一方向量子コンピュータ

一方向量子コンピュータは、測定ベース量子コンピュータ( MBQC )とも呼ばれ、最初にエンタングルされたリソース状態(通常はクラスター状態またはグラフ状態)を準備し、次にそれに対して単一量子ビット測定を実行する量子コンピューティングの方法です。リソース状態は測定によって破壊されるため、「一方向」です。

個々の測定の結果はランダムですが、計算が常に成功するように関連しています。一般に、後の測定の基準の選択は、以前の測定の結果に依存する必要があるため、すべての測定を同時に実行することはできません。

MBQCの実装は、測定なしで光子をエンタングルメントすることが困難であり、光子を作成して測定することが簡単であるため、主にフォトニックデバイス[ ^{1]で検討されています。ただし、MBQCは物質ベースの量子ビットでも可能です。 [2]エンタングルメントと測定のプロセスは}、グラフツールと群論、特に安定化群の要素 の助けを借りて記述できます。

量子コンピューティングの目的は、量子力学の特徴を備えた情報理論の構築に重点を置いています。1または0に切り替えることができるバイナリ情報単位（ビット）をエンコードする代わりに、重ね合わせと呼ばれる現象により、量子バイナリ情報単位（キュービット）が同時に0と1に変わることができます。^{[3] [4] [5]}量子コンピューティングのもう1つの重要な機能は、キュービット間のエンタングルメントに依存しています。 ^{[6] [7] [8]}

量子論理ゲートモデルでは、レジスタと呼ばれる量子ビットのセットが計算の開始時に準備され、次にユニタリ演算子によって実行される量子ビット上の一連の論理演算が実装されます。^{[9] [10]}量子回路は、ユニタリ変換が量子ビットに適用された量子ビットのレジスタによって形成されます。 測定ベースの量子計算では、ユニタリ変換を介して論理演算を実装する代わりに、多数の入力量子ビットを補助量子ビットのクラスターとエンタングルメントし、量子ビットの全体的なソース状態を形成してから、そのうちのいくつかを測定することによって、同じ演算が実行されます。 ^{[11] [12]}残りの出力量子ビットは、測定された量子ビットとのエンタングルメントのため、測定の影響を受けます。 一方向コンピュータは汎用量子コンピュータであることが証明されており、任意の数の量子ビットに対する任意のユニタリ演算を再現できることを意味します。^{[9] [13] [14] [15]}${\displaystyle k}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+k=n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k=n-a}$

測定ベースの量子コンピューティングの標準的なプロセスは、3つのステップで構成されています。^{[16] [17]}量子ビットをエンタングルし、補助量子ビットを測定し、出力を修正します。最初のステップでは、ソース状態を準備するために量子ビットをエンタングルします。2番目のステップでは、補助量子ビットを測定し、出力量子ビットの状態に影響を与えます。ただし、量子力学の不確定な性質により、測定出力は非決定的な結果です。^[17]計算を決定論的な方法で実行するために、副産物と呼ばれるいくつかの修正演算子が導入されます。

計算の開始時に、量子ビットは入力量子ビットと補助量子ビットの2つのカテゴリに区別できます。入力は、いくつかのユニタリ変換が作用する一般的な状態に設定された量子ビットを表します。ソース状態を準備するには、すべての補助量子ビットを次の状態に準備する必要があります。^{[11] [18]}${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$${\displaystyle |+\rangle }$

${\displaystyle |+\rangle ={\tfrac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}},}$

ここで、およびは古典的なビットとビットの量子符号化です。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}};\quad |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$。

したがって、量子ビットを持つレジスタはとして設定されます。その後、2つの量子ビット間のエンタングルメントは、（制御された）ゲート操作を適用することによって実行できます。^[19]このような2量子ビット演算子の行列表現は次のように与えられます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle |+\rangle ^{\otimes n}}$${\displaystyle CZ}$

${\displaystyle CZ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}.}$

2 つの量子ビットに対するゲートの動作は、次のシステムで記述できます。 ${\displaystyle CZ}$

${\displaystyle {\begin{cases}CZ|0+\rangle =|0+\rangle \\CZ|0-\rangle =|0-\rangle \\CZ|1+\rangle =|1-\rangle \\CZ|1-\rangle =|1+\rangle \end{cases}}}$

状態内の2つの補助要素にゲートを適用すると、全体の状態は ${\displaystyle CZ}$${\displaystyle |+\rangle }$

${\displaystyle CZ|++\rangle ={\frac {|0+\rangle +|1-\rangle }{\sqrt {2}}}}$

エンタングルされた量子ビットのペアになります。2 つの補助量子ビットをエンタングルする場合、結果が同じになる限り、どちらが制御量子ビットでどちらがターゲット量子ビットであるかは重要ではありません。同様に、ゲートは対角形式で表されるため、ゲートはすべて互いに交換可能であり、どの量子ビットを最初にエンタングルするかは重要ではありません。 ${\displaystyle CZ}$

