材料破壊理論

材料破壊理論は、外部荷重の作用下で固体材料が破壊する条件を予測しようとする材料科学と固体力学の学際的な分野です。材料の破壊は通常、脆性破壊 (破壊) または延性破壊 (降伏) に分類されます。条件 (温度、応力状態、荷重率など) に応じて、ほとんどの材料は脆性または延性、あるいはその両方で破壊する可能性があります。ただし、ほとんどの実際の状況では、材料は脆性または延性のいずれかに分類されます。

数学的に言えば、破壊理論は特定の材料に有効なさまざまな破壊基準の形で表現されます。破壊基準は、応力またはひずみ空間における関数であり、「破壊」状態と「非破壊」状態を区別します。「破壊」状態の正確な物理的定義は簡単に定量化できず、エンジニアリング コミュニティではいくつかの実用的な定義が使用されています。多くの場合、同じ形式の現象論的破壊基準が脆性破壊と延性降伏の予測に使用されます。

材料科学において、材料破壊とは、材料単位の荷重支持能力の損失です。この定義は、材料破壊が微視的から巨視的まで、さまざまなスケールで調べられるという事実を導き出します。構造上の問題では、構造応答が非線形材料挙動の開始を超える可能性があるため、材料破壊は構造の完全性を判断する上で非常に重要です。一方、世界的に受け入れられている破壊基準がないため、材料破壊による構造の損傷の判断は、依然として集中的な研究が進められています。

材料の破損は、材料を検査する規模に応じて、2 つの広いカテゴリに分けられます。

微視的材料破壊は、亀裂の発生と伝播の観点から定義されます。このような方法論は、明確に定義された全体的荷重分布下での試験片や単純な構造の亀裂に対する洞察を得るのに役立ちます。微視的破壊は、亀裂の発生と伝播を考慮します。この場合の破壊基準は、微視的破壊に関連しています。この分野で最も人気のある破壊モデルのいくつかは、連続体力学と古典的な破壊力学の利点を組み合わせたマイクロメカニカル破壊モデルです。^[1]このようなモデルは、塑性変形中にマイクロボイドが核生成して成長し、局所的な塑性ネックまたはボイド間マトリックスの破壊が発生して隣接するボイドが融合するという概念に基づいています。Gursonによって提案され、TvergaardとNeedlemanによって拡張されたこのようなモデルは、GTNとして知られています。Rousselierによって提案された別のアプローチは、連続体損傷力学（CDM）と熱力学に基づいています。どちらのモデルも、空洞の空隙率、すなわち多孔度fを表すスカラー損傷量を導入することで、フォンミーゼス降伏ポテンシャルの修正を形成します。

マクロ的な材料破壊は、荷重容量またはエネルギー貯蔵容量の観点から定義されます。Li ^[2]は、マクロ的な破壊基準を4つのカテゴリに分類しています。

• 応力またはひずみによる破損
• エネルギー型故障（S基準、T基準）
• 損傷の失敗
• 経験的失敗

変形と破損の意味は、構造要素スケール、マクロ的な応力と歪みが定義されるマクロスケール、典型的な空隙によって表されるメソスケール、マイクロスケール、原子スケールの 5 つの一般的なレベルによって解釈されます。1 つのレベルでの材料の挙動は、サブレベルでの挙動の集合体として考えられます。効率的な変形および破損モデルは、すべてのレベルで一貫している必要があります。

脆性材料の破損は、いくつかのアプローチを使用して判定できます。

• 現象論的故障基準
• 線形弾性破壊力学
• 弾塑性破壊力学
• エネルギーベースの方法
• 凝集ゾーン法

脆性固体用に開発された破壊基準は、最大応力/ひずみ基準でした。最大応力基準は、材料要素の最大主応力が 材料の一軸引張強度を超えたときに材料が破壊すると想定しています。または、最小主応力が材料の一軸圧縮強度よりも小さい場合、材料は破壊します。材料の一軸引張強度がで、一軸圧縮強度がの場合、材料の安全領域は次のように想定されます。 ${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{3}}$${\displaystyle \sigma _{t}}$${\displaystyle \sigma _{c}}$

${\displaystyle \sigma _{c}<\sigma _{3}<\sigma _{1}<\sigma _{t}\,}$

上記の表現では、張力が正であるという慣例が使用されていることに注意してください。

最大ひずみ基準は、主ひずみが実験的に決定された破壊時の一軸ひずみと比較されることを除いて、同様の形式である。

${\displaystyle \varepsilon _{c}<\varepsilon _{3}<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{t}\,}$

