モール・クーロン理論

モール・クーロン理論は、コンクリートや瓦礫の山などの脆性材料のせん断応力と垂直応力に対する応答を記述する数学モデルです（降伏面を参照）。古典的な工学材料のほとんどは、少なくともせん断破壊包絡線の一部においてこの規則に従います。一般的に、この理論は圧縮強度が引張強度をはるかに上回る材料に適用されます。^{[ 1 ]}

地盤工学では、さまざまな有効応力における土壌や岩石のせん断強度を定義するために使用されます 。

構造工学では、コンクリートや類似材料の変位破壊における 破壊荷重と破壊角を決定するために用いられます。クーロンの摩擦仮説は、材料の破壊を引き起こすせん断応力と垂直応力の組み合わせを決定するために用いられます。モール円は、どの主応力がこのせん断応力と垂直応力の組み合わせを生み出すか、そしてそれが起こる平面の角度を決定するために用いられます。正規性の原理によれば、破壊時に生じる応力は、破壊状態を表す線に垂直になります。

クーロンの摩擦仮説に従って破壊する材料は、破壊時に生じる変位が破壊線に対して摩擦角に等しい角度をなすことが示される。これにより、変位と外部荷重によって生じる 外部機械的仕事と、破壊線におけるひずみと応力によって生じる内部機械的仕事を比較することで、材料の強度を決定できる。エネルギー保存の法則により、これらの合計はゼロでなければならず、これにより構造物の破壊荷重を計算することが可能となる。

このモデルの一般的な改良は、クーロンの摩擦仮説とランキンの主応力仮説を組み合わせて分離破壊を記述することです。^{[ 2 ]}別の見解では、モール・クーロン基準は伸張破壊として導出されます。^{[ 3 ]}

モール・クーロン理論は、シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンとクリスティアン・オットー・モールにちなんで名付けられました。クーロンの貢献は、1776年に発表された「建築における静的問題への最大化と最小化の規則の適用に関する試論」という論文です。^{[ 2 ] [ 4 ]} モールは19世紀末頃にこの理論の一般化された形式を開発しました。^{[ 5 ]} 一般化された形式は基準の解釈に影響を与えましたが、その内容には影響を与えなかったため、一部の文献ではこの基準を単に「クーロン基準'。^{[ 6 ]}

モール・クーロン^{[ 7 ]}破壊基準は、材料のせん断強度と印加された垂直応力の関係を示すグラフから得られる線形包絡線を表します。この関係は次のように表されます。

${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$

どこ$\displaystyle \tau }$せん断強度とは、${\displaystyle \sigma }$通常のストレスは、${\displaystyle c}$は、故障包絡線と$\displaystyle \tau }$軸、そして${\displaystyle \tan(\phi )}$は、破壊包絡線の傾きです。${\displaystyle c}$凝集力と角度と呼ばれることが多い${\displaystyle \phi }$は内部摩擦角と呼ばれます。以下の議論では圧縮を正と仮定します。圧縮を負と仮定すると、${\displaystyle \sigma }$に置き換える必要があります${\displaystyle -\sigma }$。

もし${\displaystyle \phi =0}$の場合、モール・クーロンの基準はトレスカの基準に帰着する。一方、${\displaystyle \phi =90^{\circ }}$モール・クーロンモデルはランキンモデルと同等である。${\displaystyle \phi }$許可されていません。

モール円から、 $${\displaystyle \sigma =\sigma _{m}-\tau _{m}\sin \phi ~;~~\tau =\tau _{m}\cos \phi }$$ どこ $${\displaystyle \tau _{m}={\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}~;~~\sigma _{m}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}}$$ そして$\displaystyle \sigma _{1}}$は最大主応力であり、$\displaystyle \sigma _{3}}$これは最小主応力です。

したがって、モール・クーロン基準は次のように表すこともできる。 $${\displaystyle \tau _{m}=\sigma _{m}\sin \phi +c\cos \phi ~.}$$

この形式のモール・クーロン基準は、$\displaystyle \sigma _{2}}$方向。

モール・クーロン破壊（降伏）面は、しばしばハイグ・ウェスターガード座標で表されます。例えば、関数 $${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$$ 次のように表現できます

${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)+\sin \phi \cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi .}$

あるいは、不変量の観点から${\displaystyle p,q,r}$私たちは書くことができます

${\displaystyle \left[{\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~\cos \phi }}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)+{\cfrac {1}{3}}\tan \phi ~\cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]q-p~\tan \phi =c}$

どこ$${\displaystyle \theta ={\cfrac {1}{3}}\arccos \left[\left({\cfrac {r}{q}}\right)^{3}\right]~.}$$

モール・クーロン降伏面は、地盤材料（およびその他の凝集摩擦材料）の塑性流動をモデル化するためによく用いられます。しかし、このような材料の多くは、モール・クーロンモデルでは考慮されていない三軸応力状態下で膨張挙動を示します。また、降伏面には角があるため、塑性流動理論において塑性流動の方向を決定する際に、元のモール・クーロンモデルを用いるのは不便な場合があります。

一般的なアプローチは、滑らかな非関連塑性流動ポテンシャルを使用することです。そのようなポテンシャルの例としては、関数が挙げられます。$${\displaystyle g:={\sqrt {(\alpha c_{\mathrm {y} }\tan \psi )^{2}+G^{2}(\phi ,\theta )~q^{2}}}-p\tan \phi }$$

どこ${\displaystyle \alpha }$はパラメータです。${\displaystyle c_{\mathrm {y} }}$の値は${\displaystyle c}$塑性ひずみがゼロのとき（初期凝集降伏応力とも呼ばれる）、${\displaystyle \psi }$は、高値におけるレンデュリック平面内の降伏面がなす角度です。${\displaystyle p}$（この角度は拡大角とも呼ばれる）${\displaystyle G(\phi ,\theta )}$これは、偏差応力平面においても滑らかな適切な関数である。

岩石および一般的な土壌の凝集力（または凝集強度）と摩擦角の値は、以下の表に示されています。

• 3次元弾性
• ホーク・ブラウンの失敗基準
• バイアリーの法則
• 側方土圧
• フォンミーゼス応力
• 歩留まり（工学）
• ドラッカー・プラガーの収率基準― M-C収率基準の滑らかなバージョン
• 鉱脈の座標
• ビゴニ・ピッコルロアズ収率基準