カピッツァの振り子

カピッツァ振り子、またはカピッツァ振り子は、支点が垂直方向（上下）に振動する剛体振り子です。ロシアのノーベル賞受賞物理学者ピョートル・カピッツァにちなんで名付けられました。彼は1951年に、その特異な性質のいくつかをうまく説明する理論を開発しました。^{[ 1 ]}カピッツァ振り子のユニークな特徴は、振動するサスペンションによって、振り子が逆さまの位置で安定してバランスを取ることができ、振り子のおもりがサスペンションポイントの上にあることです。サスペンションが固定された通常の振り子では、安定平衡位置はおもりがサスペンションポイントの下にぶら下がっている位置のみです。逆さまの位置は不安定平衡点であり、わずかな摂動でも振り子は平衡から外れます。非線形制御理論では、カピッツァ振り子は「動的安定化」の概念を示すパラメトリック発振器の例として使用されます。

振り子は1908年にアンドリュー・スティーブンソンによって初めて記述され、駆動周波数が速い場合、振り子の垂直上端が安定する可能性があることが発見されました。^{[ 2 ]}しかし、1950年代まで、この非常に珍しく直感に反する現象の説明はありませんでした。ピョートル・カピッツァは1951年に初めてこれを分析しました。^{[ 1 ]}彼は数多くの実験的研究を行い、運動を「速い」変数と「遅い」変数に分割し、有効ポテンシャルを導入することによって、安定性の理由に関する分析的洞察を提供しました。この革新的な研究は、物理学に振動力学という新しい分野を生み出しました。カピッツァの方法は、原子物理学、プラズマ物理学、サイバネティクス物理学における周期過程の記述に使用されています。運動の「遅い」成分を記述する有効ポテンシャルは、ランダウの理論物理学講義の「力学」巻（§30）で説明されています。^{[ 3 ]}

カピッツァ振り子システムのもう1つの興味深い特徴は、振り子が支点より下に垂れ下がっている最下点の平衡位置がもはや安定していないことです。垂直からのわずかなずれでも、時間の経過とともに振幅が増加します。^{[ 4 ]}この位置ではパラメトリック共鳴も発生する可能性があり、ポアンカレ断面にストレンジアトラクターが存在する場合、システムでカオス状態が実現される可能性があります。^{[ 5 ]}

縦軸を次のように表す${\displaystyle y}$そして水平軸は${\displaystyle x}$振り子の動きは（${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$）平面。以下の表記法を使用します。

• ${\displaystyle g}$— 自由落下加速度、
• ${\displaystyle l}$— 剛体で軽い振り子の長さ、
• ${\displaystyle m}$— (理想化された、数学的な)振り子の質量、
• ${\displaystyle \nu }$—サスペンションの垂直振動の周波数、
• ${\displaystyle a}$— サスペンションの振動の振幅、
• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/l}}}$— 数学的振り子の固有振動数。

振り子と下向き方向との間の角度を次のように表す。${\displaystyle \varphi }$振り子の位置の時間依存性は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{cases}x&=l\sin \varphi \\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t\end{cases}}}$

振り子の位置エネルギーは重力によるものであり、垂直位置に関して次のように定義される。

${\displaystyle E_{\mathrm {POT} }=mgy=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).\,}$

運動エネルギーには、標準項に加えて、${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }=ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}/2}$数学振り子の速度については、サスペンションの振動による寄与と交差項がある。

${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t)\sin(\varphi )~{\dot {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t)\;.}$

全エネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギーの合計によって与えられる。${\displaystyle E=E_{\mathrm {KIN} }+E_{\mathrm {POT} }}$そして、それらの差によってラグランジアンは${\displaystyle L=E_{\mathrm {KIN} }-E_{\mathrm {POT} }}$。

数学的な振り子では全エネルギーが保存されるため、時間${\displaystyle t}$電位の依存性${\displaystyle E_{\mathrm {POT} }}$運動学的${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }}$エネルギーは水平線に対して対称です。ビリアル定理によれば、調和振動子の平均運動エネルギーと平均位置エネルギーは等しくなります。これは、対称軸が全エネルギーの半分に相当することを意味します。

