代謝制御分析

生化学において、代謝制御解析（MCA ）は、代謝、シグナル伝達、および遺伝子経路を記述するための数学的枠組みです 。MCAは、フラックスや種濃度などの変数がネットワークパラメータにどのように依存するかを定量化します。特に、制御係数と呼ばれるネットワーク依存特性が、弾性または弾性係数と呼ばれる局所特性にどのように依存するかを記述することができます。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

MCAはもともと代謝経路の制御を説明するために開発されたが、その後、シグナル伝達や遺伝子ネットワークの説明にも拡張された。MCAは代謝制御理論と呼ばれることもあるが、創始者の一人であるヘンリック・カクセルはこの用語に強く反対した。

より最近の研究^{[ 4 ]}では、MCAは古典的制御理論に直接マッピングでき、したがって同等であることが示されています。

生化学システム理論^{[ 5 ]}（BST）は、目的がかなり異なるものの、同様の形式体系である。どちらも、ジョセフ・ヒギンズによる以前の理論的分析の発展形である。^{[ 6 ]}

化学反応ネットワーク理論は、MCAとBSTの両方と重複する部分があるものの、そのアプローチは数学的にかなり形式的です。^{[ 7 ]}その重点は主に動的安定性基準^{[ 8 ]}と質量作用ネットワークに関連する定理に置かれています。近年、この分野ではMCAやBSTと類似している、あるいは同一である感度分析も開発されています^{[ 9 ] 。}

制御係数[ ^{10 ] [ 11 ] [ 12 ]は}、システム変数（例えば経路フラックス（J）または代謝物濃度（S））の相対的な定常状態変化を、パラメーター（例えば酵素活性または定常状態速度（））の相対的な変化に応じて測定します。${\displaystyle v_{i}}$）ステップ${\displaystyle i}$2つの主要な制御係数は、フラックス制御係数と濃度制御係数です。フラックス制御係数は次のように定義されます。

${\displaystyle C_{v_{i}}^{J}=\left({\frac {dJ}{dp}}{\frac {p}{J}}\right){\bigg /}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial p}}{\frac {p}{v_{i}}}\right)={\frac {d\ln J}{d\ln v_{i}}}}$

濃度制御係数

${\displaystyle C_{v_{i}}^{S}=\left({\frac {dS}{dp}}{\frac {p}{S}}\right){\bigg /}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial p}}{\frac {p}{v_{i}}}\right)={\frac {d\ln S}{d\ln v_{i}}}}$

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弾性係数

弾性係数は、酵素やその他の化学反応が環境の変化に対して示す局所的な応答を測定するものです。このような環境変化には、基質、生成物、エフェクター濃度などの要因が含まれます。詳細については、弾性係数に関する専用ページをご覧ください。

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KacserとBurns ^{[ 10 ]}は、生化学経路が外部環境にどのように反応するかを表す追加の係数を導入しました。彼らはこの係数を応答係数と呼び、記号Rで表しました。応答係数は、栄養素、あるいはより重要なことに、薬剤が経路にどの程度影響を与えるかを評価できるため、重要な指標です。したがって、この係数は製薬業界にとって非常に重要です。^{[ 15 ]}

応答係数は、応答係数定理を介して代謝制御分析の中核と関連付けられており、その定理は次のように述べられています。

${\displaystyle R_{m}^{X}=C_{i}^{X}\varepsilon _{m}^{i}}$

どこ${\displaystyle X}$は、フラックスや代謝物濃度などの選択された観測量です。${\displaystyle i}$外部要因が対象とするステップは、${\displaystyle C_{i}^{X}}$は目標ステップの制御係数であり、${\displaystyle \varepsilon _{m}^{i}}$これは、外部要因に対する目標ステップの弾力性である。${\displaystyle m}$。

この定理の重要な観察は、治療薬などの外部因子が、2つの影響を介して生物の表現型に作用するという点である。1) 薬剤が標的タンパク質に効果的に結合し、そのタンパク質活性に影響を与えることによって、薬剤が標的自体にどれだけ効果的に作用できるか。この有効性は弾性によって記述される。${\displaystyle \varepsilon _{m}^{i}}$2) 標的の改変が、ネットワークの残りの部分への摂動の伝達によって表現型にどの程度影響を与えるか。これは制御係数によって示される。${\displaystyle C_{i}^{X}}$。

薬物作用、あるいはその他の外部要因は、これら両方の要因が強い場合に最も効果を発揮する。例えば、ある薬物が標的タンパク質の活性を変化させるのに非常に効果的であっても、そのタンパク質活性の変化が最終的な表現型に伝達されない場合、薬物の効果は著しく低下する。

