連結原理

連結原理はオークション理論の発見です。オークションハウスには、各ロットに関するすべての入手可能な情報（良いか悪いかを問わず）を事前に公開するインセンティブがあると述べています。連結原理は、オークション主催者が美術品の専門家を雇って各ロットを検査し、その価値の正確な見積もりを出すことを事前に約束するという伝統とともに、 美術品市場で見られます。

連結原理の発見は、掘削権（およびカナダの伐採権など他の天然資源）を競売にかける過程で各国の最適な戦略を決定する上で非常に役立ちました。売り手国が、評価によって土地の価値が下がる可能性が高く、既存の評価額が確定または上昇することはないと考えている場合でも、問題の土地の独立した評価は、現在ではほとんどの競売の標準的な特徴となっています。

情報を開示しないと、落札者は自ら発見コストを負担することになり、情報取得にかかる費用のために最高入札額が下がります。独立した評価が得られない場合、入札者は下振れリスクの可能性を考慮した入札を行うことになります。どちらのシナリオも、売り手の予想収益を下げることが示されています。落札者のこれらの発見コストを下げ、代わりにすべての入札者に情報を無料で提供することで、予想販売価格が上がります。

FCC の 周波数オークションについて、エヴァン・クウェレルは次のように述べている。「最終的に FCC は、入札者により多くの情報を提供することで効率性が向上し、ポール・ミルグロムとロバート・J・ウェーバーが示したように、^[1]勝者の呪いが緩和されると信じていたため、入札額の引き上げ方式を選択したのです。(クウェレル、2004、p.xvii) ^[2]

クウェレルが示唆した結果はリンク原理として知られ、ミルグロムとウェーバー（1982）によって開発されました。ミルグロム（2004）^[3]はリンク原理を「宣伝効果」として再定義しました。これは、FCCによる入札額の上昇と密封入札オークションの間の主要な設計選択を推進する直感の理論的基礎を提供しました。

ペリーとレニーによれば: ^[4]

連動原理は、オークション理論がもたらす基本的な教訓の 1 つと見なされるようになりました。連動原理がオークション設計の指針として、単一ユニット オークション以外の状況でも重要かつ一般的に受け入れられていることは、FCC が最近実施したオープン オークション コンポーネントを含むスペクトル オークションの設計によって強調されています。入札者間の共謀(最終的には発生しました。The Economist、1997 年 5 月 17 日、p. 86) はオープン オークション内で維持されやすいことに専門家は同意しましたが、最終的には連動原理への信頼がこの懸念を上回り、オープン オークション形式が採用されました。実際、McMillan (1994) によると、専門家は「[共謀のマイナス効果] は、入札者がオープン オークションで他の入札から学ぶ能力によって上回られると判断しました」。

連結原理は、公開オークションは一般に密封入札オークションよりも高い予想価格につながることを示唆している。ミルグロムとウェーバー（1982、p.1095）は次のように述べている。

「この不平等の1つの説明は、入札者が自分の評価に確信が持てない場合、入札者は[入札額上昇]オークションの過程で競争相手の入札行動を精査することで有用な情報を得ることができるということです。その追加情報により勝者の呪いが弱まり、[入札額上昇]オークションでの入札がより積極的になり、予想価格が高くなります。」

また、リンク原理は、競売人が、販売される物品に関して持っているすべての情報を常に完全に開示することによって、予想価格を最大化することを意味します。ミルグロムとウェーバー (1982、p. 1096) の言葉を借りれば、「誠実さは最良の策である」ということです。

リンク原理を説明するために、Krishna の発表^[5]に従う。Krishna は、リンク原理は「最初に Milgrom と Weber (1982) によって提示され、使用された」と述べている (Krishna、2002、p. 111)。まず、リンク原理を説明するために必要な概念と表記法を定義する。標準的なオークション形式を、最高入札者が落札する形式と定義する。各入札者、i ∈ {1, ..., N } が、オブジェクトの価値に関する信号X _iを受信すると仮定する。各入札者への評価は、各入札者自身の観測信号と、他の入札者の観測されていない信号に対称的に依存すると仮定する (そのため、他の入札者の信号は、特定の入札者の価値に影響を与えることなく交換できる)。より具体的には、すべての信号X _{i が}区間[0, ω ]から抽出され、すべてのiに対して入札者iの値を次のように表すことができると仮定します。ここで関数uは最後のN − 1個の成分で対称です。 ${\displaystyle v_{i}(\mathbf {X} )=u(X_{i},\mathbf {X} _{-i}),}$

ここで、入札者 1 に関して他のランダム変数とマッピングを定義しますが、対称性を仮定しているため、これらはすべての入札者に対して同じです。の中から最大、2 番目に大きいなどランダム変数を 定義します。をの条件付き分布、つまり と表し、 を関連する密度とします。 ${\displaystyle Y_{1},\cdots ,Y_{N-1}}$${\displaystyle X_{2},\cdots ,X_{N}}$${\displaystyle G(\cdot \mid x)}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle X_{1}=x}$${\displaystyle G(z\mid x)\equiv \Pr \left(Y_{1}<z\mid X_{1}=x\right)}$${\displaystyle g(\cdot \mid x)}$

${\displaystyle v(x,y)=E\left[V_{1}\mid X_{1}=x,Y_{1}=y\right]}$

入札者が受け取るシグナルがxであり、他の入札者の中で最も高いシグナルY ₁がyである場合の入札者への値の期待値とします。vは yについて非減少、xについて厳密に増加し、v (0, 0) = 0であると仮定します。