光子は、一方向量子コンピューティングのコンテキストで使用される最も一般的な量子ビットシステムです。^{[20] [21] [22]}しかし、光子間の決定論的なゲートを実現することは困難です。そのため、ベル状態測定などの確率的なエンタングルメントゲートが通常検討されます。^{[23]さらに、原子[24]}や量子ドット^[25]などの量子エミッターを使用して、光子量子ビット間の決定論的なエンタングルメントを作成できます。^[26]${\displaystyle CZ}$

単一粒子状態に対する測定の過程は、状態を観測量の固有ベクトルに投影することによって記述することができる。とという 2 つの固有ベクトルを持つ観測量を考え、多粒子量子システム を扱うと仮定する。観測量によって - 番目の量子ビットを測定することは、状態を の固有ベクトルに投影することを意味する。^[18]${\displaystyle O}$${\displaystyle |o_{1}\rangle }$${\displaystyle |o_{2}\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle O}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle O}$

${\displaystyle |\Psi '\rangle =|o_{i}\rangle \langle o_{i}|\Psi \rangle }$。

- 番目の量子ビットの実際の状態は であり、これは測定の結果（量子力学では確率的）に応じてまたはに変わる可能性があります。測定投影は、観測可能な の固有状態に対して実行できます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle |o_{i}\rangle }$${\displaystyle |o_{1}\rangle }$${\displaystyle |o_{2}\rangle }$${\displaystyle M(\theta )=\cos(\theta )X+\sin(\theta )Y}$

${\displaystyle M(\theta )=\cos(\theta ){\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\sin(\theta ){\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&e^{-i\theta }\\e^{i\theta }&0\end{bmatrix}}}$、

ここで、およびはパウリ行列に属します。 の固有ベクトルはです。-平面、つまり観測可能量で量子ビットを測定するということは、それをまたはに投影することを意味します。一方向の量子コンピューティングでは、一度量子ビットを測定すると、それを計算フローで再利用することはできません。したがって、 という表記法を使用する代わりに、 を見つけて、 - 番目の量子ビットへの投影測定を示すのが一般的です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M(\theta )}$${\displaystyle |\theta _{\pm }\rangle =|0\rangle \pm e^{i\theta }|1\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M(\theta )}$${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$${\displaystyle |o_{i}\rangle \langle o_{i}|}$${\displaystyle \langle o_{i}|}$${\displaystyle i}$

すべての測定が実行された後、システムはより少数の量子ビットに縮小され、これがシステムの出力状態を形成します。測定の確率的な結果のため、システムは決定論的な方法で設定されません。つまり、-平面での測定後、結果が であったか であったかによって出力が変わる可能性があります。決定論的な計算を実行するには、何らかの補正を導入する必要があります。補正演算子、または副産物演算子は、すべての測定が実行された後に出力量子ビットに適用されます。^{[18] [27]}実装できる副産物演算子は、およびです。^[28] 測定の結果に応じて、副産物演算子を出力状態に適用したり、適用しなかったりできます。観測可能量を介して - 番目の量子ビットに対して実行された測定の結果に依存する - 番目の量子ビットに対する補正は、 と記述できます。ここで、測定結果が だった場合はが に設定され、 だった場合はが に設定されます。最初のケースでは、補正は行われませんが、後者のケースでは、 - 番目の量子ビットに演算子が実装されます。最終的には、測定の結果が量子力学では決定論的ではないとしても、測定の結果を使用して補正を実行し、決定論的な計算を継続することができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle M(\theta )}$${\displaystyle X_{j}^{s_{i}}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle j}$

エンタングルメント、測定、および補正の操作は、ユニタリゲートを実装するために実行できます。このような操作は、回路内の任意の論理ゲートに対して随時実行できます。または、すべてのエンタングルメント操作を回路の始めに、測定を中間に、補正を回路の終わりに割り当てるパターンで実行できます。このような計算パターンは、CME標準パターンと呼ばれます。^{[16] [17]} CME形式では、量子ビットと量子ビット間のエンタングルメントの操作は と呼ばれます。角度に対する-平面での量子ビットの測定は と定義されます。最後に、量子ビットの測定に関する量子ビット上の副産物はと記述されます。ここで、結果が の状態である場合はがに設定されますが、結果が のときは です。同じ表記法が副産物にも適用されます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle M_{i}^{\theta }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X_{i}^{s_{j}}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$${\displaystyle Z}$