最大主応力と最大主ひずみの基準は、重大な欠点があるにもかかわらず、引き続き広く使用されています。

工学文献には、他の多くの現象論的破壊基準が載っています。これらの基準が破壊を予測する精度には限界があります。さまざまなタイプの材料の一般的な破壊基準は次のとおりです。

• コーシー応力テンソルの不変量に​​基づく基準
• トレスカまたは最大せん断応力破壊基準
• フォン・ミーゼスまたは最大弾性変形エネルギー基準
• 凝集摩擦固体のモール・クーロン破壊基準
• 圧力依存固体のドラッカー・プラガー破壊基準
• コンクリートのブレスラー・ピスター破壊基準
• コンクリートのウィリアム・ワーンケ破壊基準
• ハンキンソン基準、木材などの直交異方性材料に使用される経験的な破壊基準
• 異方性固体のヒル降伏基準
• 異方性複合材料のTsai -Wu破壊基準
• 等方性固体の高速変形に対するジョンソン・ホルムキスト損傷モデル
• 岩盤のフック・ブラウン破壊基準
• 土壌のカム・クレイ破壊理論

線形弾性破壊力学で採用されているアプローチは、脆性材料の既存の亀裂を成長させるために必要なエネルギー量を推定することです。不安定な亀裂成長に対する最も初期の破壊力学アプローチはグリフィスの理論です。^{[3]グリフィスの理論は、亀裂の}モードI開口 に適用すると、亀裂を伝播するために必要な臨界応力（）は次のように表される と予測しています。${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\cfrac {2E\gamma }{\pi a}}}}$

ここで、は材料のヤング率、は亀裂の単位面積あたりの表面エネルギー、はエッジ亀裂の亀裂長さ、 は平面亀裂の亀裂長さです。 この量は破壊靭性と呼ばれる材料パラメータとして仮定されます。平面ひずみに対するモードI破壊靭性は次のように定義されます 。${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {\pi a}}}$

${\displaystyle K_{\rm {Ic}}=Y\sigma _{c}{\sqrt {\pi a}}}$

ここで、は遠距離場応力の臨界値であり、は形状、材料特性、および荷重条件に依存する無次元係数です。 この量は応力集中係数に関連しており、実験的に決定されます。 および は、モード IIおよびモデル III の荷重条件 に対しても同様の量を決定することができます。${\displaystyle \sigma _{c}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle K_{\rm {Ic}}}$${\displaystyle K_{\rm {IIc}}}$${\displaystyle K_{\rm {IIIc}}}$

さまざまな形状の亀裂の周囲の応力状態は、応力拡大係数で表すことができます。線形弾性破壊力学では、亀裂先端の応力拡大係数が材料の破壊靭性よりも大きい場合、亀裂が広がると予測されます。したがって、亀裂先端の応力拡大係数がわかれば、臨界応力も決定できます。

線形弾性破壊力学法は、異方性材料（複合材料など）や、荷重や形状が複雑な状況には適用しにくい。ひずみエネルギー解放率アプローチは、このような状況で非常に有用であることが証明されている。板の厚さを貫通するモードIの亀裂のひずみエネルギー解放率は、次のように定義される。

${\displaystyle G_{I}={\cfrac {P}{2t}}~{\cfrac {du}{da}}}$

ここで、は適用された荷重、はプレートの厚さ、は亀裂の成長による荷重の適用点の変位、 はエッジ亀裂の亀裂長さ、 は平面亀裂の亀裂長さです。 ひずみエネルギー解放率が臨界値（臨界ひずみエネルギー解放率と呼ばれる）を超えると、亀裂が広がると予想されます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle G_{\rm {Ic}}}$

平面応力に対する破壊靭性と臨界ひずみエネルギー解放率は次のように関係している。

${\displaystyle G_{\rm {Ic}}={\cfrac {1}{E}}~K_{\rm {Ic}}^{2}}$

ここで、はヤング率です。初期の亀裂サイズがわかっている場合は、ひずみエネルギー解放率基準を使用して臨界応力を決定できます。 ${\displaystyle E}$

