均等割方式

均等割方式[ ^{1] [2] [3] [4]は、}参加型予算編成^[2]、委員会選挙[ ^3]、および同時公開決定[ ^4]に適用される比例投票集計方式です。 ^{[5]この方式は、投票者が}承認投票、順位投票、またはカーディナル投票で投票するときに使用できます。この方式では、利用可能な予算を各投票者に割り当てられる均等な部分に分割します。この方式では、投票者の予算配分を使用して、投票者が投票したプロジェクトのみを実施できます。次に、支持する投票者の予算配分を使用して実行できるプロジェクトを繰り返し見つけます。参加型予算編成以外の状況では、この方式は「投票権」の抽象的な予算を均等に分割することで機能します。^[1]

2023年には、ポーランドのヴィエリチカ市で参加型予算編成プログラムに均等割方式が採用された。^[6]グリーンミリオン（Zielony Milion）として知られるこのプログラムは、市の住民が提案した環境プロジェクトに100万ズウォティを配分することになっていた。また、2023年にはスイスのアーラウ市でも参加型予算編成プログラム（Stadtidee）で均等割方式が採用された。^[7]

均等割法は、2019年の委員会選挙の文脈で初めて議論され、当初は「ルールX」という名前で呼ばれていました。^{[1] [3] [4]} 2022年から、文献ではこのルールを均等割法と呼んでおり、特に参加型予算アルゴリズムの文脈で言及する場合はそうです。^{[2] [8]この方法は、2019年初めにアジズとリーが序数選好（承認投票を含む）のために導入した、}拡大承認ルールと呼ばれる投票方法のクラスのメンバーとして説明できます。^[9]

この方法は、不均衡な方法ではあるが、ほとんどの都市で使用されているナップサックアルゴリズムの代替手段である。例えば、人口の51％が10の赤いプロジェクトを支持し、49％が10の青いプロジェクトを支持し、資金が10のプロジェクトにしか足りない場合、ナップサック予算は51％が支持する10の赤いプロジェクトを選択し、49％を完全に無視する。^[10]対照的に、均等割方式では、5つの青いプロジェクトと5つの赤いプロジェクトが選択される。

この方法は比例代表制を保証し、参加型予算編成に適応した正当化代表公理の強力な変形を満たします。 ^[2]これは、人口のXパーセントのグループが、グループが支援するプロジェクトに予算のXパーセントを費やすことを意味します（グループのすべてのメンバーが同じか少なくとも同様の投票をしたと仮定）。

参加型予算編成の文脈では、この方法は、自治体の予算が当初は有権者間で均等に分配されることを前提としています。プロジェクトが選択されるたびに、その費用は、プロジェクトを支持し、まだお金を持っている有権者の間で分割されます。これらの有権者の貯蓄はそれに応じて減少します。有権者が承認投票で投票する場合、選択されたプロジェクトの費用は有権者間で均等に分配されます。有権者が基数投票で投票する場合、費用は有権者がプロジェクトから享受する効用に応じて分配されます。このルールでは、この方法で支払うことができるプロジェクトを選択し、効用ごとの有権者の限界費用を最小化するプロジェクトから始めます。

100 人の投票者と 9 つのプロジェクトがある次の例は、ルールがどのように機能するかを示しています。この例では、合計予算は 1,000 ドルなので、利用可能な 9 つのプロジェクトから 5 つを選択できます。ルールの動作を示す以下のアニメーション図を参照してください。

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  プロジェクトは 9 つあります。たとえば、3 番目のグループの 11 人の投票者は D と G に投票しました。合計予算 1,000 ドルは 100 人の投票者に均等に分配されます。各投票者には 10 ドルが与えられます。画像の上の矢印をクリックすると、この方法の次の手順が表示されます。
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  プロジェクト D は最も多くの票を獲得しました。D の費用を支持者間で均等に分割すると、各投票者は 3.03 ドルを支払うことになります。D は投票者の最大支払額を最小限に抑えるプロジェクトであるため、選択されます。
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  プロジェクト A は 60 票を獲得しました。前のステップと同様に、A のコストを支持者間で均等に分割すると、各投票者は最大で 3.33 ドルを支払うことになります。プロジェクト A は投票者の最大支払額を最小限に抑えるため、選択されます。
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  プロジェクト C は 56 票を獲得し、第 3 ラウンドで選出されました。C の支持者 1 人あたり 3.64 ドルを支払う必要がありますが、これは最低支払額です。この時点で、最初の 46 人の投票者の資金が尽きています。
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  4 番目のステップでは、プロジェクト G が選択されます。一部の有権者は購入に平等に参加できるだけの資金がないため、残りの資金をすべて支払います。この候補者の最大支払額は 6.97 ドルです。
• 
  最後のステップでは、プロジェクト H が選択されます。これで、4 番目のグループの投票者だけが資金を持っています。彼らは、投票したプロジェクトを購入するのに十分な資金を持っています。選択されたプロジェクトの最大支払額は、現在 10 ドルです。