CMEパターンに従って計算を実行する場合、 -平面上の2 つの測定とが、一方が他方の結果に依存することがあります。たとえば、 - 番目の量子ビットの測定角度の前の符号は、 - 番目の量子ビットの測定に関して反転できます。このような場合、表記は と書き込まれ、したがって 2 つの測定操作は互いに交換できなくなります。 がに設定されている場合、符号の反転は発生しません。それ以外の場合 ( の場合)、角度は に反転します。したがって、表記はと書き直すことができます。 ${\displaystyle M_{i}^{\theta _{1}}}$${\displaystyle M_{j}^{\theta _{2}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [M_{j}^{\theta _{2}}]^{s_{i}}M_{i}^{\theta _{1}}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle s_{i}=1}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle -\theta _{2}}$${\displaystyle [M_{j}^{\theta _{2}}]^{s_{i}}}$${\displaystyle M_{j}^{(-)^{s_{i}}\theta _{2}}}$

具体例として、基底関数のオイラー回転を考えてみましょう。量子計算のゲートモデルでは、このような操作は次のように記述されます^[29]${\displaystyle XZX}$

${\displaystyle e^{i\gamma }R_{X}(\phi )R_{Z}(\theta )R_{X}(\lambda )}$、

ここで は回転の角度であり、 は計算には関係のないグローバル位相を定義します。このような操作を一方向計算フレームで実行するには、次のCMEパターンを実装することができます。^{[27] [30]}${\displaystyle \phi ,\theta ,\lambda }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle Z_{5}^{s_{1}+s_{3}}X_{5}^{s_{2}+s_{4}}[M_{4}^{-\phi }]^{s_{1}+s_{3}}[M_{3}^{-\theta }]^{s_{2}}[M_{2}^{-\lambda }]^{s_{1}}M_{1}^{0}E_{4,5}E_{3,4}E_{2,3}E_{1,2}}$、

ここで、入力状態は量子ビットであり、他のすべての量子ビットは補助的な付属物であるため、状態で準備する必要があります。最初のステップでは、入力状態を2 番目の量子ビットとエンタングルメントする必要があります。次に、2 番目の量子ビットを 3 番目の量子ビットとエンタングルメントする必要があります。量子ビット間のエンタングルメント操作は、ゲートによって実行できます。 ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |+\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle CZ}$

第二に、最初と 2 番目の量子ビットは観測可能量によって測定されなければなりません。つまり、それらはそのような観測可能量の固有状態に投影されなければなりません。 がゼロのとき、状態は 1 に、つまりパウリ演算子の固有ベクトルに簡約されます。最初の測定は角度を持つ量子ビットに対して実行されるため、状態に投影されなければなりません。2 番目の測定は角度に関して実行されるため、2 番目の量子ビットは状態に投影されなければなりません。ただし、前の測定の結果が であった場合、角度の符号を反転する必要があり、2 番目の量子ビットは状態に投影されます。最初の測定の結果が であった場合、反転を実行する必要はありません。同じ操作を、それぞれの角度と符号反転に従って、3 番目と 4 番目の測定に対して繰り返す必要があります。角度の符号はに設定されます。最終的に、5 番目の量子ビット (測定されない唯一の量子ビット) が出力状態になります。 ${\displaystyle M(\theta )}$${\displaystyle |\theta \rangle }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle |\theta _{\pm }\rangle }$${\displaystyle |\pm \rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{1}^{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle \langle \pm |}$${\displaystyle [M_{2}^{-\lambda }]^{s_{1}}}$${\displaystyle -\lambda }$${\displaystyle \langle 0|\pm e^{i\lambda }\langle 1|}$${\displaystyle \langle -|}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \langle 0|+e^{-i\lambda }\langle 1|}$${\displaystyle \langle +|}$${\displaystyle [M_{3}^{\theta }]^{s_{2}}}$${\displaystyle [M_{4}^{\phi }]^{s_{1}+s_{3}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (-)^{s_{1}+s_{3}}}$

最後に、出力状態に対する補正は、副産物演算子を介して実行する必要があります。たとえば、2 番目と 4 番目の量子ビットの測定が および になった場合、演算子による補正は行われません ( ) 。同じ結果が結果にも当てはまり、 となり、したがって、2 乗されたパウリ演算子は恒等式を返します。 ${\displaystyle Z_{5}^{s_{1}+s_{3}}X_{5}^{s_{2}+s_{4}}}$${\displaystyle \langle \phi _{+}|}$${\displaystyle \langle \lambda _{+}|}$${\displaystyle X_{5}}$${\displaystyle s_{2}=s_{4}=0}$${\displaystyle \langle \phi _{-}|}$ ${\displaystyle \langle \lambda _{-}|}$${\displaystyle s_{2}=s_{4}=1}$${\displaystyle X^{2}}$