降伏基準は、降伏面または降伏軌跡として表現されることが多く、あらゆる応力の組み合わせにおける弾性の限界に関する仮説です。降伏基準には 2 つの解釈があります。1 つは統計的アプローチを採用した純粋に数学的なものであり、もう 1 つのモデルは確立された物理的原理に基づいて正当化しようとします。応力とひずみはテンソルの性質であるため、3 つの主要な方向に基づいて記述できます。応力の場合、これらは、、、およびで示されます。 ${\displaystyle \sigma _{1}\,\!}$${\displaystyle \sigma _{2}\,\!}$${\displaystyle \sigma _{3}\,\!}$

以下は、等方性材料（すべての方向で均一な特性）に適用される最も一般的な降伏基準を表しています。他の式も提案されており、専門的な状況で使用されています。

最大主応力理論–ウィリアム ランキン(1850) による。最大主応力が一軸引張降伏強度を超えたときに降伏が発生します。この基準は実験データとの迅速かつ簡単な比較を可能にしますが、設計目的にはほとんど適していません。この理論は脆性材料に対して優れた予測を提供します。

${\displaystyle \sigma _{1}\leq \sigma _{y}\,\!}$

最大主ひずみ理論– St.Venant による。降伏は、単純引張試験中に最大主ひずみが降伏点に対応するひずみに達したときに発生します。主応力に関しては、これは次の式で決定されます。

${\displaystyle \sigma _{1}-\nu \left(\sigma _{2}+\sigma _{3}\right)\leq \sigma _{y}.\,\!}$

最大せん断応力理論–フランスの科学者アンリ・トレスカにちなんでトレスカ降伏基準とも呼ばれます。これは、せん断応力がせん断降伏強度を超えたときに降伏が発生すると仮定しています。 ${\displaystyle \tau \!}$${\displaystyle \tau _{y}\!}$

${\displaystyle \tau ={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}\leq \tau _{y}.\,\!}$

全ひずみエネルギー理論- この理論では、降伏点における弾性変形に関連する蓄積エネルギーは特定の応力テンソルとは無関係であると仮定しています。したがって、降伏は、単位体積あたりのひずみエネルギーが単純引張における弾性限界でのひずみエネルギーよりも大きい場合に発生します。3 次元応力状態の場合、これは次のように表されます。

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-2\nu \left(\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{1}\sigma _{3}\right)\leq \sigma _{y}^{2}.\,\!}$

最大歪みエネルギー理論（フォン・ミーゼス降伏条件）は、八面体せん断応力理論とも呼ばれます。^[4] – この理論では、総歪みエネルギーを体積（静水圧）歪みエネルギーと形状（歪みまたはせん断）歪みエネルギーの2つの成分に分けることができると提唱しています。降伏は、歪み成分が単純引張試験の降伏点の歪み成分を超えたときに発生すると提唱されています。この理論はフォン・ミーゼス降伏条件としても知られています。

これらの基準に対応する降伏面にはさまざまな形があります。ただし、ほとんどの等方性降伏基準は凸型降伏面に対応します。

金属が大きな塑性変形を受けると、変形の方向に応じて結晶粒の大きさと配向が変化します。その結果、材料の塑性降伏挙動は方向依存性を示します。このような状況では、フォン ミーゼス降伏条件などの等方性降伏条件では、降伏挙動を正確に予測できません。このような状況に対処するために、いくつかの異方性降伏条件が開発されました。より一般的な異方性降伏条件には、次のものがあります。

• ヒルの二次降伏基準
• 一般化ヒル降伏基準
• ホスフォード降伏基準

延性材料の降伏面は、通常、材料の変形が増加するにつれて変化します。ひずみ、温度、ひずみ速度の増加に伴う降伏面の変化のモデルは、等方性硬化、移動硬化、粘塑性に関する上記の破壊基準と組み合わせて使用​​されます。このようなモデルには次のようなものがあります。

• ジョンソン・クックモデル
• スタインバーグ・ギナンモデル
• ゼリリ・アームストロングモデル
• 機械的閾値応力モデル
• プレストン・トンクス・ウォレスモデル

延性材料には、延性材料の極限破壊強度の予測というもう 1 つの重要な側面があります。極限強度を予測するモデルは、エンジニアリング コミュニティでいくつか使用されており、成功の度合いはさまざまです。金属の場合、このような破壊基準は通常、多孔性と破壊までのひずみの組み合わせ、または損傷パラメータで表現されます。

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