臨界状態土質力学

臨界状態土質力学は、臨界状態の概念に基づいて飽和した再成形土の機械的挙動を表す概念モデルを網羅する土質力学の領域です。臨界状態では、土壌に作用する力 (応力) と、この応力によって生じる変形 (ひずみ)の関係が一定になります。土壌は変形し続けますが、応力はそれ以上増加しなくなります。

土壌には、基礎工事によって荷重がかかったり、掘削工事によって荷重が解除されたりなど、さまざまな方法で力が加わります。臨界状態の概念は、さまざまな荷重条件下での土壌の挙動を予測するために使用され、地質工学エンジニアは臨界状態モデルを使用して、さまざまな応力下での土壌の挙動を推定します。

基本的な概念は、土やその他の粒状物質が継続的に変形して摩擦流体として流れるようになると、明確に定義された臨界状態になるというものです。実際的には、臨界状態は土壌の破壊状態と考えることができます。これは、流体の挙動と同様に、土壌が継続的な変形を起こさずに追加の荷重に耐えられなくなるポイントです。

土壌の特定の特性、例えば多孔度、せん断強度、体積などは、特性値に達します。これらの特性は、土壌の種類とその初期条件に固有のものです。^[1]

臨界状態の概念は、三軸圧縮試験における飽和した粘土の再成形の観察された挙動を理想化したものであり、不撹乱土に適用されるものと想定されています。これは、土やその他の粒状材料が摩擦流体として流れるまで継続的に変形（せん断）されると、明確に定義された臨界状態になるというものです。臨界状態の開始時には、平均有効応力、偏差応力（またはフォン・ミーゼスの降伏基準による一軸引張での降伏応力、 ）、または比容積にそれ以上の変化がなく、せん断変形が発生します。 ${\displaystyle \ \varepsilon _{s}}$${\displaystyle \p'}$${\displaystyle \q}$${\displaystyle \\sigma_{y}}$${\displaystyle \\nu}$

${\displaystyle \ {\frac {\partial p'}{\partial \varepsilon _{s}}}={\frac {\partial q}{\partial \varepsilon _{s}}}={\frac {\partial \nu }{\partial \varepsilon _{s}}}=0}$

どこ、

${\displaystyle \\nu =1+e}$

${\displaystyle \ p'={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}'+\sigma _{2}'+\sigma _{3}')}$

${\displaystyle \ q={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}'-\sigma _{2}')^{2}+(\sigma _{2}'-\sigma _{3}')^{2}+(\sigma _{1}'-\sigma _{3}')^{2}}{2}}}}$

しかし、三軸条件では、 ${\displaystyle \\sigma_{2}'=\sigma_{3}'}$

${\displaystyle \ p'={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}'+2\sigma _{3}')}$

${\displaystyle \q=(\sigma _{1}'-\sigma _{3}')}$

与えられた土壌のすべての臨界状態は、空間内で次の式によって定義される臨界状態線( CSL )と呼ばれる一意の線を形成します。 ${\displaystyle \ (p',q,v)}$

${\displaystyle \ q=Mp'}$

${\displaystyle \ \nu =\Gamma -\lambda \ln(p')}$

ここで、、、は土壌定数です。最初の式は、土壌を継続的に流動させるために必要な偏差応力の大きさを、摩擦定数（大文字）と平均有効応力の積として求めます。2 番目の式は、流動粒子の単位体積が占める比容積が、平均有効応力の対数が増加するにつれて減少することを述べています。 ${\displaystyle \ M}$${\displaystyle \ \Gamma }$${\displaystyle \ \lambda }$${\displaystyle \ q}$${\displaystyle \ M}$${\displaystyle \ \mu }$${\displaystyle \ p'}$${\displaystyle \ \nu }$

ケンブリッジ大学のケネス・ハリー・ロスコーは、1940年代後半から1950年代前半にかけて、土壌試験技術の向上を目指して、単純せん断装置を開発し、その後の学生たちは砂土と粘土土の両方におけるせん断帯の状態変化の研究を試みた。1958年、単純せん断装置によるケンブリッジ大学のデータと、ロンドン大学インペリアル・カレッジのアレック・スケンプトン教授率いる研究による、同大学での三軸試験のより広範なデータに基づいた土壌の降伏に関する研究により、臨界状態の概念が発表された（ロスコー、スコフィールド、ロス、1958年）。

ロスコーは機械工学の学士号を取得しており^[2]、第二次世界大戦中にナチスの捕虜として捕らえられた際に脱出用のトンネルを作ろうとした経験から土質力学に目覚めた。^[2] この 1958 年の論文に続いて、塑性の概念がスコフィールドによって導入され、教科書に掲載された。^{[1]スコフィールドはケンブリッジで、構造エンジニアの}ジョン・ベイカー教授に教わった。ベイカー教授は、「塑性的に」破壊する構造物を設計することを強く信じていた。ベイカー教授の理論は、スコフィールドの土壌せん断に関する考え方に大きな影響を与えた。ベイカー教授の見解は、戦前の鉄骨構造に関する研究から発展し、さらに、爆風で損傷した構造物の評価や、屋内に設置できる防空壕「モリソン・シェルター」の設計に関する戦時中の経験によってさらに情報を得たものである (Schofield 2006)。