各標準オークション形式Aについて、オークションには対称的で増加する均衡β ^Aがあるとします。これは、入札者の観測信号から入札額へのマッピングです。入札者が信号xを受け取ったが、自分の信号がzであるかのように入札した場合、つまりβ ^A ( z )で入札した場合、入札者が落札した場合に予想される支払額を で表します。W ^Aの最初の引数に関する導関数と、 ( x , z )で評価された 2 番目の引数に関する導関数を で表します。 ${\displaystyle W^{A}(z,x)}$${\displaystyle W_{1}^{A}(x,z)}$${\displaystyle W_{2}^{A}(x,z)}$

具体的な例として、 Iとラベル付けされた第一価格密封入札オークションでは、最高入札者が落札し、入札額を支払うため、次の式が成り立ち、 IIとラベル付けされた第二価格オークションでは、最高入札者が落札し、二番目に高い入札額を支払うため、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle W^{I}(z,x)=\beta ^{I}(z),}$

${\displaystyle W^{II}(z,x)=E\left[\beta ^{II}(Y_{1})\mid X_{1}=x,Y_{1}<z\right].}$

ここで我々は次のように述べることができます。

連結原理。（クリシュナ、2002、命題7.1）AとBを2つの標準的なオークションとし、それぞれが対称かつ増加する均衡を持ち、

(i) すべてのxに対して、${\displaystyle W_{2}^{A}(x,x)\geq W_{2}^{B}(x,x);}$

(ii) W ^A (0,0) = 0 = W ^B (0,0)。

そうすると、 Aの予想収益はBの予想収益と少なくとも同じ大きさになります。

証明：シグナルxを持つ入札者がβ ^A ( z )で入札した場合の期待利得は

${\displaystyle \int _{-\infty }^{z}v(x,y)g(y\mid x)dy-G(z\mid x)W^{A}(z,x)}$。

平衡状態では、 z = xを選択するのが最適であり、その結果得られる第一階の条件は、

${\displaystyle v(x,x)g(x\mid x)-g(x\mid x)W^{A}(x,x)+G(x\mid x)W_{1}^{A}(x,x)=0,}$

これを書き直すと

${\displaystyle W_{1}^{A}(x,x)={\frac {g(x\mid x)}{G(x\mid x)}}v(x,x)-{\frac {g(x\mid x)}{G(x\mid x)}}W^{A}(x,x).}$

貸し出し

${\displaystyle \Delta (x)=W^{A}(x,x)-W^{B}(x,x),}$

我々は結論づける

${\displaystyle \Delta ^{\prime }(x)=-{\frac {g(x\mid x)}{G(x\mid x)}}\Delta (x)+\left(W_{2}^{A}(x,x)-W_{2}^{B}(x,x)\right)}$。

仮定(i)によれば、第 2 項は正であり、仮定 (ii) はΔ(0) = 0 を意味するので、Δ( x )とΔ′( x )は異なる符号を持つことはできず、すべてのxに対してΔ( x ) ≥ 0となる。QED

この命題を使用して、たとえば、セカンドプライスオークションとファーストプライスオークションを順位付けするには、入札者のシグナルが提携していると仮定する必要があります(Milgrom と Weber、1982、提携に関する付録、pp. 1118–1121 を参照)。これは、が減少しており、であることを意味します。 に注意してください。したがって、提携の仮定の下では、です。さらに、W ^II (0,0) = 0 = W ^I (0,0)であるため、リンク原理により、セカンドプライスオークションからの予想収益は、ファーストプライスオークションからの予想収益と少なくとも同じくらい大きいことが示されます。 ${\displaystyle G(z\mid \cdot )}$${\displaystyle W_{2}^{II}(x,x)\geq 0}$${\displaystyle W_{2}^{I}(x,x)=0}$${\displaystyle W_{2}^{II}(x,x)\geq W_{2}^{I}(x,x)}$

この命題を使って、公開情報が利用可能になると期待収益が大きくなることを示すために、ファーストプライスオークションを考えてみましょう。売り手が利用できる情報を表すランダム変数Sと、両方の変数が増加する対称均衡戦略を仮定します。 ${\displaystyle {\widehat {\beta }}(S,X_{1})}$

${\displaystyle {\widehat {W}}^{I}(z,x)=E\left[{\widehat {\beta }}(S,z){\big |}X_{1}=x\right]}$

シグナルxを受け取ったが、シグナルzであるかのように入札した場合の落札者の予想支払額とする。SとX ₁が提携関係にあると仮定すると、

${\displaystyle {\widehat {W}}_{2}^{I}(z,x)\geq 0,}$

それから

${\displaystyle {\widehat {W}}_{2}^{I}(x,x)\geq W_{2}^{I}(x,x)}$

そして、リンク原理は、情報が開示された場合の期待収益が、開示されていない場合と少なくとも同程度であることを意味します。

入札額上昇オークションの予想収益が第 2 価格オークションよりも大きいことを確認するには、入札額上昇オークションでは、他の入札者がアクティブでなくなる観測ポイントが、X ₁にも関連する追加のシグナルを提供し、そのため情報開示によって予想収益が増加するというロジックが適用されることに注意してください。

より複雑なオークション環境ではリンク原理が必ずしも成立しないことが示されているが（マルチユニットオークションにおけるリンク原理の失敗についてはPerryとReny（1999）を参照）、Loertscher、Marx、Wilkening（2013）^[6]が主張しているように、リンク原理によって提供される、クローズドオークション形式に対するオープンオークション形式の潜在的な利点、および一般的な情報開示の利点に関する直感は、今後ずっと実際のオークション設計に影響を与え続ける可能性が高い。