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リー理論の数学において、リーの第3定理は、すべての有限次元リー代数が実数全体はリー群に関連付けられているこの定理は、リー群とリー代数の対応関係の一部である。
歴史的に見ると、第3定理は、それとは異なるものの関連性のある結果を指していました。ソフス・リーの先行する2つの定理は、現代の言葉で言い換えると、滑らかな多様体上の群作用の微小変換に関するものです。リストの3番目の定理は、局所リー群の微小変換に関するヤコビ恒等式を述べていました。逆に、ベクトル場のリー代数が存在する場合、積分によって局所リー群作用が得られます。現在第3定理として知られるこの結果は、元の定理に対する本質的かつ大域的な逆定理を提供します。
単連結実リー群の圏と有限次元実リー代数の圏との同値性は、（20世紀後半の文献では）エリー・カルタンによって証明されたことから、通常カルタンの定理、あるいはカルタン＝リーの定理と呼ばれている。ソフス・リーは、その以前に、マウラー＝カルタン方程式の局所可解性、すなわち有限次元リー代数の圏と局所リー群の圏との同値性という、無限小版を証明していた。
リーは自身の研究成果を3つの直接定理と3つの逆定理として列挙した。カルタンの定理の無限小版は、本質的にはリーの3番目の逆定理であった。影響力のある著書[ 1 ]の中で、ジャン＝ピエール・セールはこれをリーの3番目の定理と呼んだ。この名称は歴史的にはやや誤解を招く可能性があるが、一般化に関連してよく用いられる。
セールは著書の中で2つの証明を示した。1つはアドの定理に基づくもので、もう1つはエリー・カルタンによる証明を再構成したものである。
リーの第三定理にはいくつかの証明があり、それぞれ異なる代数的および／または幾何学的手法を用いている。
古典的な証明は単純明快だが、証明が代数的で非常に非自明なアドの定理に依存している。 [ 2 ]アドの定理は、任意の有限次元リー代数は行列で表現できると述べている。その結果、このような行列の代数を行列指数関数で積分すると、元のリー代数を積分するリー群が得られる。
より幾何学的な証明はエリー・カルタンによるもので、ウィレム・ファン・エストによって発表された。[ 3 ]この証明は中心の次元に関する帰納法を用い、シュヴァレー・アイレンベルク複体を含む。[ 4 ]
2000年にDuistermaatとKolkによって別の幾何学的証明が発見された。[ 5 ]これまでの証明とは異なり、これは構成的証明である。積分リー群は、リー代数上のパスの（無限次元）バナッハ・リー群を適切な部分群で割った商として構築される。この証明はリー理論に影響を与えた[ 6 ]。なぜなら、リー群状体とリー代数状体に対するリー第3定理の一般化への道を開いたからである。[ 7 ]