振動するサスペンションの場合、システムはもはや閉じておらず、全エネルギーは保存されません。運動エネルギーは位置エネルギーに比べて振動に対してより敏感です。位置エネルギーは上下から拘束されます。${\displaystyle -mg(l+a)\leq E_{\mathrm {POT} }\leq mg(l+a)}$運動エネルギーは下からのみ制限される${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }\geq 0}$高周波振動の場合${\displaystyle \nu }$運動エネルギーは位置エネルギーに比べて大きくなる可能性がある。

振り子の運動はオイラー・ラグランジュ方程式を満たす。位相の依存性${\displaystyle \varphi }$振り子の位置は、次の式を満たす。^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }},}$

ラグランジアン${\displaystyle L}$読む

${\displaystyle L={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+ml(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t)\cos \varphi ,}$

関係のない全時間微分項まで。微分方程式

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {\sin \varphi }{l}},}$

振り子の動きを記述するこの式は、${\displaystyle \sin \varphi }$要素。

カピッツァの振り子モデルは単純振り子よりも一般的である。カピッツァモデルは極限において単純振り子に帰着する。${\displaystyle a=0}$その極限においては、振り子の先端は円を描く。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=l^{2}={\text{定数}}}$初期瞬間のエネルギーがポテンシャルエネルギーの最大値よりも大きい場合${\displaystyle E>mgl}$すると軌道は閉じて周期的になります。初期エネルギーが小さい場合${\displaystyle E<mgl}$すると振り子は唯一の安定点付近で振動する。${\displaystyle (x,y)=(0,-l)}$。

サスペンションが小さな振幅で振動しているとき${\displaystyle a\ll l}$そして頻度${\displaystyle \nu \gg \omega _{0}}$適切な周波数よりもはるかに高い$\displaystyle \omega _{0}}$角度${\displaystyle \varphi }$重ね合わせとして見ることができる${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\xi }$「遅い」成分の$\displaystyle \varphi _{0}}$そして急速な振動${\displaystyle \xi }$サスペンションの小さくても高速な振動により振幅は小さい。技術的には、「結合定数」に関して摂動展開を行う。${\displaystyle (a/l),(\omega _{0}/\nu )\ll 1}$比率を扱う際に${\displaystyle (a/l)(\nu /\omega _{0})}$固定されている。摂動論的処理は、二重スケーリング極限で厳密になる。${\displaystyle a\to 0,\nu \to \infty }$より正確には、急速な振動${\displaystyle \xi }$は次のように定義される。

${\displaystyle \xi ={\frac {a}{l}}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t.\,}$

「遅い」成分の運動方程式${\displaystyle \varphi _{0}}$になる

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\varphi }}_{0}={\ddot {\varphi }}-{\ddot {\xi }}&=-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {\sin \varphi }{l}}\\&{}\quad {}-{\frac {a}{l}}\left({\ddot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\cos \nu t-{\dot {\varphi }}_{0}^{2}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t-2\nu {\dot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\sin \nu t-\nu ^{2}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t\right)\\[8pt]&=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi _{0}-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {1}{l}}\left(\xi \cos \varphi _{0}+O(\xi ^{2})\right)\\&{}\quad {}-{\frac {a}{l}}\left({\ddot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\cos \nu t-{\dot {\varphi }}_{0}^{2}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t-2\nu {\dot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\sin \nu t\right).\end{aligned}}}$

急速な時間平均${\displaystyle \nu }$振動は主要項に収束する

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}_{0}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi _{0}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a\nu }{l}}\right)^{2}\sin \varphi _{0}\cos \varphi _{0}.}$

「遅い」運動方程式は次のようになる

${\displaystyle ml^{2}{\ddot {\varphi }}_{0}=-{\frac {\partial V_{\mathrm {eff} }}{\partial \varphi _{0}}}\;,}$

