モーリーの三等分線定理

平面幾何学において、モーリーの三等分線定理は、任意の三角形において、隣接する角の三等分線の3つの交点が正三角形を形成することを述べている。この正三角形は、第一モーリー三角形、または単にモーリー三角形と呼ばれる。この定理は、1899年に英米の数学者フランク・モーリーによって発見された。この定理には様々な一般化があり、特に、すべての三等分線が交わる場合、さらに4つの正三角形が得られる。

モーリーの定理には多くの証明があり、その中には非常に技術的なものもあります。^{[ 1 ]}初期の証明のいくつかは、繊細な三角関数の計算 に基づいていました。最近の証明には、標数3以外の一般的な体への定理の拡張であるアラン・コンヌ( 1998、2004 )による代数的証明と、ジョン・コンウェイの初等幾何学的証明があります。^{[ 2 ] [ 3 ]} 後者は正三角形から始まり、任意の選択された三角形と相似な三角形をその周りに構築できることを示しています。モーリーの定理は球面幾何学^{[ 4 ]}と双曲幾何学では成り立ちません。 

ある証明では三角関数の恒等式を用いる。

これは、2つの角度の和の恒等式を用いることで、次のようになることが示される。

${\displaystyle \sin(3\theta )=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta .}$

最後の式は、2つの角度の和の恒等式を左辺に2回適用し、コサインを消去することで検証できます。

ポイント${\displaystyle D,E,F}$建設される${\displaystyle {\overline {BC}}}$図のように。${\displaystyle 3\alpha +3\beta +3\gamma =180^{\circ }}$、任意の三角形の角度の合計なので、${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }.}$したがって、三角形の角度は${\displaystyle XEF}$は${\displaystyle \alpha ,(60^{\circ }+\beta ),}$そして${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma ).}$

図から

そして

また図からも

${\displaystyle \angle {AYC}=180^{\circ }-\alpha -\gamma =120^{\circ }+\beta }$

そして

三角形に適用される正弦定理${\displaystyle AYC}$そして${\displaystyle AZB}$収量

そして

三角形の高さを表す${\displaystyle ABC}$2つの方法で

${\displaystyle h={\overline {AB}}\sin(3\beta )={\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )}$

そして

${\displaystyle h={\overline {AC}}\sin(3\gamma )={\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ).}$

ここで、式（1）は、${\displaystyle \sin(3\beta )}$そして${\displaystyle \sin(3\gamma )}$これら２つの式において。式（２）と（５）を代入すると、${\displaystyle \beta }$式と式（3）および式（6）${\displaystyle \gamma }$方程式は

${\displaystyle h=4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

そして

${\displaystyle h=4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta }$

分子が等しいので

${\displaystyle {\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}={\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}}$

または

${\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}.}$

角度が${\displaystyle EXF}$角度${\displaystyle ZAY}$は等しく、これらの角度を形成する辺の比率は同じである三角形${\displaystyle XEF}$そして${\displaystyle AZY}$似ている。

類似の角度${\displaystyle AYZ}$そして${\displaystyle XFE}$等しい${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma )}$、そして同様の角度${\displaystyle AZY}$そして${\displaystyle XEF}$等しい${\displaystyle (60^{\circ }+\beta ).}$同様の議論により、三角形の底角が求められる。${\displaystyle BXZ}$そして${\displaystyle CYX.}$

特に角度${\displaystyle BZX}$判明した${\displaystyle (60^{\circ }+\alpha )}$図から、

${\displaystyle \angle {AZY}+\angle {AZB}+\angle {BZX}+\angle {XZY}=360^{\circ }.}$

代入すると

${\displaystyle (60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+\angle {XZY}=360^{\circ }}$

ここで、角度には式（4）が使用された。${\displaystyle AZB}$そのため

${\displaystyle \angle {XZY}=60^{\circ }.}$

同様に三角形の他の角度${\displaystyle XYZ}$発見されたのは${\displaystyle 60^{\circ }.}$

最初のモーリー三角形の辺の長さは^{[ 5 ]}

$${\displaystyle a^{\prime }=b^{\prime }=c^{\prime }=8R\,\sin {\tfrac {1}{3}}A\,\sin {\tfrac {1}{3}}B\,\sin {\tfrac {1}{3}}C,}$$