このような例に見られるように、測定ベースの計算モデルでは、物理的な入力量子ビット (最初の量子ビット) と出力量子ビット (3 番目の量子ビット) が互いに異なる場合があります。

一方向量子コンピュータは、エンタングルメントと測定の操作を通じてユニタリ変換の回路を実装することを可能にする。同時に、任意の量子回路をCMEパターンに変換することができる。量子回路を測定のMBQCパターンに変換する技術は、V. Danosらによって策定されている。^{[16] [17] [31]}

このような変換は、演算子と演算子で構成される汎用的な論理ゲートのセットを使用して実行できます。したがって、任意の回路は、とゲートのセットに分解できます。単一量子ビット演算子は次のように定義されます。 ${\displaystyle CZ}$${\displaystyle J(\theta )}$${\displaystyle CZ}$${\displaystyle J(\theta )}$${\displaystyle J(\theta )}$

${\displaystyle J(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&e^{i\theta }\\1&-e^{i\theta }\end{pmatrix}}}$。

これは次のようにCMEパターンに変換できます。量子ビット 1 が入力、量子ビット 2 が出力です。 ${\displaystyle J(\theta )}$

${\displaystyle J(\theta )=X_{2}^{s_{1}}M_{1}^{-\theta }E_{1,2}}$

つまり、演算子を実装するには、入力量子ビットを補助量子ビットとエンタングルメントさせる必要があります。したがって、入力は-平面で測定する必要があり、その後、出力量子ビットは副産物によって補正されます。すべてのゲートがCMEパターンに分解されると、全体的な計算における操作は、エンタングルメント、測定、および補正で構成されます。計算のフロー全体をCMEパターンに導くために、いくつかのルールが提供されています。 ${\displaystyle J(\theta )}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |+\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle J(\theta )}$${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle M_{i}^{-\theta _{i}}}$${\displaystyle X_{j}}$

プロセスの開始時にすべてのエンタングルメントを移動するには、いくつかの交換規則を指摘する必要があります。 ${\displaystyle E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}Z_{i}^{s}=Z_{i}^{s}E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}X_{i}^{s}=X_{i}^{s}Z_{j}^{s}E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}A_{k}=A_{k}E_{ij}}$。

エンタングルメント演算子は、パウリ演算子および量子ビットに作用する他の演算子と可換ですが、- 番目または- 番目の量子ビットに作用するパウリ演算子とは可換ではありません。 ${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle k\neq i,j}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

測定操作は、次のように補正と連動します。 ${\displaystyle M_{i}^{\theta }}$

${\displaystyle M_{i}^{\theta }X_{i}^{s}=[M_{i}^{\theta }]^{s}}$

${\displaystyle M_{i}^{\theta }Z_{i}^{t}=S_{i}^{t}M_{i}^{\theta }}$、

ここで、 です。このような操作は、パターンの終わりで補正をシフトするときに、測定値間に何らかの依存関係が発生する可能性があることを意味します。この演算子は信号シフトと呼ばれ、その動作については次の段落で説明します。特定の角度については、パウリの簡略化と呼ばれるいくつかの簡略化を導入できます。 ${\displaystyle [M_{i}^{\theta }]^{s}=M_{i}^{(-)^{s}\theta }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S_{i}^{t}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle M_{i}^{0}X_{i}^{s}=M_{i}^{0}}$

${\displaystyle M_{i}^{\pi /2}X_{i}^{s}=M_{i}^{\pi /2}Z_{i}^{s}}$。

信号シフト演算子の動作は、その交換規則を通じて説明できます。 ${\displaystyle S_{i}^{t}}$

${\displaystyle X_{i}^{s}S_{i}^{t}=S_{i}^{t}X_{i}^{s[(s_{i}+t)/s_{i}]}}$

${\displaystyle Z_{i}^{s}S_{i}^{t}=S_{i}^{t}Z_{i}^{s[(s_{i}+t)/s_{i}]}}$。

この操作を説明する必要があります。 に、で構成される信号シーケンスがあるとします。この操作は、シーケンス 内でを に置き換えることを意味し、 になります。シーケンスに がない場合、置換は行われません。正しいCMEパターンを実行するには、すべての信号シフト演算子をパターンの最後に変換する必要があります。 ${\displaystyle s[(t+s_{i})/s_{i}]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{1}+s_{2}+...+s_{i}+...}$${\displaystyle s[(t+s_{i})/s_{i}]}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{i}+t}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{1}+s_{2}+...+s_{i}+t+...}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S_{i}^{t}}$

