降伏面

トレスカ降伏条件は、アンリ・トレスカの研究であるとされている。^{[ 12 ]}これは、最大せん断応力理論（MSST）およびトレスカ・ゲスト^{[ 13 ]}（TG）基準としても知られている。主応力に関して、トレスカ基準は次のように表される。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

どこ${\displaystyle S_{sy}}$はせん断における降伏強度であり、${\displaystyle S_{y}}$は引張降伏強度です。

図1は、主応力の3次元空間におけるトレスカ・ゲスト降伏面を示しています。これは、長さが無限の6面体です。これは、3つの主応力がほぼ等しい場合（静水圧）、材料がどれだけ圧縮または伸張されても弾性状態を維持することを意味します。しかし、主応力の1つが他の主応力よりも小さく（または大きく）なると、材料はせん断を受けます。このような状況で、せん断応力が降伏限界に達すると、材料は塑性領域に入ります。図2は、2次元応力空間におけるトレスカ・ゲスト降伏面を示しています。これは、${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$飛行機。

フォンミーゼス降伏条件は主応力で次のように表される。

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

どこ${\displaystyle S_{y}}$は一軸引張における降伏強度である。

図3は、主応力の3次元空間におけるフォンミーゼス降伏面を示しています。これは、軸が3つの主応力に対して等しい角度で傾いた無限長の円筒です。図4は、2次元空間におけるフォンミーゼス降伏面をトレスカ・ゲスト基準と比較したものです。平面上のフォンミーゼス円筒の断面は、${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$降伏曲面の楕円形を生成する。

この基準^{[ 14 ] [ 15 ]は}、座標を持つ静水圧ノードの関数として再定式化されました。${\displaystyle 1/\gamma _{1}}$そして${\displaystyle 1/\gamma _{2}}$

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

これは、静水圧軸を中心とした2次回転面の一般方程式を表します。いくつかの特殊なケースは次のとおりです。 ^{[ 16 ]}

• シリンダー${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}$（マクスウェル（1865年）、フーバー（1904年）、フォン・ミーゼス（1913年）、ヘンキー（1924年））
• 円錐${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[}$(ボトキン (1940)、ドラッカー・プラーガー (1952)、ミロリュボフ (1953))、
• 放物面${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}$(ブルジンスキー (1928)、バランディン (1937)、トーレ (1947))、
• 対称面を中心とする楕円体${\displaystyle I_{1}=0}$、 ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[}$（ベルトラミ（1885））
• 対称面を中心とする楕円体${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$と ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$（シュライヒャー（1926））
• 2葉双曲面${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$（ブルジンスキー（1928）、ヤグン（1931））
• 対称面を中心とする一葉双曲面${\displaystyle I_{1}=0}$、 ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i}$、 ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$（クーン（1980））
• 一葉双曲面${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm a\,i}$、 ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$（フィロネンコ＝ボロディッチ（1960）、ゴルデンブラット＝コプノフ（1968）、フィリン（1975））。

圧縮-張力関係とねじり-張力関係は次のように計算できます。

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

引張および圧縮時のポアソン比は、以下を用いて求められる。

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

延性材料の場合、制限

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

は重要です。脆性破壊に対する回転対称基準の適用

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

十分に研究されていない。^{[ 17 ]}

Burzyński-Yagn 基準は学術的な目的には適しています。実用的な応用には、奇数と偶数のべき乗における偏差の 3 番目の不変量を式に導入する必要があります。例: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

フーバー基準は、主応力空間におけるベルトラミ楕円体とスケールされたフォンミーゼス円筒から構成される。^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}も参照^。

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

と${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$断面における表面間の遷移${\displaystyle I_{1}=0}$連続的に微分可能である。この基準は、非弾性材料挙動に関する「古典的な見解」を表している。

• 圧力に敏感な材料の挙動${\displaystyle I_{1}>0}$と${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]}$そして
• 圧力に影響されない材料挙動${\displaystyle I_{1}<0}$と ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2}$

フーバー基準は、引張時のポアソン比に対する経験的制約を伴う降伏面として使用できる。${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$これは、${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$。

修正されたHuber基準、^{[ 25 ] [ 24 ]}も参照、^{[ 26 ]}参照^{[ 27 ]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

圧縮時のポアソン比に制限されたシュライヒャー楕円体で構成される

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

そしてシリンダー${\displaystyle C^{1}}$断面における遷移${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$パラメータの2番目の設定${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$そして${\displaystyle \gamma _{2}<0}$圧縮／張力関係に従う

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

修正されたHuber基準は、Huber基準よりも測定データに適合しやすい。${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$続いて${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$そして${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$。

フーバー基準および修正フーバー基準は、フォン・ミーゼス基準よりも安全な結果が得られるため、この領域で優先されるべきである。${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$実用的な応用においては、偏差の3番目の不変量が${\displaystyle I_{3}'}$これらの基準で考慮されるべきである。^{[ 24 ]}

