ノモグラム

ノモグラム（ギリシャ語のνόμος (nomos)  「法則」とγράμμα (gramma)  「描かれたもの」に由来）は、ノモグラフ、アライメントチャート、またはabacとも呼ばれ、グラフィカルな計算デバイスであり、数学関数のおおよそのグラフィカル計算を可能にするために設計された2次元の図です。ノモグラフィーの分野は、1884年にフランスのエンジニアであるフィルベール・モーリス・ドカーニュ（1862–1938）によって発明され、エンジニアが複雑な数式を実用的な精度で高速にグラフィカルに計算できるようにするために、長年にわたって広く使用されました。ノモグラムは、標準的な直交座標ではなく、ドカーニュによって発明された平行座標系を使用します。

ノモグラムは、方程式内の各変数に 1 つずつ、n 個のスケールのセットで構成されます。n-1 個の変数の値がわかれば、未知の変数の値を求めることができます。また、一部の変数の値を固定すれば、固定されていない変数間の関係を調べることができます。結果は、定規をスケール上の既知の値に渡して置き、その変数のスケールと交差する場所から未知の値を読み取ることで得られます。定規によって作成された仮想線または描画線は、インデックス ラインまたは等値線と呼ばれます。

ノモグラムは、電卓の時代以前に迅速かつ正確な計算を可能にしたため、約 75 年間、さまざまな状況で普及しました。ノモグラムの結果は、1 本以上の線を引くだけで、非常に迅速かつ確実に得られます。ユーザーは、代数方程式を解く方法、表内のデータを検索する方法、計算尺を使用する方法、または結果を取得するために方程式に数値を代入する方法を知る必要はありません。ユーザーは、ノモグラムが表す基礎方程式を知る必要さえありません。さらに、ノモグラムは、暗黙的または明示的なドメイン知識を自然とその設計に取り入れています。たとえば、精度を高めるためにノモグラムを大きくする場合、ノモグラファーは通常、問題に対して妥当で関心のあるスケール範囲のみを含めます。多くのノモグラムには、参照ラベルや色付きの領域など、その他の便利なマークが含まれています。これらはすべて、ユーザーにとって便利なガイドポストとなります。

ノモグラムは、計算尺と同様に、グラフィカルなアナログ計算装置です。また、計算尺と同様に、その精度は、物理的な目盛りを描画、再現、表示、および位置合わせできる精度によって制限されます。汎用計算装置である計算尺とは異なり、ノモグラムは、装置のスケールに組み込まれた値の表を使用して特定の計算を実行するように設計されています 。ノモグラムは通常、ノモグラムが提供する精度のレベルが十分で有用なアプリケーションで使用されます。または、ノモグラムは、より正確だがエラーが発生しやすい計算によって得られた答えを確認するために使用できます。

その他の種類のグラフィカル計算機（切片チャート、三線図、六角形チャートなど）は、ノモグラムと呼ばれることもあります。これらのデバイスは、1 つ以上の線形等値線を使用して解を求めるグラフィカル計算機としてのノモグラムの定義を満たしていません。

3 変数方程式のノモグラムには通常 3 つのスケールがありますが、2 つまたは 3 つのスケールすべてが共通のノモグラムも存在します。この場合、2 つのスケールは既知の値を表し、3 つ目のスケールは結果が読み取られるスケールです。最も単純な方程式は、3 つの変数u ₁、u ₂、u _{3に対して}u ₁ + u ₂ + u ₃ = 0 です。このタイプのノモグラムの例を右側に示し、ノモグラムの各部分を説明するために使用される用語を注釈として示します。

より複雑な方程式は、3 つの変数の関数の合計として表現できる場合があります。たとえば、この記事の冒頭にあるノモグラムは、方程式の両辺の対数を取った後にそのような合計として表現できるため、平行スケールのノモグラムとして構築できます。

未知の変数のスケールは、他の 2 つのスケールの間または外側にすることができます。計算の既知の値はそれらの変数のスケールにマークされ、これらのマークの間に線が引かれます。結果は、線がそのスケールと交差するポイントで未知のスケールから読み取られます。スケールには、正確な数値の位置を示す「目盛り」が含まれており、ラベル付きの参照値も含まれる場合があります。これらのスケールは、線形、対数、またはより複雑な関係を持つ場合があります。

