対数的に凹状の尺度

数学において、n次元ユークリッド空間上のボレル測度 μは、の任意のコンパクト部分集合AとBおよび0 <  λ < 1に対して 、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda },}$

ここで、λ  A  + (1 −  λ )  B は、 λ Aと (1 −  λ )  Bのミンコフスキー和を表します。^[1] 

ブルン・ミンコフスキー不等式は、ルベーグ測度が対数凹であることを主張します。ルベーグ測度の任意の凸集合への制限も対数凹です。

ボレルの定理^[2]によれば、 R^d上の確率測度が対数凹となるのは、それがあるアフィン超平面上のルベーグ測度に関する密度を持ち、この密度が対数凹関数である場合に限ります。したがって、任意のガウス測度は対数凹です。

プレコパ・ラインドラー不等式は、対数凹測度の 畳み込みが対数凹であることを示しています。

• 凸測度、この概念の一般化
• 対数凹関数