対数的に凹関数

凸解析において、非負関数f : R ⁿ → R _{+ は}、その定義域が凸集合であり、かつ不等式を満たす場合に、対数凹関数（または略して対数凹関数）と呼ばれる。

${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}$

すべてのx、y ∈ dom fおよび0  < θ < 1   に対して。fが厳密に正である場合、これは関数の対数log ∘ fが凹関数である、つまり、

${\displaystyle \log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)}$

すべてのx、y ∈ dom fおよび0  < θ < 1   に対して。

対数凹関数の例としては、凸集合の 0-1指示関数(より柔軟な定義が必要) やガウス関数などがあります。

同様に、関数が逆不等式を満たす場合、その関数は対数凸である。

${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}$

すべてのx、y ∈ dom fおよび0  < θ < 1   に対して。

非負の離散関数f : Z → R ₊の場合、対数凹関数である^{[ 1 ]}のは、

${\displaystyle f(k)^{2}\geq f(k+1)f(k-1)}$

• 対数凹関数は準凹関数でもある。これは、対数が単調であることから、この関数のスーパーレベル集合が凸であるという事実から導かれる。 ^{[ 2 ]}
• 定義域で非負である凹関数はすべて対数凹関数です。しかし、その逆は必ずしも成り立ちません。例として、ガウス関数f ( x )  = exp( − x ² /2)があります。これは、 log f ( x ) = − x ² /2がxの凹関数であるため、対数凹関数です。しかし、| x | > 1 のとき、2 階微分が正であるため、 fは凹関数ではありません。     

${\displaystyle f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0}$

• 上記の2点から、凹面${\displaystyle \Rightarrow }$対数凹面${\displaystyle \Rightarrow }$準凹面。
• 凸領域を持つ2回微分可能な非負関数は、f ( x ) > 0を満たすすべてのxに対して、  

${\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}$[ ^{2 ]​}

つまり

${\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}$は

負の半正定値。1変数関数の場合、この条件は次のように簡略化されます。

${\displaystyle f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}}$

• 積：対数凹関数の積もまた対数凹関数です。実際、fとgが対数凹関数であれば、定義によりlog f とlog gは凹関数になります。したがって 

${\displaystyle \log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))}$

f gは凹関数であり、したがってf g も対数凹関数である。

• 周辺関数: f ( x , y ) : R ^{n + m} → Rが対数凹関数である場合、   

${\displaystyle g(x)=\int f(x,y)dy}$

対数凹関数である（プレコパ・ラインドラーの不等式を参照）。

• これは、畳み込みが対数凹性を保持することを意味する。なぜなら、 fとgが対数凹であればh ( x , y )  = f ( x − y ) g ( y )は対数凹であり、したがって  

${\displaystyle (f*g)(x)=\int f(xy)g(y)dy=\int h(x,y)dy}$

対数凹関数である。

対数凹分布は、適応型棄却サンプリングなど、多くのアルゴリズムに必要です。対数凹密度を持つすべての分布は、指定された平均μと偏差リスク尺度Dを持つ最大エントロピー確率分布です。^{[ 3 ]} 実際、多くの一般的な確率分布は対数凹です。いくつかの例：^{[ 4 ]}

• 正規分布と多変量正規分布、
• 指数分布、
• 任意の凸集合上の均一分布、
• 二項分布、
• ロジスティック分布、
• 極値分布、
• ラプラス分布、
• カイ分布、
• 双曲線正割分布、
• ウィシャート分布、n ≥ p + 1 の場合、^{[ 5 ]}
• ディリクレ分布では、すべてのパラメータが 1 以上の場合、^{[ 5 ]}
• 形状パラメータが ≥ 1 の場合、ガンマ分布
• 自由度が 2 以上の場合のカイ二乗分布、
• 両方の形状パラメータが 1 以上の場合のベータ分布、
• 形状パラメータが 1 以上の場合、ワイブル分布になります。

すべてのパラメータ制約には、同じ基本的な根拠があることに注意してください。関数が対数凹関数であるためには、非負の量の指数が非負でなければなりません。

以下の分布は、すべてのパラメータについて非対数凹型である。

• スチューデントのt分布、
• コーシー分布、
• パレート分布、
• 対数正規分布、そして
• F分布。

すべての対数凹分布の累積分布関数（CDF）も対数凹であることに注意してください。ただし、対数凹ではない分布の中にも、対数凹のCDFを持つものがあります。

• 対数正規分布、
• パレート分布、
• 形状パラメータが 1 未満のワイブル分布、
• 形状パラメータが 1 未満の場合のガンマ分布。

対数凹分布の特性には、以下のようなものがある。

• 密度関数が対数凹関数であれば、その累積分布関数（CDF）も対数凹関数となる。
• 多変量密度が対数凹関数であれば、任意の変数サブセットにおける周辺密度も対数凹関数となる。
• 2つの独立な対数凹型確率変数の和は対数凹型である。これは、2つの対数凹型関数の畳み込みが対数凹型であるという事実から導かれる。
• 2つの対数凹関数の積は対数凹関数になります。これは、 2つの確率密度関数（例えば、形状パラメータが常に1以上である正規ガンマ分布）を乗算して形成される同時密度関数が対数凹関数になることを意味します。この性質は、 BUGSやJAGSなどの汎用ギブスサンプリングプログラムで広く利用されており、他の分布の積から導出されるさまざまな条件付き分布に対して適応型棄却サンプリングを行うことができます。
• 密度関数が対数凹関数であれば、その生存関数も対数凹関数となる。^{[ 4 ]}
• 密度が対数凹である場合、単調ハザード率(MHR) を持ち、生存関数の対数の導関数が負のハザード率であるため、正規分布であり、凹性により単調である。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}}$これは凹関数の導関数であるため、減少関数である。

• 対数的に凹な数列
• 対数的に凹な尺度
• 対数凸関数
• 凸関数

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• Pečarić, Josip E.; Proschan, Frank ; Tong, YL (1992).凸関数、部分順序、および統計的応用. 科学と工学における数学. 第 187巻. ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press, Inc. pp.  xiv+467 pp. ISBN 0-12-549250-2MR 1162312 .​