ここで、Rは元の三角形の外接円の半径、 A、B、 Cは元の三角形の角度です。正三角形の面積は${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2},}$モーリーの三角形の面積は次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\text{Area}}=16{\sqrt {3}}R^{2}\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}A\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}B\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}C.}$$

モーリーの定理は18個の正三角形を包含する。上記の三等分定理で説明されている三角形は、第一モーリー三角形と呼ばれ、三角形ABCに対する三線座標で頂点が次のように与えられる。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}B\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}B&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A&:&1\end{array}}}$$

モーリーの正三角形のうち、中心三角形でもあるもう一つの三角形は、第二モーリー三角形と呼ばれ、以下の頂点によって表されます。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )&:&1\end{array}}}$$

モーリーの18個の正三角形のうち、中心三角形でもある3番目の三角形は、第3モーリー三角形と呼ばれ、以下の頂点によって表されます。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )&:&1\end{array}}}$$

第1、第2、第3モーリー三角形は互いに相似である。別の相似三角形は、三角形ABCの​​外接円上の3点Xによって形成される。ここで、直線XX ^{- 1}は外接円に接する点であり、X ^{- 1は}Xの等角共役を表す。この正三角形は外接三角形と呼ばれ、頂点は次のようになる。  

$${\displaystyle {\begin{array}{lllllll}A{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(CB)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&-\csc {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(AC)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vertex}}&= {1}{3}}(2B+A)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(BA)\end{array}}}$$

他の三角形と相似な5番目の正三角形は、外接三角形をその中心を中心にπ /6回転させることによって得られます。これを外法三角形と呼び、その頂点は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{array}{llllllll}A{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(CB)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(AC)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(BA)\end{array}}}$$

「外向性」と呼ばれる操作を使用すると、18 個のモーリー三角形のうちの 1 つを別の三角形から取得できます。各三角形は 3 つの異なる方法で外向化できます。18 個のモーリー三角形と 27 組の外向化された三角形のペアは、パップス グラフの 18 個の頂点と 27 個のエッジを形成します。^{[ 6 ]}

モーリー中心X (356)、すなわち最初のモーリー三角形の重心は、三線座標で次のように表される。

$${\displaystyle \cos {\tfrac {1}{3}}A+2\cos {\tfrac {1}{3}}B\,\cos {\tfrac {1}{3}}C\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}B+2\cos {\tfrac {1}{3}}C\,\cos {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}C+2\cos {\tfrac {1}{3}}A\,\cos {\tfrac {1}{3}}B}$$

第1モーリー・テイラー・マー中心、X（357）：第1モーリー三角形は三角形の透視図法です${\displaystyle \triangle ABC}$^{[ 7 ]}  : ^{[ 8 ]} << 元の三角形の頂点とモーリー三角形の反対側の頂点を結ぶ線は、一点で交わる

$${\displaystyle \sec {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}B\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}C}$$

• 角の三等分
• ホフスタッターポイント
• モーリーセンター

• Connes、Alain ( 1998)、「モーリーの定理の新しい証明」、出版物数学、S88 : 43–46。
• Connes, Alain (2004年12月)、「対称性」（PDF）、欧州数学会ニュースレター、54。
• コクセター、HSM；グライツァー、SL（1967）、『幾何学再考』、アメリカ数学協会、LCCN 67-20607 
• Francis, Richard L. (2002)、「現代数学のマイルストーン：モーリーの謎」（PDF）、ミズーリ数学科学ジャーナル、14（1）、doi：10.35834/2002/1401016。
• Guy, Richard K. (2007)、「灯台の定理、Morley & Malfatti ― パラドックスの概観」（PDF）、American Mathematical Monthly、114（2）：97–141、doi：10.1080/00029890.2007.11920398、JSTOR 27642143、MR 2290364、S2CID 46275242 、 2010年4月1日にオリジナル（PDF）からアーカイブ済み   。
• Oakley, CO; Baker, JC (1978)、「モーリーの三等分定理」、American Mathematical Monthly、85 (9): 737–745、doi : 10.2307/2321680、JSTOR 2321680、S2CID 56066204  。

• Taylor, F. Glanville; Marr, WL (1913–14)、「三角形の各角の6つの三等分線」、エジンバラ数学会紀要、33 : 119–131、doi : 10.1017/S0013091500035100。

• MathWorldのモーリーの定理
• MathPagesに掲載されているモーリーの三等分定理
• オレクサンドル・パヴリクによるモーリーの定理、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。