この記事の冒頭のノモグラムに赤で示されているサンプル等値線は、S  = 7.30 およびR = 1.17のときのTの値を計算します。等値線は、 T のスケールを 4.65 よりわずかに低いところで交差します。高解像度で紙に印刷されたより大きな数字は、3 桁の精度でT = 4.64 になります 。任意の変数は他の 2 つの値から計算できることに注意してください。これは、変数を他の変数から代数的に分離できない方程式に特に役立つノモグラムの特徴です。

直線スケールは比較的単純な計算には便利ですが、より複雑な計算には、単純な曲線スケールまたは複雑な曲線スケールの使用が必要になる場合があります。3 つ以上の変数のノモグラムは、2 つの変数のスケールのグリッドを組み込むか、より少数の変数の個々のノモグラムを連結して複合ノモグラムを作成することによって作成できます。

ノモグラムは、幅広い用途で使用されています。例としては、次のようなものがあります。

• d'Ocagne によるオリジナルのアプリケーションは、フランス国有鉄道システムの建設中に土砂を除去するための複雑な切土および盛土計算の自動化です。計算が簡単ではなく、結果的に時間、労力、および費用の大幅な節約につながったため、これは重要な概念実証でした。
• 水の流れを調節するための水路、パイプ、電線の設計。
• ローレンス・ヘンダーソンの研究。血液生理学のさまざまな側面を相関させるためにノモグラムが使用された。これは米国におけるノモグラムの最初の主要な使用であり、また世界初の医療用ノモグラムでもあった。^[要出典]
• 薬学や腫瘍学などの医療分野。^[1]
• 射撃管制システム以前の弾道計算では、計算時間が非常に重要でした。
• 機械工場の計算では、設計図の寸法を変換し、材料の寸法と特性に基づいて計算を実行します。これらのノモグラムには、標準寸法と使用可能な製造部品のマークが含まれていることがよくあります。
• 統計学は、分布の特性に関する複雑な計算や、品質管理のための受け入れテストの設計を含むオペレーションズリサーチに使用されます。
• オペレーションズ・リサーチは、さまざまな最適化問題で結果を得るためのものです。
• 化学と化学工学。特定の化合物に関する一般的な物理的関係と経験的データの両方をカプセル化します。
• 航空学では、ノモグラムは数十年にわたってあらゆる種類の航空機のコックピットで使用されていました。ナビゲーションと飛行制御の補助として、ノモグラムは高速でコンパクト、そして使いやすい計算機でした。
• 天文学的な計算、例えばPEエリアスバーグによるスプートニク1号の打ち上げ後の軌道計算など。 ^[2]
• あらゆる種類のエンジニアリング作業: フィルターや伝送ラインの電気設計、応力や負荷の機械計算、光学計算など。
• 軍事分野では、電気機器に依存せず、現場で複雑な計算を迅速かつ確実に行う必要があります。
• 地震学では、地震の規模を推定し、確率論的地震ハザード解析の結果を提示するためのノモグラムが開発されている^[3]

以下のノモグラムは計算を実行します。

$${\displaystyle f(A,B)={\frac {1}{1/A+1/B}}={\frac {AB}{A+B}}}$$

このノモグラムは、直線の等間隔スケールのみを使用して、便利な非線形計算を実行するという点で興味深いものです。対角線のスケールは軸のスケールの 1 倍ですが、その上の数字はそのすぐ下または左側の数字と正確に一致するため、グラフ用紙に対角線を描くだけで簡単に作成できます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

AとB は水平および垂直のスケールに入力され、結果は対角スケールから読み取られます。AとBの調和平均に比例するため、この式はさまざまな用途に使用できます。たとえば、電子工学における並列抵抗の式や、光学における薄レンズ方程式です。

この例では、赤い線は、56 オームと 42 オームの並列抵抗器の合成抵抗が 24 オームであることを示しています。また、焦点距離が24 cm のレンズから 56 cm の距離にある物体は、42 cm の距離に 実像を形成することも示しています。

以下のノモグラムは、よく知られている統計テストであるピアソンのカイ二乗検定を実行するときに必要ないくつかの値の近似計算を実行するために使用できます。このノモグラムは、不均等な間隔の目盛りが付いた曲線スケールの使用を示しています。

