∞オペラッド​

数学において、A∞オペラドは_、代数トポロジーやホモトピー理論で用いられるオペラドの一種で、結合法則が緩められた代数構造を記述するために使われる。数の乗算のような単純な結合演算では、演算の順序は関係ない。${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$_A∞オペラドによって支配される代数構造とは、この等式が厳密なものではなく、両辺がホモトピー（連続的な経路または変換）によって結び付けられている構造のことである。オペラド自体は、これらの経路と、あらゆる可能な再編成方法が互いに互換性があることを保証する高レベルの経路のための形式的な構造を提供する。

より厳密に言えば、A∞_{オペラドとは、}ホモトピー的に結合的な乗法写像のパラメータ空間のことである。「A」は「結合的」を意味し、無限大記号「∞」は、結合性が無限階層の高次ホモトピーまで成り立つことを示している。この概念はループ空間の研究において基礎となるものであり、シンプレクティック幾何学（深谷圏を通して）などの分野における重要なツールである。（ホモトピー的に結合的かつ可換的な乗法を記述するオペラドは、_E∞オペラドと呼ばれる。）

位相空間に対する対称群の作用を持つオペラドの（通常の）設定では、オペラドAは、その空間A ( n )がすべて、乗法作用を持つ離散空間 Σ _n (対称群) ( n ∈ N ) と Σ _n -同変ホモトピー同値である場合にA _{∞ -}オペラドであると言われます。非 Σ オペラド (非対称オペラド、置換のないオペラドとも呼ばれる) の設定では、オペラドAは、その空間A ( n )がすべて縮約可能である場合にA _∞です。位相空間以外の圏では、ホモトピーと縮約性の概念は、鎖複体の圏におけるホモロジー同値などの適切な類似概念に置き換える必要があります。

用語中の文字Aは「結合的」を表し、無限大記号は「すべての」高次ホモトピーまで結合性が要求されることを示しています。より一般的には、特定のレベルのホモトピーまでのみ結合的である乗法をパラメータ化するA _n -オペラド( n  ∈ N ) というより弱い概念があります。特に、 

• 1-空間は、_ポインテッドスペースです。
• 2空間は_結合条件のないH空間であり、
• 3_次元空間はホモトピー結合的なH空間である。

空間Xが他の空間BXのループ空間であるのは、 X が別の空間上の代数である場合に限る。${\displaystyle A_{\infty }}$-オペラドと、その連結成分のモノイドπ ₀ ( X ) は群である。${\displaystyle A_{\infty }}$-オペラドは${\displaystyle \mathbf {A} _{\infty }}$-空間。ループ空間のこの特徴付けには3つの結果があります。まず、ループ空間は${\displaystyle A_{\infty }}$空間。第二に、接続された${\displaystyle A_{\infty }}$-空間Xはループ空間です。第三に、おそらく切断された群のグループ完成は${\displaystyle A_{\infty }}$-空間はループ空間です。

重要性${\displaystyle A_{\infty }}$ホモトピー理論におけるオペラドは、代数間のこの関係から生じる。${\displaystyle A_{\infty }}$オペラッドとループ空間。

代数${\displaystyle A_{\infty }}$-オペラドは${\displaystyle A_{\infty }}$-代数。例として、定義可能な場合のシンプレクティック多様体の福谷圏が挙げられます（擬正則曲線も参照）。

最も明白な例だが、特に役に立つわけではないが、${\displaystyle A_{\infty }}$-オペラドは、によって与えられる結合オペラドである。${\displaystyle a(n)=\Sigma _{n}}$このオペラッドは、厳密に結合法則を満たす乗算を表します。定義により、他のすべての乗算は、${\displaystyle A_{\infty }}$-operad は、ホモトピー同値であるaへの写像を持っています。

A _∞オペラドの幾何学的例は、スタシェフ多面体またはアソシアヘドラによって与えられます。

組み合わせ論的ではない例としては、小さな区間のオペラドがあります。空間${\displaystyle A(n)}$は、 n個の互いに素な区間を単位区間に埋め込むすべての例から構成される。

• ホモトピー結合代数
• オペラ
• E-無限オペラド
• ループスペース

• スタシェフ、ジム（2004年6月～7月）。「オペラドとは何か？」（PDF）。アメリカ数学会報。51 （6）：630～ 631。2008年1月17日取得。
• J. Peter May (1972). 『反復ループ空間の幾何学』 Springer-Verlag. 2015年7月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2008年2月19日閲覧。
• Martin Markl; Steve Shnider ; Jim Stasheff (2002).代数学、トポロジー、物理学におけるオペラッド。アメリカ数学会。
• スタシェフ、ジェームズ( 1963)「H空間のホモトピー結合性。I 、II」アメリカ数学会紀要108 ( 2 ): 275–292、293–312。doi : 10.2307/ 1993608。JSTOR 1993608。