カムクレイという名前は、粘土質土の挙動に典型的な塑性体積変化が、小さく、粗く、摩擦があり、絡み合った硬い粒子の集合体の機械的安定性によるものであることを主張しています。^{[3]オリジナルのカムクレイモデルは、土壌が等方性、弾塑性であり、}連続体として変形し、クリープの影響を受けない という仮定に基づいています。カムクレイモデルの降伏面は、次の式で表されます。

${\displaystyle f(p,q,p_{c})=q+M\,p\,\ln \left[{\frac {p}{p_{c}}}\right]\leq 0}$

ここで、は等価応力、は圧力、は圧密前圧力、は空間 における臨界状態線の傾きです。${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p-q}$

圧密前圧力は、土の 間隙比（ ）（したがって比容積）が変化するにつれて変化する。一般的に使用される関係式は次の通りである。${\displaystyle e}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle e=e_{0}-\lambda \ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]}$

ここで、は土壌の未圧縮指数です。このモデルの制限は、現実的な応力値で比容積が負になる可能性があることです。 ${\displaystyle \lambda }$

上記のモデルを改良したものが、双対数形式である。 ${\displaystyle p_{c}}$

${\displaystyle \ln \left[{\frac {1+e}{1+e_{0}}}\right]=\ln \left[{\frac {v}{v_{0}}}\right]=-{\tilde {\lambda }}\ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]}$

ここで、土壌の適切な圧縮率指数はいくらですか。 ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

ロスコー教授と共に研究したインペリアル・カレッジ・ロンドンのジョン・バーランド教授は、元のモデルの修正版を開発したとされています。カム・クレイと修正カム・クレイ^[4] (MCC) の違いは、MCC の降伏曲面が楕円で表され、そのため平均有効応力の最大値に対する塑性ひずみ増分ベクトル (降伏曲面に垂直) が水平になり、したがって平均有効応力の変化に対して偏差塑性ひずみの増分が発生しないことです (純粋に静水圧の応力状態の場合)。これは数値解析、特に数値安定性の問題が重要な有限要素解析(曲線が微分可能であるためには連続している必要があるため) における構成モデル化に非常に便利です。

修正カム・クレイモデルの降伏面は次のようになる。

${\displaystyle f(p,q,p_{c})=\left[{\frac {q}{M}}\right]^{2}+p\,(p-p_{c})\leq 0}$

ここで、は圧力、は相当応力、は圧密前圧力、は臨界状態線の傾きです。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle M}$

弾塑性アプローチの基本概念は、ダニエル・C・ドラッカーとウィリアム・プラガーという2人の数学者によって、8ページの短い論文で初めて提案されました（ドラッカーとプラガー、1952年）。^[5]ドラッカーとプラガーは、その論文で、平面または丸太螺旋の破壊面を使用して垂直盛土の臨界高さを計算するために彼らのアプローチを使用する方法も示しました。彼らの降伏基準は、今日ではドラッカー-プラガー降伏基準と呼ばれています。彼らのアプローチはその後、ケンブリッジ大学土質力学部門の ケネス・H・ロスコーらによって拡張されました。

臨界状態および弾塑性土質力学は、最初に導入されて以来、批判の対象となってきました。批判の主因は、主に、土壌が等方性の点粒子でできているという暗黙の仮定です。実際の土壌は、観察される挙動を強く左右する異方性特性を持つ有限サイズの粒子で構成されています。その結果、金属ベースの塑性理論に基づくモデルでは、異方性粒子特性の結果である土壌の挙動をモデル化できません。その 1 つの例は、ピーク強度後のせん断強度の低下、つまりひずみ軟化挙動です。このため、弾塑性土質モデルでは、等方性の通常または軽く圧密された「脂肪」粘土、つまり非常に細かい粒子で構成された CL-ML タイプの土などの「単純な応力-ひずみ曲線」しかモデル化できません。

また、一般的に、体積変化は弾性の考慮によって決まりますが、この仮定は実際の土壌ではほとんど当てはまらないため、これらのモデルは体積変化や間隙水圧変化と非常によく一致しません。さらに、弾塑性モデルは要素全体を全体として記述し、破壊面の直接的な条件を具体的に記述しません。その結果、特にピーク後にひずみ軟化を示す土壌の場合、破壊後の応力-ひずみ曲線をモデル化しません。最後に、ほとんどのモデルは静水圧応力とせん断応力の影響を分離し、それぞれが体積変化とせん断変化のみを引き起こすと想定しています。実際には、土壌構造は「トランプの家」に似ており、純粋な圧縮を適用するとせん断変形が見られ、純粋なせん断を適用すると体積が変化します。

