複数受賞者投票

単記移譲式投票制度は、単一の選挙で多様な候補者をバランスよく選出する制度です。これは、当選の見込みのない候補者に投じられた票を、より人気のある候補者に移譲することで実現されます。単記移譲式投票制度で用いられる割当制は、少数派の代表性を確保します。つまり、選挙区の規模が小さい場合や、ある政党が投票総数の大部分を獲得しない限り、特定のグループがすべての議席を独占することはありません。

承認投票は、単記選挙でよく用いられる方法であり、複数名当選選挙でも用いられることがある。単記選挙では、有権者は承認する候補者に印をつけ、最も多くの票を獲得した候補者が当選する。

1895年には既に、ティーレはティーレの投票ルールと呼ばれる重み付けに基づくルールのファミリーを提案していた。^{[ 2 ] [ 5 ]}このファミリーの各ルールは、 k個の弱正の重みw1、...、wk（_kは委員会の規模）のシーケンスによって定義される。各投票者は、投票者が承認したp人の候補者を含む各委員会に、w1 + ... + wpに等しいスコアを割り当てる_。合計スコアが最も高い委員会が選出される。ティーレのファミリーにおける一般的な投票ルールには_、次のようなものがある。

• 複数非移譲投票（MNTV）：重みベクトルは（1, 1, ..., 1）です。これは多数決承認投票とも呼ばれます。
• 承認・シャンベリン・クーラン（ACC）：重みベクトルは（1, 0, ..., 0）です。つまり、各投票者は、委員会に自分が承認した候補者が含まれている場合に限り、その委員会に1ポイントを与えます。
• 比例承認投票(PAV): 重みベクトルは調和数列(1, 1/2, 1/3, ..., 1/ k )です。

ミニマックス承認投票^{[ 6 ]}とその一般化^{[ 7 ]} 、フラグメンの投票ルール^{[ 8 ]}、均等配分法^{[ 9 ] [ 10 ]}など、他の原理に基づくルールも存在する。

勝者を決定する複雑さは様々である。MNTVの勝者は多項式時間で見つけることができるが、Chamberlin-Courant ^{[ 11 ]}とPAVはどちらもNP困難である。

順位に基づく単記投票では、順位付けによる得点方式が一般的です。各投票者は候補者を最良から最悪まで順位付けし、事前に定められた関数によって各候補者の順位に基づいて得点が割り当てられ、合計得点が最も高い候補者が選出されます。

これらのシステムを使用して行われる複数当選者投票では、個々の候補者ではなく委員会にスコアを割り当てる必要があります。これを行うにはさまざまな方法があります。たとえば、次のとおりです。^{[ 1 ]}

• 単記非譲渡投票：投票者は、最も支持する候補者が含まれている委員会に1ポイントを付与します。言い換えれば、複数当選者を選出する選挙において、各投票者は1人の候補者に投票し、得票数の多いk人の候補者が当選します。これは、小選挙区制を一般化したものです。計算時間は多項式時間で済みます。
• 複数非譲渡投票（ブロック投票とも呼ばれる）：各投票者は、上位kの候補者のうち空席となっている各議席につき、委員会に1ポイントを与える。言い換えれば、各投票者はkの候補者に投票し、 kの議席が空席となっている場合、最も多くの票を獲得したk人の候補者が選出される。
• k-ボルダ方式：各投票者は、各委員に自身のボルダ点数を提示する。各投票者は候補者を順位付けし、その順位を合計して得点する。ボルダ点数の合計が最も高いk人の候補者が選出される。
• ボルダ・シャンベルラン・クーラン（BCC）：各投票者は、各委員会に対して、その委員会内で最も支持する候補者のボルダ数を与える。^{[ 12 ]} BCCで勝者を計算することはNP困難である。^{[ 11 ]}

単記投票制において、コンドルセ勝者とは、他のすべての候補者との一対一の選挙で勝利する候補者のことである。コンドルセ方式とは、コンドルセ勝者が存在する場合には必ずそれを選出する方法である。コンドルセ基準を複数勝者投票制に適用する方法はいくつかある。