薬物または外部要因の場合、${\displaystyle m}$複数の作用部位を標的とする、例えば${\displaystyle n}$部位、そして表現型因子における全体的な反応${\displaystyle X}$は、個々の回答の合計です。

${\displaystyle R_{m}^{X}=\sum _{i=1}^{n}C_{i}^{X}\varepsilon _{m}^{i}}$

総和法と連結性定理を組み合わせることで、制御係数と弾性係数を関連付ける閉じた式を得ることが可能です。例えば、最も単純な非自明な経路を考えてみましょう。

${\displaystyle X_{o}\rightarrow S\rightarrow X_{1}}$

私たちは次のように仮定します${\displaystyle X_{o}}$そして${\displaystyle X_{1}}$経路が定常状態に達することができるように、境界種は固定されている。最初のステップの速度を${\displaystyle v_{1}}$そして2番目のステップ${\displaystyle v_{2}}$フラックス制御係数に注目すると、この単純な経路に対して、1つの総和定理と1つの接続性定理を記述できます。

${\displaystyle C_{v_{1}}^{J}+C_{v_{2}}^{J}=1}$

${\displaystyle C_{v_{1}}^{J}\varepsilon _{s}^{v_{1}}+C_{v_{2}}^{J}\varepsilon _{s}^{v_{2}}=0}$

これら2つの式を用いて、フラックス制御係数を解くと、

$${\displaystyle C_{v_{1}}^{J}={\frac {\varepsilon _{s}^{2}}{\varepsilon _{s}^{2}-\varepsilon _{s}^{1}}}}$$

$${\displaystyle C_{v_{2}}^{J}={\frac {-\varepsilon _{s}^{1}}{\varepsilon _{s}^{2}-\varepsilon _{s}^{1}}}}$$

これらの式を用いると、いくつかの単純な極限挙動を調べることができます。例えば、最初のステップが生成物Sに対して完全に無反応（つまり反応しない）であると仮定すると、${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v_{1}}=0}$この場合、制御係数は以下のように減少します。

${\displaystyle C_{v_{1}}^{J}=1}$

${\displaystyle C_{v_{2}}^{J}=0}$

つまり、制御（または感度）は最初のステップにのみかかっているということです。この状況は、教科書でよく言及される典型的な律速段階を表しています。経路を通るフラックスは、完全に最初のステップに依存します。このような条件下では、経路内の他のステップはフラックスに影響を与えることができません。ただし、この効果は、最初のステップがその生成物に対して完全に無感度であることに依存します。このような状況は、実際の経路ではまれであると考えられます。実際、典型的な律速段階は、実験的に観察されたことはほとんどありません。代わりに、律速度の範囲が観察され、一部のステップは他のステップよりも律速度（制御）が高いことがわかっています。

また、単純な2段階経路における濃度制御係数も導出できます。

${\displaystyle C_{v_{1}}^{s}={\frac {1}{\varepsilon _{s}^{2}-\varepsilon _{s}^{1}}}}$

${\displaystyle C_{v_{2}}^{s}={\frac {-1}{\varepsilon _{s}^{2}-\varepsilon _{s}^{1}}}}$

シンプルな3段階の手順を考えてみましょう。

${\displaystyle X_{o}\rightarrow S_{1}\rightarrow S_{2}\rightarrow X_{1}}$

どこ${\displaystyle X_{o}}$そして${\displaystyle X_{1}}$固定境界種の場合、この経路の制御方程式は、単純な 2 段階経路と同様の方法で導出できますが、やや面倒です。

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J}=\varepsilon _{1}^{2}\varepsilon _{2}^{3}/D}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J}=-\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{3}/D}$

${\displaystyle C_{e_{3}}^{J}=\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{2}/D}$

ここで、分母Dは次のように与えられる。

${\displaystyle D=\varepsilon _{1}^{2}\varepsilon _{2}^{3}-\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{3}+\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{2}}$

分子にあるすべての項が分母にも現れることに注意してください。これは、磁束制御係数の総和定理が満たされることを保証します。

同様に、濃度制御係数も導出できます。${\displaystyle S_{1}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{S_{1}}=(\varepsilon _{2}^{3}-\varepsilon _{2}^{2})/D}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{S_{1}}=-\varepsilon _{2}^{3}/D}$

${\displaystyle C_{e_{3}}^{S_{1}}=\varepsilon _{2}^{2}/D}$

そして、${\displaystyle S_{2}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{S_{2}}=\varepsilon _{1}^{2}/D}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{S_{2}}=-\varepsilon _{1}^{1}/D}$

${\displaystyle C_{e_{3}}^{S_{2}}=(\varepsilon _{1}^{1}-\varepsilon _{1}^{2})/D}$

