一方向量子コンピュータ

測定ベースの量子コンピューティングの標準的なプロセスは、次の 3 つのステップで構成されます。^{[ 16 ] [ 17 ]}量子ビットをエンタングルさせ、補助量子ビットを測定し、出力を補正します。最初のステップでは、ソース状態を準備するために量子ビットをエンタングルさせます。2 番目のステップでは、補助量子ビットを測定し、出力量子ビットの状態に影響を与えます。しかし、量子力学の不確定性のため、測定出力は非決定論的な結果になります。^{[ 17 ]}計算を決定論的に実行するために、副産物と呼ばれるいくつかの補正演算子が導入されます。

計算の開始時、量子ビットは入力量子ビットと補助量子ビットの2つのカテゴリに分類できます。入力は一般的な量子ビットセットを表します。${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$いくつかのユニタリ変換が作用する状態。ソース状態を準備するために、すべての補助量子ビットを準備する必要があります。${\displaystyle |+\rangle }$状態: ^{[ 11 ] [ 18 ]}

${\displaystyle |+\rangle ={\tfrac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}},}$

どこ${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$は、古典的な量子符号化である。${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle 1}$ビット:

${\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}};\quad |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$。

登録${\displaystyle n}$したがって、量子ビットは次のように設定されます。${\displaystyle |+\rangle ^{\otimes n}}$その後、(制御された)を適用することにより、2つの量子ビット間のエンタングルメントを実行できます。${\displaystyle CZ}$ゲート操作。^{[ 19 ]}このような2量子ビット演算子の行列表現は次のように表される。

${\displaystyle CZ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}.}$

の行動${\displaystyle CZ}$2つの量子ビットに対するゲートは、次のシステムで記述できます。

${\displaystyle {\begin{cases}CZ|0+\rangle =|0+\rangle \\CZ|0-\rangle =|0-\rangle \\CZ|1+\rangle =|1-\rangle \\CZ|1-\rangle =|1+\rangle \end{cases}}}$

適用する際${\displaystyle CZ}$2 つの付属物の上に門があり、${\displaystyle |+\rangle }$州、州全体

${\displaystyle CZ|++\rangle ={\frac {|0+\rangle +|1-\rangle }{\sqrt {2}}}}$

は量子ビットの絡み合ったペアになります。2 つの補助量子ビットを絡み合わせる場合、結果が同じであれば、どちらが制御量子ビットでどちらがターゲット量子ビットであるかは重要ではありません。同様に、${\displaystyle CZ}$ゲートは対角線状に配置され、互いに可換であり、どの量子ビットを最初にエンタングルさせるかについては特に重要視されない。

光子は、一方向量子コンピューティングの文脈で使用される最も一般的な量子ビットシステムです。^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}しかし、決定論的${\displaystyle CZ}$光子間のゲートを実現することは困難です。そのため、ベル状態測定などの確率的エンタングルメントゲートが一般的に検討されます。^{[ 23 ]さらに、原子[ 24 ]}や量子ドット^{[ 25 ]}などの量子エミッターを使用して、光子量子ビット間の決定論的エンタングルメントを作成できます。^{[ 26 ]}

単一粒子状態に対する測定プロセスは、その状態を観測量の固有ベクトルに投影することによって記述できる。観測量を考える。${\displaystyle O}$2 つの可能な固有ベクトルを持つとすると、${\displaystyle |o_{1}\rangle }$そして${\displaystyle |o_{2}\rangle }$多粒子量子系を扱うと仮定する${\displaystyle |\Psi \rangle }$測定する${\displaystyle i}$-番目の量子ビットによる${\displaystyle O}$観測可能な手段で投影する${\displaystyle |\Psi \rangle }$の固有ベクトルに関する状態${\displaystyle O}$: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle |\Psi '\rangle =|o_{i}\rangle \langle o_{i}|\Psi \rangle }$。

実際の状態${\displaystyle i}$-番目の量子ビットは現在${\displaystyle |o_{i}\rangle }$これは${\displaystyle |o_{1}\rangle }$または${\displaystyle |o_{2}\rangle }$測定結果（量子力学では確率的）に応じて、測定射影は、${\displaystyle M(\theta )=\cos(\theta )X+\sin(\theta )Y}$観測可能:

${\displaystyle M(\theta )=\cos(\theta ){\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\sin(\theta ){\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&e^{-i\theta }\\e^{i\theta }&0\end{bmatrix}}}$、

どこ${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$パウリ行列に属する。${\displaystyle M(\theta )}$は${\displaystyle |\theta _{\pm }\rangle =|0\rangle \pm e^{i\theta }|1\rangle }$量子ビットを測定する${\displaystyle X}$-${\displaystyle Y}$飛行機、つまり${\displaystyle M(\theta )}$観測可能、それを投影する${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$または${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$一方向量子コンピューティングでは、一度量子ビットが測定されると、計算の流れの中でそれを再利用する方法はありません。したがって、${\displaystyle |o_{i}\rangle \langle o_{i}|}$表記法では、${\displaystyle \langle o_{i}|}$投影測定を示すために${\displaystyle i}$- 番目の量子ビット。

すべての測定が実行された後、システムはより少ない数の量子ビットに縮小され、それがシステムの出力状態を形成します。測定の結果は確率的であるため、システムは決定論的に設定されません。${\displaystyle X}$-${\displaystyle Y}$飛行機の場合、結果がどうであれ出力が変わる可能性があります${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$または${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$決定論的な計算を実行するには、いくつかの補正を導入する必要があります。補正演算子、または副産物演算子は、すべての測定が完了した後に出力量子ビットに適用されます。^{[ 18 ] [ 27 ]}実装可能な副産物演算子は次のとおりです。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Z}$^{[ 28 ]} 測定結果に応じて、出力状態に副産物演算子を適用する場合と適用しない場合がある。${\displaystyle X}$修正${\displaystyle j}$の量子ビットは、測定の結果に応じて、${\displaystyle i}$-番目の量子ビットを介して${\displaystyle M(\theta )}$観測可能であり、次のように記述できる。${\displaystyle X_{j}^{s_{i}}}$、 どこ${\displaystyle s_{i}}$予定されている${\displaystyle 0}$測定結果が${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$そうでなければ${\displaystyle 1}$もしそうだったら${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$最初のケースでは修正は行われず、後者のケースでは${\displaystyle X}$演算子は、${\displaystyle j}$番目の量子ビット。最終的には、量子力学では測定の結果は決定論的ではないものの、測定結果を用いて補正を行い、決定論的な計算を実行できる。

例として、オイラー回転を考えてみましょう。${\displaystyle XZX}$基本: 量子計算のゲートモデルでは、このような操作は^{[ 29 ]のように記述されます。}

${\displaystyle e^{i\gamma }R_{X}(\phi )R_{Z}(\theta )R_{X}(\lambda )}$、

どこ${\displaystyle \phi ,\theta ,\lambda }$は回転の角度であり、${\displaystyle \gamma }$計算とは無関係なグローバルフェーズを定義します。一方向計算フレームでこのような操作を実行するには、次のCMEパターンを実装できます。^{[ 27 ] [ 30 ]}

${\displaystyle Z_{5}^{s_{1}+s_{3}}X_{5}^{s_{2}+s_{4}}[M_{4}^{-\phi }]^{s_{1}+s_{3}}[M_{3}^{-\theta }]^{s_{2}}[M_{2}^{-\lambda }]^{s_{1}}M_{1}^{0}E_{4,5}E_{3,4}E_{2,3}E_{1,2}}$、

入力状態${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$キュービットは${\displaystyle 1}$、他のすべての量子ビットは補助補助装置であり、したがって準備する必要がある。${\displaystyle |+\rangle }$状態。最初のステップでは、入力状態${\displaystyle |\psi \rangle }$量子ビットは第2量子ビットと量子もつれ状態にある必要があり、さらに第2量子ビットは第3量子ビットと量子もつれ状態にある必要があり、以下同様である。量子もつれ操作${\displaystyle E_{ij}}$量子ビット間の操作は、${\displaystyle CZ}$門。