• 最初の適応はピーター・フィッシュバーンによるものでした。^{[ 13 ] [ 14 ]}委員会は、投票者の過半数によって他のどの委員会よりも好まれる場合にコンドルセ委員会となります。フィッシュバーンは、投票者が承認セットのメンバー数によって委員会をランク付けすると仮定しました（つまり、投票者は二分法的な選好を持っています）。後の研究では、投票者がボルダ数などの他の基準によって委員会をランク付けすると仮定しました。委員会がこの基準を満たすかどうかを確認することはcoNP完全であり、コンドルセ委員会が存在するかどうかを判断することはcoNP困難です。^{[ 15 ]}
• 別の適応は、Gehrlein ^{[ 16 ]}と Ratliff ^{[ 17 ]}によるもので、委員会の各候補者が、その外の各候補者よりも投票者の過半数によって好まれる場合、その委員会はコンドルセ委員会である。複数勝者投票ルールは、コンドルセ集合が存在する場合にそれを選択する場合に安定していると呼ばれることがある。^{[ 18 ]}いくつかの安定ルールは次のとおりである。^{[ 19 ]}
  • 複数当選者コープランドの方法。各委員会は「外部敗北数」によって採点される。これは、 cが委員会に含まれ、dが含まれておらず、かつ投票者の過半数によってcがdよりも好まれるペア( c、d )の数である。
  • マルチウィナーミニマックスコンドルセ法。各委員会は「外部反対の規模」によって採点されます。これは、すべてのペア（c、d）の中で、 c を好む投票者の数の最小値です。
  • 他のコンドルセルールの複数勝者バリアント。^{[ 20 ]}
• 3つ目の適応はエルキンド、ラング、サフィディンによるもので、^{[ 21 ]}コンドルセ勝利セットとは、セットに含まれていない各メンバーdに対して、投票者の過半数がセット内のメンバーをdよりも好むようなセットのことである。

卓越性とは、選出された委員会が「最良」の候補者で構成されるべきであることを意味します。卓越性に基づく投票ルールは、スクリーニングルールと呼ばれることがよくあります。^{[ 18 ]}これらは、最良候補者1名を選出する最初のステップ、つまりショートリストを作成する方法としてよく使用されます。このようなルールが満たすべき基本的な特性は、委員会の単調性（ハウスの単調性とも呼ばれ、リソースの単調性の変形）です。あるルールによってk人の候補者が選出され、その後委員会のサイズがk +1に増加してルールが再適用される場合、最初のk人の候補者が引き続き選出される必要があります。委員会の単調性ルールのいくつかのファミリーは次のとおりです。

• 逐次ルール: ^{[ 18 ]}任意の単一勝者投票ルールを使用して、1 人の候補者を選び、それを委員会に追加します。このプロセスをk回繰り返します。
• ベストkルール：^{[ 1 ]}任意の採点ルールを使用して、各候補者にスコアを割り当てます。最も高いスコアを持つk人の候補者を選択します。

委員会の単調性という性質は、安定性という性質（コンドルセの基準の特殊な応用）と両立しない。つまり、サイズ2のコンドルセ集合とサイズ3のコンドルセ集合を一意に許容する単一の投票プロファイルが存在し、それらは互いに素である（サイズ2の集合はサイズ3の集合に含まれない）。^{[ 18 ]}

一方、委員会単調性を持つ位置的得点ルールのファミリー、すなわち分離可能な位置的得点ルールが存在する。これらのルールは、（基礎となる単一勝者得点関数が多項式時間で計算できる場合）多項式時間で計算可能である。^{[ 1 ]}例えば、k-ボルダは分離可能であるが、複数非譲渡投票は分離可能ではない。

多様性とは、選出された委員会が、できるだけ多くの有権者から最も支持された候補者で構成されるべきであることを意味する。形式的には、多様性を重視した制度においては、以下の公理が妥当である。

• 狭上限基準：^{[ 1 ]}すべての投票者の最上位候補者を含むkサイズの委員会が存在する場合、その委員会が選出されるべきである。
• トップメンバーの単調性：^{[ 22 ]}委員会が選出され、ある投票者が最も好む当選者の順位を上げたとしても、同じ委員会が選出されるべきである。

比例代表制とは、結束力のある有権者グループ（つまり、似たような嗜好を持つ有権者グループ、いわゆる全会一致の選挙区）は、その規模（得票数）に比例した数の当選者によって代表されるべきであるという原則です。正式には、委員会の規模がkで、有権者がn人いる場合、各委員はn / k人の有権者を代表します。また、L × n / k人の有権者が同じL人の候補者を上位にランク付けした場合（または同じL人の候補者に承認を与えた場合）、そのL人の候補者が選出されるべきです。この原則は、有権者が政党に投票する場合（政党名簿式）には容易に適用できますが、承認投票にも適用でき、単記移譲式投票（STV）選挙制度でも実現できます。詳しくは、 「正当な代表制と強固な連立政権に対する比例代表制」を参照してください。

比例性は、投票の順位を決定する有効な優先順位1つだけで測定できます。実際、STVでは、各投票に対して考慮される優先順位は1つだけです（グレゴリー方式のように小数点以下の移譲が使用される場合を除く）。政党の優先順位が政党の路線に沿ってマークされている場合、政党の票のブロックはそのまま残りますが、常にそうとは限りません。STVでは、有権者は政党の路線を超えて、自分の希望に応じて優先順位をマークする自由があります。STVでは、選出された委員会は多様な代表者で構成されます。有効な優先順位の上位に従って投票の順位によって決定される、実質的な（割当サイズの）各グループは、自分たちの希望する候補者を選出します。