なお、分母は以前と同じままであり、正規化係数として機能します。

制御方程式は、摂動がシステムに与える影響を考慮することによっても導出できます。反応速度を考えてみましょう。${\displaystyle v_{1}}$そして${\displaystyle v_{2}}$2つの酵素によって決定される${\displaystyle e_{1}}$そして${\displaystyle e_{2}}$それぞれ。どちらかの酵素を変更すると、定常状態レベルが変化する。${\displaystyle x}$定常状態の反応速度${\displaystyle v}$小さな変化を考えてみましょう。${\displaystyle e_{1}}$規模${\displaystyle \delta e_{1}}$これは多くの影響をもたらし、${\displaystyle v_{1}}$これはさらに増加する${\displaystyle x}$これはさらに増加する${\displaystyle v_{2}}$最終的にシステムは新しい定常状態に落ち着く。これらの変化は、${\displaystyle v_{1}}$そして${\displaystyle v_{2}}$変化${\displaystyle v_{2}}$我々はこれを${\displaystyle \delta v_{2}}$変化の結果として生じた${\displaystyle \delta x}$小さな変化だけを考慮しているので、変化を表現できます${\displaystyle \delta v_{2}}$に関しては${\displaystyle \delta x}$関係性を使用する

${\displaystyle \delta v_{2}={\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}\delta x}$

導関数${\displaystyle \partial v_{2}/\partial x}$応答性を測定する${\displaystyle v_{2}}$変化とは${\displaystyle x}$反応速度法則が分かっていれば、導関数を計算できます。${\displaystyle v_{2}}$例えば、速度法則が${\displaystyle v_{2}=k_{2}x}$すると導関数は${\displaystyle k_{2}}$同様の戦略を用いて、${\displaystyle v_{1}}$変化の結果として${\displaystyle \delta e_{1}}$今回は、${\displaystyle v_{1}}$これは、${\displaystyle e_{1}}$それ自体と変化${\displaystyle x}$これらの変化は、2つの個々の寄与を合計することで表現できます。

${\displaystyle \delta v_{1}={\frac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}\delta e_{1}+{\frac {\partial v_{1}}{\partial x}}\delta x}$

2 つの方程式があり、1 つは変化を記述しています。${\displaystyle v_{1}}$そしてもう一方${\displaystyle v_{2}}$システムが新しい定常状態に落ち着くまで待ったので、反応速度の変化は同じでなければならないとも言えます（そうでなければ定常状態にはならないでしょう）。つまり、次のように主張できます。${\displaystyle \delta v_{1}=\delta v_{2}}$これを踏まえて、2つの式を等式化して、

${\displaystyle {\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}\delta x={\frac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}\delta e_{1}+{\frac {\partial v_{1}}{\partial x}}\delta x}$

比率を解く${\displaystyle \delta x/\delta e_{1}}$我々は以下を得る：

${\displaystyle {\frac {\delta x}{\delta e_{1}}}={\dfrac {-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}}{{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x}}}}}$

極限では、変化を起こすと${\displaystyle \delta e_{1}}$左辺はどんどん小さくなり、導関数に収束する。${\displaystyle dx/de_{1}}$:

${\displaystyle \lim _{\delta e_{1}\rightarrow 0}{\frac {\delta x}{\delta e_{1}}}={\frac {dx}{de_{1}}}={\dfrac {-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}}{{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x}}}}}$

さらに一歩進んで、導関数をスケーリングして単位を消去することもできます。両辺に${\displaystyle e_{1}}$両辺を${\displaystyle x}$スケーリングされた導関数が得られます。

${\displaystyle {\frac {dx}{de_{1}}}{\frac {e_{1}}{x}}={\frac {-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}{\dfrac {e_{1}}{v_{1}}}}{{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x}}{\dfrac {x}{v_{2}}}-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x}}{\dfrac {x}{v_{1}}}}}}$

右辺のスケーリングされた微分は弾性値であり、${\displaystyle \varepsilon _{x}^{v}}$そして、左辺のスケーリングされた項は、スケーリングされた感度係数または濃度制御係数であり、${\displaystyle C_{e}^{x}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{x}={\frac {\varepsilon _{e_{1}}^{1}}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}}$

この式をさらに簡略化できます。反応速度${\displaystyle v_{1}}$通常は線形関数である${\displaystyle e_{1}}$例えば、ブリッグス・ホールデン方程式では、反応速度は次のように表される。${\displaystyle v=e_{1}k_{cat}x/(K_{m}+x)}$この速度法則を微分すると、${\displaystyle e_{1}}$そしてスケーリングによって${\displaystyle \varepsilon _{e_{1}}^{v_{1}}=1}$。

この結果を用いると、次のようになります。

${\displaystyle C_{e_{1}}^{x}={\frac {1}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}}$

