを安定化するにはフィードバックが必要です。右半平面（RHP）極はその不安定性を表します。システムの閉ループ安定性のためには、s平面の右半平面にある閉ループ根の数がゼロでなければなりません。したがって、反時計回りの円周の数はゼロになります。${\displaystyle -1+j0}$右半平面（RHP）内の開ループ極の数と等しくなければなりません。開ループ周波数応答が（低周波数から高周波数の順に判断した場合）臨界点を時計回りに一周する場合、ループを閉じるとフィードバック制御システムが不安定になることを示しています。（RHPの零点を使用してRHP極を「打ち消す」ことは不安定性を取り除くのではなく、フィードバックが存在する場合でもシステムが不安定なままであることを保証します。これは、フィードバックが存在する場合、閉ループの根が開ループ極と零点の間を移動するためです。実際、RHPの零点によって不安定な極が観測不能になり、フィードバックによる安定化が不可能になる場合があります。）

上記の検討は、開ループ伝達関数が${\displaystyle G(s)}$虚軸上に極を持たない（つまり、次の形式の極を持たない）${\displaystyle 0+j\omega }$これは、経路が写像関数のどの極も通過してはならないという偏角原理の要件によるものです。最も一般的なケースは、積分器（極がゼロにある）を持つシステムです。

虚軸上に極を持つシステムを解析できるようにするには、ナイキスト線図を修正して、その極を通らないようにすることができる。${\displaystyle 0+j\omega }$一つの方法は、半径の半円弧を描くことです。${\displaystyle r\to 0}$その周り${\displaystyle 0+j\omega }$、それは${\displaystyle 0+j(\omega -r)}$そして反時計回りに進み${\displaystyle 0+j(\omega +r)}$このような変更はフェーザが${\displaystyle G(s)}$無限半径の弧に沿って移動する${\displaystyle -l\pi }$、 どこ${\displaystyle l}$これは、虚軸上の極の多重度です。

このプロセスを通して、ゲインkを持つユニティフィードバックシステムの伝達関数の安定性を確認することが私たちの目標です。伝達関数は次のように表されます。

${\displaystyle T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}$

つまり、上記の伝達関数の特性方程式が、

${\displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}$

左半平面（一般的にOLHPと初期化される）の外側にゼロが存在する。

時計回り（つまり負の方向）の輪郭があると仮定します${\displaystyle \Gamma _{s}}$関数の零点や極を通過しないように必要に応じてくぼみを設けて、右半平面を囲む。${\displaystyle G(s)}$コーシーの議論原理は次のように述べている。

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P}$

どこ${\displaystyle Z}$はゼロの数を表します${\displaystyle D(s)}$輪郭線で囲まれ、${\displaystyle P}$極の数を表す${\displaystyle D(s)}$同じ輪郭で。並べ替えると、次のようになります。 ${\displaystyle Z=N+P}$つまり

${\displaystyle Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P}$

次に、${\displaystyle D(s)=1+kG(s)}$と全く同じ極を持つ${\displaystyle G(s)}$したがって、次のことがわかるかもしれません。${\displaystyle P}$極を数えることによって${\displaystyle G(s)}$輪郭内、つまり開いた右半平面（ORHP）内に現れるもの。

ここで、上記の積分を置換積分によって整理します。つまり、${\displaystyle u(s)=D(s)}$、 我々は持っています

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du}$

次に、さらに代入を行い、${\displaystyle v(u)={\frac {u-1}{k}}}$これにより、

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}$

ここで、${\displaystyle v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})}$輪郭の画像が${\displaystyle G(s)}$つまり、ナイキスト線図のことです。さらに積分を減らすことができます。

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv}$

コーシーの積分公式を適用することによって。実際、上記の積分はナイキスト線図が点を囲む回数に正確に対応していることがわかります。${\displaystyle -1/k}$時計回り。したがって、最終的に次のように述べることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}}$

したがって、次のことがわかります。${\displaystyle T(s)}$上記で定義したように、安定なユニティフィードバックシステムに対応するのは、${\displaystyle Z}$上記のように評価すると、0に等しい 。

ナイキスト安定判別法は、フィードバック制御システムなどの動的システムの安定性を判定する図式的な手法です。これは、システムの開ループ伝達関数の引数原理とナイキスト線図に基づいています。遅延のあるシステムなど、有理関数で定義されないシステムにも適用できます。また、ボード線図とは異なり、右半平面に特異点を持つ伝達関数も扱うことができます。ナイキスト安定判別法は、周波数領域コントローラの設計において重要なシステムの位相余裕とゲイン余裕を求めるためにも使用できます。^{[ 7 ]}

• 開ループ伝達関数${\displaystyle G(s)}$多重度のゼロ極を持つ${\displaystyle l}$すると、ナイキスト線図には次の点で不連続点が生じる。${\displaystyle \omega =0}$さらなる解析では、フェーザが移動すると仮定する必要がある。${\displaystyle l}$無限半径の半円に沿って時計回りに 回。この規則を適用した後、零極は無視する必要があります。つまり、他の不安定極がない場合、開ループ伝達関数は次のようになります。${\displaystyle G(s)}$安定していると考えるべきである。
• 開ループ伝達関数${\displaystyle G(s)}$が安定である場合、閉ループシステムは、の場合に限り不安定であり、ナイキスト線図は点 −1 を少なくとも 1 回囲します。
• 開ループ伝達関数${\displaystyle G(s)}$が不安定な場合、閉ループシステムが安定するためには、各極に対して −1 の反時計回りの周回が 1 回必要となる。${\displaystyle G(s)}$複素平面の右半分に位置する。
• 余剰周回数（N  + P > 0）は、閉ループシステムの不安定極の数と正確に一致する。 
• しかし、グラフがたまたまその点を通過する場合${\displaystyle -1+j0}$すると、システムの限界安定性さえも判断するのが難しくなり、グラフから導き出せる唯一の結論は、${\displaystyle j\omega }$軸。

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• フォークナー、EA（1969）：線形システムの理論入門；チャップマン＆ホール；ISBN 0-412-09400-2
• ピパード、AB（1985）：応答と安定性；ケンブリッジ大学出版局；ISBN 0-521-31994-3
• ゲッシング、R. (2004):制御の基礎; シレジア工科大学; ISBN 83-7335-176-0
• Franklin, G. (2002):動的システムのフィードバック制御; Prentice Hall、ISBN 0-13-032393-4

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