エンタングルメントされた量子ビットのソース状態を準備する際、グラフ表現は安定化群によって与えることができる。安定化群はパウリ群からのアーベル部分群であり、その生成元によって記述することができる。^{[32] [33]}安定化状態は、安定化群の生成元に対する一意の固有状態である -量子ビット状態である。^[19]${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$${\displaystyle \{\pm 1,\pm i\}\times \{I,X,Y,Z\}^{\otimes n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

${\displaystyle S_{i}|\Psi \rangle =|\Psi \rangle .}$

もちろん、。 ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {S}}_{n}\,\forall i}$

したがって、量子ビットグラフ状態をグラフに関連付けられた量子状態、つまり頂点が量子ビットに対応し、辺が量子ビット間のエンタングルメントを表す集合として定義することができます。頂点はインデックスでラベル付けでき、-番目の頂点と-番目の頂点をリンクする辺は、 などの2つのインデックスラベルでラベル付けできます。^[34]スタビライザー形式では、このようなグラフ構造はの生成子によってエンコードでき、次のように定義されます^{[15] [35] [36]}${\displaystyle n}$${\displaystyle |G\rangle }$${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

${\displaystyle K_{i}=X_{i}\prod _{j\in (i,j)}Z_{j}}$、

ここで、 は- 番目の量子ビットに隣接するすべての量子ビット、つまり頂点と辺で結ばれた頂点を表します。各ジェネレータは他のすべてのジェネレータと可換です。頂点によって構成されるグラフは、安定化群のジェネレータによって記述できます。 ${\displaystyle {j\in (i,j)}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \langle K_{1},K_{2},...,K_{n}\rangle }$。

の数はジェネレータごとに固定されていますが、グラフ内のエッジによって実装される接続に応じて、 の数は異なる場合があります。${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle Z_{j}}$

クリフォード群はパウリ群の要素を不変にする要素によって構成される：^{[19] [33] [37]}${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\{U\in SU(2^{n})\;|\;USU^{\dagger }\in {\mathcal {P}}_{n},S\in {\mathcal {P}}_{n}\}}$。

クリフォード グループには 3 つのジェネレータが必要です。これらは、単一量子ビット ゲートのアダマール ゲートと位相回転、および(制御 NOT ゲート) または(制御位相ゲート) からの別の 2 量子ビット ゲートとして選択できます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle CNOT}$${\displaystyle CZ}$

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\quad S={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}},\quad CNOT={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}}$。

安定化因子の集合によって安定化された状態を考える。そのような状態にクリフォード群の要素を介して作用すると、次の等式が成立する： ^{[33] [38]}${\displaystyle |G\rangle }$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle U|G\rangle =US_{i}|G\rangle =US_{i}U^{\dagger }U|G\rangle =S'_{i}U|G\rangle }$。

したがって、この操作は状態を に、その安定化子を にマッピングします。このような操作により、安定化子群の生成子 の異なる表現が生じる可能性があります。${\displaystyle U}$${\displaystyle |G\rangle }$${\displaystyle U|G\rangle }$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle US_{i}U^{\dagger }}$${\displaystyle K_{i}}$

ゴッテスマン＝ニル定理は、クリフォード群の論理ゲートのセットとそれに続く測定が与えられた場合、そのような計算は強い意味での古典的コンピュータで効率的にシミュレートできることを述べています。つまり、回路からの与えられた出力の確率を多項式時間で精緻化する計算です。 ^{[19] [33] [39] [40] [41]}${\displaystyle Z}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$

周期的な3D格子クラスター状態における測定ベースの計算は、トポロジカル量子エラー訂正を実装するために使用できます。^[42]トポロジカルクラスター状態の計算は、2Dアレイ上のゲートの繰り返しシーケンスによって3Dトポロジカルクラスター状態を構築し、時間の経過とともに測定できるため、キタエフのトーリックコードと密接に関連しています。 ^[43]

一方向量子計算は、2量子ビットのグローバーアルゴリズムを2x2光子クラスター状態に対して実行することによって実証されている。^{[44] [45]}一方向計算に基づく線形光学量子コンピュータが 提案されている。 ^[46]

クラスター状態は光格子でも生成されるが^[47]、原子量子ビットが近すぎて個別に測定できないため計算には使用されなかった。

2次元ハニカム格子上の（スピン ）AKLT状態はMBQCのリソースとして使用できることが示されています。 ^{[48] [49]} 最近では、スピン混合AKLT状態がリソースとして使用できることが示されています。^[50]${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$