予算はまず投票者間で均等に分割され、各投票者は 10 ドルを受け取ります。プロジェクト は最も多くの票を獲得し、第 1 ラウンドで選択されます。 の費用をを支持した投票者間で均等に分割すると、各投票者は を支払うことになります。対照的に、例えば を選択した場合、投票者 1 人あたりの費用は になります。この方法では、まず投票者 1 人あたりの価格を最小化するプロジェクトを選択します。 ${\displaystyle \mathrm {D} }$${\displaystyle \mathrm {D} }$${\displaystyle \mathrm {D} }$${\displaystyle \$200/66\approx \$3.03}$${\displaystyle \mathrm {E} }$${\displaystyle \$200/46\approx \$4.34}$

最後のステップでは、より多くの有権者が支持するプロジェクト、たとえば、があったにもかかわらず、プロジェクト が選択されたことに注意してください。これは、 の支持者が管理権を持つ資金が、以前に、、、およびの選択を正当化するために使用されたためです。一方、 に投票した有権者は人口の 20 パーセントを占めるため、予算の約 20 パーセントを決定する権利を持ちます。これらの有権者は のみを支持したため、このプロジェクトが選択されたのです。 ${\displaystyle \mathrm {H} }$${\displaystyle \mathrm {E} }$${\displaystyle \mathrm {E} }$${\displaystyle \mathrm {D} }$${\displaystyle \mathrm {A} }$${\displaystyle \mathrm {C} }$${\displaystyle \mathrm {H} }$${\displaystyle \mathrm {H} }$

枢機卿投票を含むより詳細な例については、例 2 を参照してください。

このセクションでは、基数投票のルールの定義を示します。この定義を承認投票と順位投票に適用する方法については、ディスカッションを参照してください。

プロジェクト の集合と、投票者 の集合があります。各プロジェクトについて、 はそのコストを表し、 は利用可能な自治体予算の規模を表します。各投票者と各プロジェクトについて、の に対する基数投票を表します。これは、プロジェクト に対する投票者の評価のレベルを定量化する数値です。 ${\displaystyle P=\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{m}\}}$${\displaystyle N=\{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle \mathrm {cost} (p)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle i\in N}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle u_{i}(p)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle c}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p}$

均等割方式はラウンドで機能します。最初に、予算の均等な部分を各投票者の仮想銀行口座に入金します。各ラウンドで、この方式では次の手順で 1 つのプロジェクトを選択します。 ${\displaystyle b_{i}=b/n}$

次の図は、このメソッドの動作を示しています。

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  利用可能なプロジェクトは 8 つあり、投票者は 250 人です。たとえば、最初の 65 人の投票者はプロジェクト B に 30 という値を割り当て、プロジェクト E と G に 10 という値を割り当てます。合計予算 2,500 ドルは 250 人の投票者間で均等に分割されます。各投票者には 10 ドルが与えられます。画像の上の矢印をクリックすると、この方法の次の手順が表示されます。
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  最初にプロジェクト B が選択され、そのコストは投票者がプロジェクトに割り当てた値に比例して分割されます。この場合、これは最初のグループと 2 番目のグループの投票者の間で均等に分割されることを意味します。各投票者は 2 ドルを支払い、その 2 ドルに対して 30 の効用を得ます。したがって、効用あたりの最大支払額は に等しくなります。別のプロジェクトが選択された場合、効用あたりの最大支払額はより高くなります。${\displaystyle 2/30\approx 0.066}$
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  プロジェクト G と、図に示されている支払いについて考えてみましょう。支払いは等しくありませんが、投票者が G に割り当てた値に比例しています。プロジェクト G に対する投票者のユーティリティあたりの支払いは最大で、この値はすべてのプロジェクトの中で最小です。したがって、G が選択されます。このラウンドの後、4 番目のグループの投票者の資金は尽きています。${\displaystyle 1/10=4/40=10/100=0.1}$
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  3 回目の投票では、プロジェクト F が選択されます。F の支持者は全員、価格の均等な部分を支払います。ただし、お金のない 4 番目のグループの投票者は除きます。お金があれば、彼らも参加する必要があります。ただし、プロジェクト F のユーティリティあたりの最大支払いは最小 (0.2) であるため、F が選出されます。
• 
  第 4 ラウンドでは、プロジェクト E が選出されます。図に示されている支払いについて考えてみましょう。3 番目のグループの投票者は、ユーティリティに比例して支払うにはお金が少なすぎるにもかかわらず、全員に 4 ドルが残っていることに注目してください。この場合、残っているお金をすべて支払います。ユーティリティごとの最大支払い (最初のグループの投票者が支払う) は最小で、約 0.54 になります。
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  最後のステップでは、プロジェクト C が選出されます。2 番目と 6 番目のグループの投票者は、ユーティリティに比例して支払うにはお金が少なすぎるため、可能な限り多く支払います。ユーティリティあたりの最大支払いは、5 番目のグループの投票者に支払われ、0.7 になります。
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  ルールは予算 2,500 ドルのうち 2,380 ドルを費やしました。第 1 グループと第 5 グループの投票者は貯蓄がプラスですが、彼らの支持者はプロジェクトに資金を投じることができません。そのため、アルゴリズムは停止します。結果はさらに完了できます。功利主義戦略によれば、予算制約内に収まるプロジェクト全体で効用あたりのコストが最大で、プロジェクト H が選択されます。${\displaystyle 110/(2\cdot 50+1\cdot 10+1\cdot 55)}$

