ホスフォード降伏基準

ホスフォード降伏基準は、材料が応力の作用下で塑性降伏を起こしたかどうかを判断するために使用される関数です。

等方性材料に対するホスフォード降伏条件^[1]はフォン・ミーゼス降伏条件の一般化であり、次の式で表される。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{n}+{\tfrac {1}{2}}|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{n}+{\tfrac {1}{2}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{n}=\sigma _{y}^{n}\,}$

ここで、、i=1,2,3は主応力、は材料に依存する指数、は一軸引張/圧縮における 降伏応力です。${\displaystyle \sigma_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma_{y}}$

あるいは、降伏基準は次のように記述される。

${\displaystyle \sigma _{y}=\left({\tfrac {1}{2}}|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{n}+{\tfrac {1}{2}}|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{n}+{\tfrac {1}{2}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{n}\right)^{1/n}\,.}$

この表現はL ^p ノルムの形を持ち、次のように定義される。

${\displaystyle \\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\,.}$

のとき、 L∞ノルム が得られる^。${\displaystyle p=\infty}$

${\displaystyle \\|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\right\}}$これをホスフォード基準と比較すると

は、n  = ∞の場合には、

${\displaystyle (\sigma _{y})_{n\rightarrow \infty }=\max \left(|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|,|\sigma _{1}-\sigma _{2}|\right)\,.}$

これはTresca 降伏基準と同一です。

したがって、n = 1またはn が無限大になると、ホスフォードの条件はトレスカの降伏条件に簡約されます。n = 2になると、ホスフォードの条件はフォン ミーゼスの降伏条件に簡約されます。

指数n は整数である必要はないことに注意してください。

平面応力の実際上重要な状況では、ホスフォードの降伏条件は次の形をとる。

${\displaystyle {\cfrac {1}{2}}\left(|\sigma _{1}|^{n}+|\sigma _{2}|^{n}\right)+{\cfrac {1}{2}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{n}=\sigma _{y}^{n}\,}$

指数のさまざまな値に対する平面応力の降伏軌跡のプロットを隣の図に示します。 ${\displaystyle n\geq 1}$

異方性塑性に対するローガン・ホスフォードの降伏条件^{[2] [3]は}ヒルの一般化降伏条件に似ており、次の式で表される。

${\displaystyle F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{n}+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{n}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{n}=1\,}$

ここで、F、G、Hは定数、は主応力、指数nは結晶の種類（bcc、fcc、hcpなど）に依存し、2よりもはるかに大きな値になります。 ^[4] の許容値は、bcc材料の場合は6 、 fcc材料 の場合は8です。${\displaystyle \sigma_{i}}$${\displaystyle n}$

この形式はヒルの一般化降伏基準に似ていますが、指数n はヒルの基準とは異なり R 値に依存しません。

平面応力条件下では、ローガン・ホスフォード基準は次のように表される。

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{n}+|\sigma _{2}|^{n})+{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{n}=\sigma _{y}^{n}}$

ここで、はR値、 は一軸引張/圧縮における降伏応力です。この関係式の導出については、平面応力に対するヒルの降伏条件を参照してください。異方性ホスフォード条件の降伏軌跡のプロットは、隣の図に示されています。 の値が2未満の場合、降伏軌跡は角を呈するため、このような値は推奨されません。^[4]${\displaystyle R}$${\displaystyle \sigma_{y}}$${\displaystyle n}$

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