モール・クーロン降伏（破壊）基準は、トレスカ基準に類似していますが、引張降伏強度と圧縮降伏強度が異なる材料に対する追加の規定があります。このモデルは、コンクリート、土壌、または粒状材料のモデリングによく使用されます。モール・クーロン降伏基準は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

どこ

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

パラメータ${\displaystyle S_{yc}}$そして${\displaystyle S_{yt}}$はそれぞれ、材料の単軸圧縮および引張における降伏（破壊）応力である。式は、以下の条件を満たす場合、トレスカ基準に帰着する。${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$。

図5は、主応力の3次元空間におけるモール・クーロン降伏面を示しています。これは円錐柱であり、${\displaystyle K}$円錐面の傾斜角を決定します。図6は、2次元応力空間におけるモール・クーロン降伏面を示しています。図6${\displaystyle R_{r}}$そして${\displaystyle R_{c}}$用途${\displaystyle S_{yt}}$そして${\displaystyle S_{yc}}$式中のそれぞれ。これは、この円錐柱の平面上の断面である。${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$図6では、式中のSycとSytに対して、それぞれRrとRcが使用されています。

Drucker –Prager降伏条件は、フォン・ミーゼス降伏条件に類似しており、引張降伏強度と圧縮降伏強度が異なる材料を扱うための規定が設けられています。この条件は、破壊が垂直応力とせん断応力の両方によって決定されるコンクリートに最もよく使用されます。Drucker–Prager降伏条件は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

どこ

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

そして${\displaystyle S_{yc}}$、${\displaystyle S_{yt}}$はそれぞれ圧縮と引張における一軸降伏応力である。式は、以下の条件を満たす場合、フォン・ミーゼス方程式に簡略化される。${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$。

図7は、主応力の3次元空間におけるDrucker–Prager降伏面を示しています。これは正円錐です。図8は、2次元空間におけるDrucker–Prager降伏面を示しています。楕円形の弾性領域は、円錐の平面上の断面です。${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$; 異なる数の頂点でモール・クーロン降伏面と交差するように選択できます。 1 つの選択肢は、モール・クーロン降伏面を両側の 3 つの頂点で交差することです。${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$線ですが、慣例として圧縮領域のものが選ばれます。^{[ 28 ]}別の選択肢としては、モール・クーロン降伏面を両軸上の4つの頂点（一軸適合）または対角線上の2つの頂点で交差させる方法があります。${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$（二軸嵌合）。^{[ 29 ]}ドラッカー・プラガー降伏条件は、材料の凝集力と摩擦角の観点からも一般的に表現される。

ブレスラー・ピスター降伏条件は、3つのパラメータを使用するドラッカー・プラガー降伏条件の拡張であり、静水圧圧縮下で降伏する材料に対する追加項を持つ。主応力の観点から、この降伏条件は次のように表される。

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

どこ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$は材料定数です。追加パラメータ${\displaystyle c_{2}}$降伏面は、その軸に垂直な方向から見たときに楕円形の断面を持つ。${\displaystyle \sigma _{c}}$一軸圧縮における降伏応力は、${\displaystyle \sigma _{t}}$は一軸引張における降伏応力であり、${\displaystyle \sigma _{b}}$は二軸圧縮における降伏応力であり、パラメータは次のように表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

ウィリアム・ワーンケ降伏条件は、モール・クーロン降伏条件を3つのパラメータで平滑化したものであり、ドラッカー・プラガー降伏条件やブレスラー・ピスター降伏条件と形式的に類似している。

収率基準は関数形式で表される

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

しかし、ハイグ・ウェスターガード座標では、より一般的に次のように表現される。

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

表面を軸に沿って見た場合の断面は、滑らかな三角形になります（モール・クーロン降伏面とは異なります）。ウィリアム・ワーンケ降伏面は凸状であり、その表面上のすべての点において、一意かつ明確に定義された1階および2階導関数を持ちます。したがって、ウィリアム・ワーンケモデルは計算的に堅牢であり、様々な凝集摩擦材料に適用されています。

一軸引張応力に対して正規化${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$ 応力角の関数としてのポドゴルスキー基準^{[ 30 ]}${\displaystyle \theta }$読む

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

三角対称の形状関数を持つ${\displaystyle \pi }$-飛行機

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

フォン・ミーゼスの基準が含まれています（${\displaystyle \pi }$-飛行機、${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$、${\displaystyle \chi _{3}=0}$)、トレスカ (正六角形、${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$、${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$）、マリオット（正三角形、${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$、${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$)、イブレフ^{[ 31 ]}（正三角形、${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$、${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$^{）また、Sayir [ 32 ]}の三次基準（Ottosen 基準^{[ 33 ]}）${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$そして、カプルソ基準^{[ 31 ] [ 32 ] [ 34 ]}の等角（正三角形）六角形 は${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$フォン・ミーゼス-トレスカ遷移^{[ 35 ]} は以下に従う。${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$、${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$^{シュミット・イシュリンスキー基準（正六角形）を含むヘイソーンスウェイト基準[ 24 ] [ 36 ] [ 37 ]}の等角六角形は、ポドゴルスキー基準では記述できない。