このセクションでは、均等割付法の他のバリエーションについて説明します。

均等割方式は、他の種類の有権者投票でも使用できます。

この方法は、投票者が好きなプロジェクトにマークを付けて投票する設定に 2 つの方法で適用できます (例 1 を参照)。

1. プロジェクトが投票者によって承認された場合は、そうでない場合はを設定します。これは、投票者の効用が、投票者が支持するプロジェクトに費やされた合計金額に等しいことを前提としています。この前提は、ナップサック アルゴリズムなど、参加型予算編成の承認投票を数える他の方法でよく使用され、通常はより高価なプロジェクトがより少なく選択されることになります。${\displaystyle u_{i}(p)=\mathrm {cost} (p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u_{i}(p)=0}$
2. プロジェクトが投票者によって承認されるかどうかの設定。これは、投票者の効用が承認された選択されたプロジェクトの数に等しいことを前提としています。これにより、通常は、より多くの、しかしより安価なプロジェクトが選択されます。${\displaystyle u_{i}(p)=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u_{i}(p)=0}$

この方法は、投票者がプロジェクトを最も好まれるものから最も好まれないものまでランク付けして投票するモデルに適用されます。辞書式優先順位を仮定すると、投票者のランキングにおけるプロジェクトの位置に依存する規則 を使用でき、が よりも好まれるとランク付けされる場合は常に となります。 ${\displaystyle u_{i}(p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u_{i}(p)/u_{i}(p')\to \infty }$${\displaystyle i}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p'}$

正式には、このメソッドは次のように定義されます。

各投票者について、はプロジェクトに対する投票者の順位を表します。たとえば、は投票者 の観点から最も好まれるプロジェクト、は投票者の 2 番目に好まれるプロジェクト 、 は最も好まれないプロジェクト であることを意味します。この例では、プロジェクト が第 1 位にランク付けされ 、プロジェクト が第 2 位 ( )、第 3 位 ( ) にランク付けされていると書きます。 ${\displaystyle i\in N}$${\displaystyle \succ _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Y\succ _{i}X\succ _{i}Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathrm {pos} _{i}(Y)=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {pos} _{i}(X)=2}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathrm {pos} _{i}(Z)=3}$

各有権者には最初に予算の均等な部分が割り当てられます。ルールはラウンドごとに進行し、各ラウンドでは次のようになります。 ${\displaystyle b_{i}=b/n}$

委員会の選挙の文脈では、プロジェクトは通常、候補者と呼ばれます。各候補者のコストは 1 に等しいと想定されるため、予算は委員会で選出されるべき候補者の数として解釈できます。 ${\displaystyle b}$

均等配分方式では、予算全体を使い切らないプロジェクト セットを返すことができます。未使用の予算を使用する方法は複数あります。

委員会選挙の文脈では、この方法は比例承認投票（PAV）と比較されることが多い。なぜなら、どちらの方法も比例的である（拡張正当化表現（EJR）の公理を満たす）からである。^{[11] [3]} 2つの方法の違いは次のように説明できる。

MESはフラグメンの順次ルールに似ています。違いは、MESでは有権者に事前に予算が与えられるのに対し、フラグメンの順次ルールでは有権者が時間の経過とともに継続的にお金を獲得することです。^{[13] [14]}これらの方法を比較すると、次のようになります。

