クラスターの状態

量子情報と量子コンピューティングにおいて、クラスター状態^{[1]は、複数の}量子ビットの高度に絡み合った状態の一種です。クラスター状態は、イジング型相互作用を持つ量子ビットの格子で生成されます。クラスターCはd次元格子の連結された部分集合であり、クラスター状態はC上に配置された量子ビットの純粋な状態です。クラスター状態の場合、量子エンタングルメントを(射影測定を介して)除去することがより困難であるという点で、GHZ 状態やW 状態などの他のタイプの絡み合った状態とは異なります。クラスター状態を別の方法で考えると、基礎となるグラフがd次元格子の連結された部分集合であるグラフ状態の特定のインスタンスとして考えることができます。クラスター状態は、一方向量子コンピューターのコンテキストで特に役立ちます。このトピックのわかりやすい入門書については、 ^{[2] を}参照してください。

正式には、クラスター状態は、集合固有値方程式に従う状態です。 ${\displaystyle |\phi _{\{\kappa \}}\rangle _{C}}$

${\displaystyle K^{(a)}{\left|\phi _{\{\kappa \}}\right\rangle _{C}}=(-1)^{\kappa _{a}}{\left|\phi _{\{\kappa \}}\right\rangle _{C}}}$

相関演算子は どこにありますか${\displaystyle K^{(a)}}$

${\displaystyle K^{(a)}=\sigma _{x}^{(a)}\bigotimes _{b\in \mathrm {N} (a)}\sigma _{z}^{(b)}}$

およびはパウリ行列であり、の近傍を表し、 はクラスター状態の特定のインスタンスを指定するバイナリパラメータの集合です。 ${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{z}}$${\displaystyle N(a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{\kappa _{a}\in \{0,1\}|a\in C\}}$

ここに、 の 1 次元クラスター状態 ( d =1)の例をいくつか示します。ここで、 は量子ビットの数です。すべての に対して をとります。これは、クラスター状態が、すべての相関演算子の下で対応する固有値 1 を持つ唯一の同時固有状態であることを意味します。 各例には、相関演算子のセットと対応するクラスター状態がリストされています。 ${\displaystyle n=2,3,4}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \kappa _{a}=0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{K^{(a)}\}_{a}}$

• ${\displaystyle n=2}$
  ${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z},\ \sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0+\rangle +|1-\rangle )}$
これは EPR ペアです (ローカル変換まで)。

• ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z}I,\ \sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z},\ I\sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+0+\rangle +|-1-\rangle )}$
これは GHZ 状態です (ローカル変換まで)。

• ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z}II,\ \sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z}I,\ I\sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z},\ II\sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{2}}(|+0+0\rangle +|+0-1\rangle +|-1-0\rangle +|-1+1\rangle )}$。

これは GHZ 状態ではなく、ローカル操作で GHZ 状態に変換することはできません。

すべての例では は恒等演算子であり、テンソル積は省略されています。上記の状態は、まずすべての量子ビットにアダマール ゲートを適用し、次に隣接するすべての量子ビット間に制御 Z ゲートを適用することで、すべてゼロの状態から取得できます。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle |0\ldots 0\rangle }$

クラスター状態は実験的に実現できます。クラスター状態を作成する方法の 1 つは、論理量子ビットを光子の偏光にエンコードすることです。一般的なエンコードの 1 つは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{cases}|0\rangle _{\rm {L}}\longleftrightarrow |{\rm {H\rangle }}\\|1\rangle _{\rm {L}}\longleftrightarrow |{\rm {V\rangle }}\end{cases}}}$

これは唯一の可能な符号化方法ではないが、最も単純な方法の一つである。この符号化法では、自発的なパラメトリックダウンコンバージョンを通じて実験的にエンタングルドペアを生成することができる。^{[3] [4]}この方法で生成できるエンタングルドペアは、次の形式を持つ。

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|{\rm {H\rangle |{\rm {H\rangle +e^{i\phi }|{\rm {V\rangle |{\rm {V\rangle {\big )}}}}}}}}}}$

論理状態に相当する

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle |0\rangle +e^{i\phi }|1\rangle |1\rangle {\big )}}$

位相の2つの選択に対して2つのベル状態が得られる。これらはそれ自体が2量子ビットクラスター状態の2つの例である。ビームスプリッターや波長板などの線形光学デバイスを使用することで、これらのベル状態は相互作用し、より複雑なクラスター状態を形成することができる。^{[5]クラスター状態は、}冷却原子の 光格子でも生成されている。^[6]${\displaystyle \phi =0,\pi }$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ,|\Phi ^{-}\rangle }$

実験でクラスター状態が生成された後、実際に量子もつれ状態が生成されたことを確認することが重要です。-量子ビットクラスター状態に関する忠実度は次のように与えられます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle |C_{N}\rangle }$

${\displaystyle F_{CN}={\rm {Tr}}(\rho |C_{N}\rangle \langle C_{N}|),}$

の場合には、その状態は真の多粒子エンタングルメントを持つことが示されている。 ^[7]したがって、クラスター状態に近いエンタングルメントを検出する エンタングルメント証拠を次のように 得ることができる。${\displaystyle F_{CN}>1/2}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle W_{CN}={\frac {1}{2}}{\rm {Identity}}-|C_{N}\rangle \langle C_{N}|.}$

ここで、真の多粒子エンタングルメントが示されます。 ${\displaystyle \langle W_{CN}\rangle <0}$

このような証拠は直接測定できません。相関項の合計に分解して測定する必要があります。ただし、大規模なシステムではこのアプローチは困難です。

非常に大規模なシステムで機能するエンタングルメントの証拠もあり、それらはクラスター状態に近い真の多部分エンタングルメントも検出します。それらは最小限の 2 つのローカル測定設定のみを必要とします。^[7]同様の条件を使用して、理想的なクラスター状態に対する忠実度の下限を設定することもできます。^[8]これらの基準は、光子を使用して 4 量子ビットのクラスター状態を実現する実験で最初に使用されました。^[4]これらのアプローチは、光格子で実現された大規模なクラスター状態またはグラフ状態のより小さな部分でエンタングルメントを検出する方法を提案するためにも使用されています。^[9]

ベル不等式はクラスター状態に対しても開発されている。^{[10] [11] [12]}これらのエンタングルメント条件とベル不等式はすべて安定化形式論に基づいている。^[13]

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