関連する表現は次のとおりです。

$${\displaystyle {\frac {(OBS-EXP)^{2}}{EXP}}}$$

上部のスケールは、観測値の 5 つの異なる範囲 (A、B、C、D、E) で共有されます。観測値はこれらの範囲のいずれかにあり、そのスケールで使用される目盛りはそのすぐ上にあります。次に、範囲に基づいて、期待値に使用される曲線スケールが選択されます。たとえば、観測値が 9 の場合、範囲 A の 9 の上の目盛りが使用され、期待値には曲線スケール A が使用されます。観測値が 81 の場合、範囲 E の 81 の上の目盛りが使用され、期待値には曲線スケール E が使用されます。これにより、5 つの異なるノモグラムを 1 つの図に組み込むことができます。

このように、青い線は次の計算を示しています。

      （9 − 5）² / 5 = 3.2

赤い線は次の計算を示しています:

      （81 − 70）² / 70 = 1.7

テストを実行する際には、Yates の連続性補正がよく適用され、観測値から 0.5 を引くだけです。Yates の補正を使用してテストを実行するためのノモグラムは、各「観測」スケールを半単位左にシフトするだけで作成できます。その結果、現在のチャートで 0.5、1.5、2.5 などの値が表示される場所に 1.0、2.0、3.0 などの目盛りが配置されます。

ノモグラムは数学的な関係を表しますが、すべてが数学的に導き出されたものではありません。次のノモグラムは、数値ではなく主観的な単位での関係の積によって容易に定義できる適切な最終結果を得るために、グラフィカルに開発されました。非平行軸を使用することで、非線形関係をモデルに組み込むことができました。

四角いボックス内の数字は、適切な評価後に入力が必要な軸を示します。

画像の上部にあるノモグラムのペアは、発生確率と可用性を決定し、それが下部の多段階ノモグラムに組み込まれます。

8 行目と 10 行目は「タイ ライン」または「ピボット ライン」であり、複合ノモグラムのステージ間の遷移に使用されます。

最後の対数スケールのペア (12) は、ノモグラムそのものではありませんが、リスク スコア (11、非常に低いから非常に高い) をサンプリング頻度に変換して、それぞれ安全性の側面とその他の「消費者保護」の側面に対処するための読み取りスケールです。この段階では、コストとリスクのバランスをとる政治的な「同意」が必要です。例では、それぞれに 3 年ごとの最小頻度を使用していますが、スケールの高リスク側は 2 つの側面で異なり、2 つの側面に対して異なる頻度が与えられていますが、どちらも 3 年に 1 回、すべての側面についてすべての食品の全体的な最小サンプリングを行うことを条件としています。

このリスク評価ノモグラムは、英国食品基準庁の資金提供を受けて英国公的分析サービスによって開発され、公式の食品管理の目的で食品の適切なサンプリングおよび分析頻度をガイドするツールとして使用されており、すべての食品のすべての潜在的な問題を評価するために使用されることを目的としていますが、まだ採用されていません。

定規を使えば、正弦定理の欠けている項や二次方程式や三次方程式の根を簡単に読み取ることができます。^[4]

• 
  正弦定理のノモグラム
• 
  二次方程式 x^2+px+q=0 を解くためのノモグラム
• 
  3次方程式 x^3+px+q=0 を解くためのノモグラム

• カートグラム
• ヒルベルトの第13の問題
• コルモゴロフ・アーノルド表現定理
• 負荷線（電子機器）
• 対数対数グラフ
• 片対数グラフ

ウィキメディア・コモンズには、ノモグラムに関連するメディアがあります。

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• 「ノモグラフィの芸術」では、幾何学、行列式、変換を使用したノモグラムの設計について説明します。
• 「The Lost Art of Nomography」は、ノモグラフィーの分野を調査した数学ジャーナルの記事です。
• ウォーゲーム用ノモグラムですが、一般的な興味にも役立ちます。
• PyNomo – ノモグラムを構築するためのオープンソースソフトウェア。
• シンプルなノモグラムを作成するためのJava アプレット(Wayback Machineに 2009-09-24 にアーカイブ) 。
• 3 つの変数の関係を視覚化するノモグラム - useR!2011 での Jonathan Rougier による招待講演のビデオとスライド。