第二に、第１および第２の量子ビットは、${\displaystyle M(\theta )}$観測可能であるということは、それらは固有状態に射影されなければならないことを意味する。${\displaystyle |\theta \rangle }$そのような観測可能なもの。${\displaystyle \theta }$ゼロの場合、${\displaystyle |\theta _{\pm }\rangle }$州は${\displaystyle |\pm \rangle }$つまり、${\displaystyle X}$パウリ演算子。最初の測定${\displaystyle M_{1}^{0}}$量子ビットに対して実行される${\displaystyle 1}$と共に${\displaystyle \theta =0}$角度、つまり投影する必要がある${\displaystyle \langle \pm |}$状態。2回目の測定${\displaystyle [M_{2}^{-\lambda }]^{s_{1}}}$に関して実行される${\displaystyle -\lambda }$角度、つまり2番目の量子ビットは${\displaystyle \langle 0|\pm e^{i\lambda }\langle 1|}$状態。ただし、前回の測定結果が${\displaystyle \langle -|}$のサイン${\displaystyle \lambda }$角度を反転させる必要があり、2 番目の量子ビットは${\displaystyle \langle 0|+e^{-i\lambda }\langle 1|}$状態;最初の測定結果が${\displaystyle \langle +|}$反転操作は不要です。3番目についても同様の手順を繰り返す必要があります。${\displaystyle [M_{3}^{\theta }]^{s_{2}}}$そして4番目${\displaystyle [M_{4}^{\phi }]^{s_{1}+s_{3}}}$それぞれの角度と符号反転に従って測定します。${\displaystyle \phi }$角度は次のように設定されます${\displaystyle (-)^{s_{1}+s_{3}}}$最終的に、5番目の量子ビット（測定されていない唯一の量子ビット）が出力状態であることが判明する。

ついに修正${\displaystyle Z_{5}^{s_{1}+s_{3}}X_{5}^{s_{2}+s_{4}}}$出力状態に対する測定は、副積演算子を介して実行する必要があります。たとえば、2番目と4番目の量子ビットに対する測定が次のようになった場合${\displaystyle \langle \phi _{+}|}$そして${\displaystyle \langle \lambda _{+}|}$修正は行われません${\displaystyle X_{5}}$演算子として${\displaystyle s_{2}=s_{4}=0}$同じ結果が${\displaystyle \langle \phi _{-}|}$${\displaystyle \langle \lambda _{-}|}$結果として、${\displaystyle s_{2}=s_{4}=1}$したがって、パウリ演算子の二乗${\displaystyle X^{2}}$識別子を返します。

このような例に見られるように、測定ベースの計算モデルでは、物理的な入力量子ビット（1つ目）と出力量子ビット（3つ目）は互いに異なる可能性があります。

すべての${\displaystyle E_{ij}}$プロセス開始時の量子もつれに関して、いくつかの交換法則を指摘する必要がある。

${\displaystyle E_{ij}Z_{i}^{s}=Z_{i}^{s}E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}X_{i}^{s}=X_{i}^{s}Z_{j}^{s}E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}A_{k}=A_{k}E_{ij}}$。

エンタングルメント演算子${\displaystyle E_{ij}}$通勤には${\displaystyle Z}$パウリ演算子と他の演算子${\displaystyle A_{k}}$量子ビットに作用する${\displaystyle k\neq i,j}$しかし、${\displaystyle X}$パウリ演算子は${\displaystyle i}$-th または${\displaystyle j}$番目の量子ビット。

測定操作${\displaystyle M_{i}^{\theta }}$以下の方法で修正案に従って通勤してください。

${\displaystyle M_{i}^{\theta }X_{i}^{s}=[M_{i}^{\theta }]^{s}}$

${\displaystyle M_{i}^{\theta }Z_{i}^{t}=S_{i}^{t}M_{i}^{\theta }}$、

どこ${\displaystyle [M_{i}^{\theta }]^{s}=M_{i}^{(-)^{s}\theta }}$このような操作は、${\displaystyle X}$パターンの最後に修正を加えると、測定値間に何らかの依存関係が生じる可能性があります。${\displaystyle S_{i}^{t}}$この演算子は信号シフトと呼ばれ、その動作については次の段落で説明します。${\displaystyle \theta }$角度に関しては、パウリの単純化と呼ばれるいくつかの単純化を導入することができる。