さらに、この理論は「記述的」である、つまり、既知の動作のみを記述しており、1 次元圧縮試験における間隙比が垂直有効応力の対数に対して直線的に変化する理由など、標準的な土壌動作を説明または予測する能力が欠けているという批判もあります。この動作は、臨界状態の土質力学では単に既知であると想定されています。

これらの理由から、臨界状態および弾塑性土質力学は学問的であると非難されてきた。その妥当性を実証するテストは通常​​「適合テスト」であり、単純な応力-ひずみ曲線のみが適切にモデル化されていると実証される。臨界状態とそれを取り巻く概念は「学問的」であった長い歴史があり、英国土質力学の「創始者」であるサー・アレック・スケンプトン卿は、CSSM の学問的性質をロスコーに帰し、「…彼は現場での作業はほとんど行わず、実際の工学の仕事に携わったことはなかったと思う」と述べた^[6]。1960 年代から 1970 年代にかけて、インペリアル・カレッジのアラン・ビショップ教授は、これらの理論が実際の土の応力-ひずみ曲線と一致しないことを日常的に実証していた。ジョセフ（2013）は、臨界状態および弾塑性土力学は、科学哲学者イムレ・ラカトシュが提唱した「退化した研究プログラム」の基準を満たしていると示唆している。これは、理論が経験的データと一致しないことを正当化するために言い訳が使われている理論を​​指す。^[7]

臨界状態土質力学は記述的であり、退化した研究プログラムの基準を満たしているという主張は決着がついていない。アンドリュー・ジェニケは、彼の臨界状態理論で圧縮試験を説明するために対数-対数関係を使用し、収束流中の応力の減少と発散流中の応力の増加を認めた。^[8]クリス・ザルウィンスキーは、臨界状態を、固体相と流体相の両方で比容積が同じである多相状態と定義した。^[9]彼の定義によれば、元の理論の線形-対数関係とジェニケの対数-対数関係は、より一般的な物理現象の特殊なケースである。

${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]}$^[10]

平面ひずみ応力状態マトリックスを歪み部分と体積部分に分離: ${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle \sigma _{hydrostatic}=p_{mean}={\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{zz}}{2}}}$

ロード 後${\displaystyle \delta \sigma _{z}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\mathbf {\delta z} \ \\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\frac {-{\delta p}_{w}}{2}}\ &0\\0&\sigma _{z}-{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}&0\\0&{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {\Delta h}{h_{0}}}}$;${\displaystyle \ \varepsilon _{x}=\varepsilon _{y}=0}$

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}(\sigma _{z}-\nu )(\sigma _{x}+\sigma _{z})={\frac {1}{E}}\sigma _{z}(1-2\nu \varepsilon )}$;${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\nu }{1-\nu }};\ \nu ={\frac {\varepsilon }{1+\varepsilon }}}$

マトリックス別:

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}(1-2\nu \varepsilon )\ \left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]\right]}$;

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\delta \sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]=}$

${\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]=}$

${\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&\tau _{xz}\\{\tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)=}$

${\displaystyle =\left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&\delta \tau _{xz}\\{\delta \tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]\right]=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)\left[\rho _{u}+\rho _{w}+p\right]}$

${\displaystyle \rho _{u}=K_{u}\Delta \varepsilon _{z};\ \ \rho _{w}={\frac {K_{w}}{n}}\Delta \varepsilon _{z};\ \ \rho _{=}K_{\Delta }\varepsilon _{z};}$

歪み部分と体積部分への分離マトリックス:

${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]}$${\displaystyle -\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&{\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{-\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{-\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{-\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&{-\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\-\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]}$

排水の場合は容積のみ：

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]}$${\displaystyle -\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+}$

以下のデータは、飽和（B=1）正規圧密単純粘土（Ladd、1964）に対する従来の三軸圧縮試験から得られたものである。セル圧力は10kPaで一定に保たれ、軸方向応力が破壊するまで増加した（軸圧縮試験）。。 [ ^{11] [12]}

初期段階:${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]}$

ステップ 1: ${\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\mathbf {\sigma } =\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&3.5\\0&-1&0\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1-1.9&0&0\\0&10-1.9&3.5\\0&-1\ &10-1.9\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1.9&0&0\\0&1.9&0\\0&0&1.9\\\end{matrix}}\right]}$

ステップ 2 ～ 9 はステップ 1 と同じです。

ステップ7：^[13]${\displaystyle \sigma _{7}=\left[{\begin{matrix}12-4.4\ \ \ &0&0\\0&10-4.4&2.9\\0&-2\ &10-4.4\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}4.4&0&0\\0&4.4&0\\0&0&4.4\\\end{matrix}}\right]}$