初期予算の調整を伴うMES、PAV、フラグメンの投票ルールはすべて、有権者が政党ではなく個々の候補者に投票できる設定へのドント方式の拡張と見ることができます。 ^{[15] [3]} MESはさらに参加型予算編成にまで拡張されます。^[2]

以下は、参加型予算編成に適用される方法の Python 実装です。委員会選挙のモデルの場合、ルールは Python パッケージ abcvoting の一部として実装されます。

 数学をインポートする

def  method_of_equal_shares ( N ,  C ,  cost ,  u ,  b ): 
"""均等割付法    

    引数: 
      N: 投票者のリスト。C 
      : プロジェクト (候補者) のリスト。cost 
      : 各プロジェクトにコストを割り当てる辞書。b 
      : 利用可能な予算の合計。u 
      : 辞書。u[c][i] は、投票者 i が候補者 c に割り当てる値です。
             空のエントリは、対応する値 u[c][i] が 0 に等しいことを意味します。 
    """ 
    W  =  set () 
    total_utility  =  { c :  sum ( u [ c ] . values ())  for  c  in  C } 
    supporters  =  { c :  set ([ i  for  i  in  N  if  u [ c ][ i ]  >  0 ])  for  c  in  C } 
    budget  =  { i :  b  /  len ( N )  for  i  in  N } 
    while  True : 
        next_candidate  =  None 
        lowest_rho  =  float ( "inf" ) 
        for  c  in  C . Difference ( W ): 
            if  _leq ( cost [ c ],  sum ([ budget [ i ]  for  i  in  supporters [ c ]])): 
                supporters_sorted  =  sorted ( supporters [ c ],  key = lambda  i :  budget [ i ]  /  u [ c ][ i ]) 
                price  =  cost [ c ] 
                util  =  total_utility [ c ] 
                for  i  in  supporters_sorted : 
                    if  _leq ( price  *  u [ c ][ i ],  budget [ i ]  * util ): 
                        break 
                    price  -=  budget [ i ] util 
                    -  =  u [ c ][ i ] 
                rho  =  price  /  util \
                         math.isclose ( util , 0 )でない場合 、かつmath.isclose ( price , 0 )でない場合\
                         else budget [ supporters_sorted [ - 1 ]] / u [ c ][ supporters_sorted [ - 1 ]] rho < lowest_rhoの場合: next_candidate = c lowest_rho = rho next_candidateがNone の場合: break W.add ( next_candidate ) for i in N : budget [ i ] -= min ( budget [ i ] , lowest_rho * u [ next_candidate ][ i ] ) return _complete_utilitarian ( N , C , cost , u , b , W ) # 可能な補完の 1つ         
                   
                      
                      
           
            
        
           
                 
            

def  _complete_utilitarian ( N 、 C 、 cost 、 u 、 b 、 W ) : 
    util  =  { c :  sum ([ u [ c ][ i ]  for  i  in  N ])  for  c  in  C } 
    Committee_cost  =  sum ([ cost [ c ]  for  c  in  W ]) 
    while  True : 
        next_candidate  =  None 
        fastest_util  =  float ( "-inf" ) 
        for  c  in  C .difference ( W ): if _leq ( Committee_cost + cost [ c ], b ): if util [ c ] / cost [ c ] > fastest_util : next_candidate = c fastest_util = util [ c ] / cost [ c ] if next_candidate is None : break W .add ( next_candidate ) Committee_cost + = cost [ next_candidate ] return W
                
                     
                      
                        
           
            
        
          
     

def  _leq ( a ,  b ): 
    a < bまたはmath .isclose ( a , b )を返す      

フェアスタイン、メイア、ギャル^{[16]は、一部のプロジェクトが}代替財となる可能性がある設定にMESを拡張した。

フェアスタイン、ベナーデ、ギャル^[17]は、MESと貪欲な集計法を比較しています。彼らは、貪欲な集計法では、使用される入力形式と参加する人口の割合に非常に敏感な結果がもたらされることを発見しました。対照的に、MESでは、使用される投票形式の種類に敏感ではない結果がもたらされます。これは、MESが承認投票、順序投票、または基数投票で使用でき、結果に大きな違いがないことを意味します。これらの結果は、人口の25〜50％のみが選挙に参加した場合でも安定しています。

フェアスタイン、メイア、ヴィレンチク、ギャル^{[18]は、実際のデータセットと合成データセットの両方でMESの変種を研究しました。彼らは、これらの変種が}社会福祉と正当化された表現の両方に関して実際に非常に優れていることを発見しました。

• 均等割方式を複数の言語で説明し議論するウェブサイト