ローゼンダール基準^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

六角形の対称性の形状関数を持つ${\displaystyle \pi }$-飛行機

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

フォン・ミーゼスの基準（円、${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$、${\displaystyle \chi _{6}=0}$)、トレスカ (正六角形、${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$、${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$）、シュミット・イシュリンスキー（正六角形、${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$、${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$）、ソコロフスキー（正十二角形、${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$、${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$）および双三次 基準^{[ 24 ] [ 38 ] [ 41 ] [ 42 ]}${\displaystyle \beta _{6}=0}$または同様に${\displaystyle \beta _{6}=1}$^{そして、Yu [ 43 ]}の統一収量基準の等角十二角形は${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$^{六角形の対称性の乗法的な仮説基準[ 24 ]}に含まれるイシュリンスキー・イブレフ基準（正十二角形）の等角十二角形は、ローゼンダール基準では記述できない。

ポドゴルスキとローゼンダールの基準は、追加の外形線や平面の交点なしに、主応力空間内の単一の表面を記述します。数値的な問題を回避するために、実部関数が${\displaystyle Re}$形状関数に導入できるもの：${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$そして${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$形式における一般化${\displaystyle \Omega _{3n}}$^{[ 38 ]}は理論的研究に関連している。

基準の圧力依存性拡張は線形によって得られる${\displaystyle I_{1}}$-置換^{[ 24 ]}

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

これは、金属、鋳鉄、合金、コンクリート、非強化ポリマーなど、多くの用途に十分です。

Bigoni –Piccolroaz降伏条件^{[ 44 ] [ 45 ]}は、以下のように定義される7パラメータ曲面である。

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

どこ${\displaystyle F(p)}$「子午線」関数

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

圧力感度と${\displaystyle g(\theta )}$は「偏差関数」である ^{[ 46 ]}

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

降伏のローデ依存性を説明する。7つの非負の材料パラメータ：

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

子午線断面と偏差断面の形状を定義する。

この基準は、静水圧による引張と圧縮の両方で閉じた、滑らかで凸状の表面を表し、滴のような形状をしており、摩擦性および粒状材料を記述するのに特に適しています。この基準は、角のある表面の場合にも一般化されています。^{[ 47 ]}

主応力の3次元空間において

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では${\displaystyle \pi }$-飛行機

ビゴニ・ピッコルロアズ降伏面

強度基準の策定には、応力角

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

使用できます。

等方性材料挙動の以下の基準

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

適切なパラメータ値を選択すれば、他にもよく知られている、より一般的な基準がいくつか含まれる。

パラメータ${\displaystyle c_{3}}$そして${\displaystyle c_{6}}$表面の形状を記述する${\displaystyle \pi }$-平面。それらは制約を受ける。

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

これは凸性条件から導かれる。第３の制約のより正確な定式化は^{[ 48 ] [ 49 ]で提案されている。}

パラメータ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$そして${\displaystyle \gamma _{2}}$降伏面と静水圧軸（主応力空間の空間対角線）の交点の位置を記述します。これらの交点は静水圧節と呼ばれます。静水圧で破壊しない材料（鋼、真鍮など）の場合、${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$それ以外の場合、静水圧で破壊する材料（硬質発泡体、セラミック、焼結材料など）については、次のようになります。${\displaystyle \gamma _{2}<0}$。

整数乗${\displaystyle l\geq 0}$そして${\displaystyle m\geq 0}$、 ${\displaystyle l+m<6}$子午線の曲率を記述します。子午線は${\displaystyle l=m=0}$直線であり、${\displaystyle l=0}$放物線。

異方性材料の場合、適用される加工プロセス（例えば、圧延）の方向によって機械的特性が変化するため、異方性降伏関数を使用することが不可欠です。1989年以来、フレデリック・バーラットは塑性異方性の構成モデル化のための降伏関数群を開発してきました。その中でも、Yld2000-2D降伏基準は、アルミニウム合金や高強度鋼など、幅広い板金材料に適用されています。Yld2000-2Dモデルは、応力テンソルの2つの線形変換に基づく非二次型の降伏関数です。

${\displaystyle \Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

どこ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$は有効応力です。${\displaystyle X'}$そして${\displaystyle X''}$変換後の行列（線形変換CまたはLによる）は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}}$

ここで、sは偏差応力テンソルである。

X'とX''の主値については、モデルは次のように表現できる。

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

そして：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

どこ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{8}}$BarlatのYld2000-2Dモデルの8つのパラメータは、一連の実験によって特定される。