同様の分析は、${\displaystyle e_{2}}$摂動を受ける。この場合、感度は${\displaystyle x}$に関して${\displaystyle e_{2}}$:

${\displaystyle C_{e_{2}}^{x}=-{\frac {1}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}}$

上記の式は、酵素の量を測るものです。${\displaystyle e_{1}}$そして${\displaystyle e_{2}}$中間体の定常状態濃度を制御する${\displaystyle x}$定常状態の反応速度についても検討できます。${\displaystyle v_{1}}$そして${\displaystyle v_{2}}$摂動の影響を受ける${\displaystyle e_{1}}$そして${\displaystyle e_{2}}$これは、生産速度の向上に関心のある代謝工学者にとって重要な場合が多い。定常状態では、反応速度はしばしばフラックスと呼ばれ、次のように略される。${\displaystyle J_{1}}$そして${\displaystyle J_{2}}$このような直線経路の場合、定常状態では両方のフラックスが等しくなるため、経路を通るフラックスは単に次のように表されます。${\displaystyle J}$摂動の結果としてのフラックスの変化を表す${\displaystyle e_{1}}$そして前と同じように極限を取ると、

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J}={\frac {\varepsilon _{x}^{1}}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}},\quad C_{e_{2}}^{J}={\frac {-\varepsilon _{x}^{1}}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}}$

上記の式は、酵素がどれだけあるかを示しています。${\displaystyle e_{1}}$そして${\displaystyle e_{2}}$定常状態のフラックスを制御する。ここで重要なのは、酵素濃度、あるいは同等に酵素活性の変化は、外部からの作用によって引き起こされなければならないということである。

制御方程式は、システム方程式を用いてより厳密な方法で導出することもできる。

${\displaystyle {\dfrac {\bf {dx}}{dt}}={\bf {N}}{\bf {v}}({\bf {x}}(p),p)}$

どこ${\displaystyle {\bf {N}}}$は化学量論行列です。${\displaystyle {\bf {x}}}$化学種のベクターであり、${\displaystyle {\bf {p}}}$は、システムに影響を与える可能性のあるパラメータ（または入力）のベクトルです。代謝制御分析では、主要なパラメータは酵素濃度です。このアプローチは、Heinrich、Rapoport、およびRapoport ^{[ 16 ] 、およびRederとMazat [ 17 ]}によって普及しました。このアプローチの詳細な議論は、Heinrich & Schuster ^{[ 18 ]}およびHofmeyr ^{[ 19 ]}に記載されています。

線形生化学経路は、酵素触媒反応ステップの連鎖です。下の図は、中間体、${\displaystyle S_{1}}$そして${\displaystyle S_{2}}$定常状態を維持するために、境界種${\displaystyle X_{o}}$そして${\displaystyle X_{1}}$固定されています。

定常状態では、各段階における反応速度は一定である。これは、X_oからX_1への全体的な物質の流れが存在することを意味する。

直線経路にはいくつかのよく知られた特性があります: ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

1. フラックス制御は経路の最初の数段階に偏っている。平衡定数が大きくなるにつれて、フラックス制御は最初の段階により強く偏るようになる。
2. 平衡に近い反応では、フラックス制御は小さい。
3. 可逆的であると仮定すると、ある段階におけるフラックス制御は、平衡定数の積に比例する。例えば、3段階の経路における2段階目のフラックス制御は、2番目と3番目の平衡定数の積に比例する。

いずれの場合も、これらの挙動の根拠は、弾力性が経路を通じて変化を伝達する方法という観点から説明される。

弾性値や制御係数を直接計算できるソフトウェアツールは数多く存在する。

• COPASI (GUI)
• PySCeS ^{[ 23 ]} (Python)
• SBW ^{[ 24 ]} (GUI)
• libroadrunner ^{[ 25 ]} (Python)
• VCell

古典制御理論は、工学的プロセスや機械における動的システムの制御を扱う数学の分野です。2004年にブライアン・インガルスは、古典制御理論と代謝制御解析が同一であることを示す論文^{[ 26 ]}を発表しました。唯一の違いは、代謝制御解析は周波数領域で表現するとゼロ周波数応答に限定されるのに対し、古典制御理論にはそのような制限がないことです。もう1つの重要な違いは、古典制御理論^{[ 27 ]}には化学量論と質量保存の概念がないため、使用がより面倒になるだけでなく、有用な生物学的洞察を提供する化学量論的ネットワークに固有の構造的特性を認識できないことです。

• 分岐した経路
• 生化学システム理論
• 制御係数（生化学）
• フラックス（代謝）
• 部分保存
• 律速段階（生化学）
• MCA制御パターンカタログ

• 代謝制御分析ウェブ