${\displaystyle M_{i}^{0}X_{i}^{s}=M_{i}^{0}}$

${\displaystyle M_{i}^{\pi /2}X_{i}^{s}=M_{i}^{\pi /2}Z_{i}^{s}}$。

信号シフトオペレータの動作${\displaystyle S_{i}^{t}}$これは、交換法則を通して説明できる。

${\displaystyle X_{i}^{s}S_{i}^{t}=S_{i}^{t}X_{i}^{s[(s_{i}+t)/s_{i}]}}$

${\displaystyle Z_{i}^{s}S_{i}^{t}=S_{i}^{t}Z_{i}^{s[(s_{i}+t)/s_{i}]}}$。

の${\displaystyle s[(t+s_{i})/s_{i}]}$操作の説明が必要です。一連の信号があると仮定します。${\displaystyle s}$から構成される${\displaystyle s_{1}+s_{2}+...+s_{i}+...}$手術${\displaystyle s[(t+s_{i})/s_{i}]}$代替手段${\displaystyle s_{i}}$と${\displaystyle s_{i}+t}$シーケンスで${\displaystyle s}$すると、${\displaystyle s_{1}+s_{2}+...+s_{i}+t+...}$いいえ${\displaystyle s_{i}}$に現れる${\displaystyle s}$シーケンスでは、置換は発生しません。正しいCMEパターンを実行するには、すべての信号シフト演算子${\displaystyle S_{i}^{t}}$パターンの最後に翻訳する必要があります。

クリフォードグループ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$パウリ群の要素を不変に保つ要素で構成されています${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$: ^{[ 19 ] [ 33 ] [ 37 ]}

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\{U\in SU(2^{n})\;|\;USU^{\dagger }\in {\mathcal {P}}_{n},S\in {\mathcal {P}}_{n}\}}$。

クリフォード群には3つの生成器が必要であり、それらはアダマールゲートとして選択できる。${\displaystyle H}$そして位相回転${\displaystyle S}$単一量子ビットゲートの場合、そして別の2量子ビットゲートは${\displaystyle CNOT}$（制御NOTゲート）または${\displaystyle CZ}$（制御位相ゲート）：

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\quad S={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}},\quad CNOT={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}}$。

ある状態を考えてみましょう${\displaystyle |G\rangle }$一連の安定装置によって安定化されている${\displaystyle S_{i}}$要素を介して作用する${\displaystyle U}$このような状態におけるクリフォード群から、次の等式が成り立つ：^{[ 33 ] [ 38 ]}

${\displaystyle U|G\rangle =US_{i}|G\rangle =US_{i}U^{\dagger }U|G\rangle =S'_{i}U|G\rangle }$。

したがって、${\displaystyle U}$オペレーションマップ${\displaystyle |G\rangle }$州へ${\displaystyle U|G\rangle }$そしてその${\displaystyle S_{i}}$安定剤${\displaystyle US_{i}U^{\dagger }}$このような操作は、異なる表現を生み出す可能性があります。${\displaystyle K_{i}}$安定化群の発電機。

ゴッテスマン・ニル定理は、クリフォード群の論理ゲートのセットが与えられた場合、${\displaystyle Z}$測定、このような計算は、強い意味での古典的コンピュータ上で効率的にシミュレートできます。つまり、確率を多項式時間で展開する計算です。${\displaystyle P(x)}$特定の出力に対して${\displaystyle x}$回路から。^{[ 19 ] [ 33 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}

周期的な 3D 格子クラスター状態に対する測定ベースの計算は、トポロジカル量子誤り訂正を実装するために使用できます。^{[ 42 ]}トポロジカル クラスター状態の計算は、2D アレイ上のゲートの繰り返しシーケンスによって 3D トポロジカル クラスター状態を構築して時間的に測定できるため、キタエフのトーリック コードと密接に関連しています。 ^{[ 43 ]}

2x2の光子クラスター状態に対して2量子ビットのグローバーアルゴリズムを実行することで、一方向量子計算が実証されている。 ^{[ 44 ] [ 45 ]}一方向計算に基づく線形光学量子コンピュータが提案されて いる。^{[ 46 ]}

クラスター状態は光格子でも生成されているが^{[ 47 ]}、原子量子ビットが互いに近すぎて個別に測定できなかったため、計算には使用されなかった。

スピン​${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$2Dハニカム格子上のAKLT状態はMBQCのリソースとして使用できる。^{[ 48 ] [ 49 ]} 最近では、スピン混合AKLT状態をリソースとして使用できることが示された。^{[ 50 ]}