有効な潜在力を導入することによって

${\displaystyle V_{\mathrm {eff} }=-mgl\cos \varphi _{0}+m\left({\frac {a\nu }{2}}\sin \varphi _{0}\right)^{2}.}$

有効ポテンシャルは^{[ 1 ]}${\displaystyle V_{\mathrm {eff} }}$2 つの最小値を持つ場合${\displaystyle (a\nu )^{2}>2gl}$または同等に、${\displaystyle (a/l)(\nu /\omega _{0})>{\sqrt {2}}}$最初の最小値は同じ位置にある${\displaystyle (x,y)=(0,-l)}$数学的な振り子として、もう一方の最小値は上側の垂直位置にある。${\displaystyle (x,y)=(0,l)}$その結果、数学的な振り子では不安定な上側の垂直位置が、カピッツァの振り子では安定するようになる。

固定された強制周波数の場合${\displaystyle \nu }$強制振幅の増加${\displaystyle a}$反転した点${\displaystyle \varphi =\pi }$安定平衡点となり、その後再び不安定になる。この点はホップ分岐を起こし、安定平衡点が安定振動へと拡大する。${\displaystyle \varphi =\pi }$周波数で${\displaystyle \nu /2}$振幅${\displaystyle \propto {\sqrt {a-a_{c}}}}$どこ${\displaystyle a_{c}}$は臨界振幅である。^{[ 5 ]}

振幅がさらに大きくなると、安定した振動が不安定になり、振り子が回転し始めます。さらに振幅が大きくなると、回転モードも破壊され、周期倍加カスケードによって奇妙なアトラクターが現れます。^{[ 7 ] [ 8 ]}

カピッツァの振り子の回転解は、振り子が支点の周りを回転する周波数が支点の駆動周波数と同じときに発生します。回転解は2つあり、それぞれ異なる方向への回転に対応します。回転座標系への変換には、${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi ^{\prime }\pm \nu t}$そして、${\displaystyle \varphi }$になる:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}^{\prime }=-{\frac {1}{l}}\left[{\frac {1}{2}}a\nu ^{2}\sin(\varphi ^{\prime })+g\sin(\varphi ^{\prime }\pm \nu t)+{\frac {1}{2}}a\nu ^{2}\sin(\varphi ^{\prime }\pm 2\nu t)\right]\;.}$

再び限界を考慮すると、${\displaystyle \nu }$適切な周波数よりもはるかに高い${\displaystyle \omega _{0}}$急速な${\displaystyle \nu }$遅い-${\displaystyle \varphi _{0}^{\prime }}$極限をとると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}_{0}^{\prime }=-{\frac {1}{2l}}a\nu ^{2}\sin \varphi _{0}^{\prime }\;.}$

有効ポテンシャルは単純振り子の方程式のそれと全く同じである。安定平衡点は${\displaystyle \varphi _{0}^{\prime }=0}$そして不安定な平衡点${\displaystyle \varphi _{0}^{\prime }=\pi }$。

解析的記述ではアクセスできない領域、例えばサスペンションの振幅が大きい場合などでは、興味深い位相図が得られる可能性がある。${\displaystyle a\approx l}$[ ^{9 ] [ 10 ]}駆動振動の振幅を振り子の長さの半分まで増加さ^せる${\displaystyle a=l/2}$これは図に示すような位相空間図につながる。

振幅をさらに増加させて${\displaystyle a\approx l}$これにより、位相空間の内部点が完全に満たされます。以前は位相空間の一部の点にアクセスできなかった場合、システムは内部点のいずれにも到達できるようになります。この状況は、より大きな値でも当てはまります。${\displaystyle a}$。

• カピッツァは、振動する振り子サスペンションを備えた振り子時計は、固定サスペンションを備えた時計よりも常に速く進むと指摘した。^{[ 11 ]}
• 歩行は、体が一歩ごとに硬い肢を飛び越える「倒立振り子」歩行によって定義されます。歩行中の安定性の向上は、カピッツァの振り子の安定性に関連している可能性があります。これは、肢の数に関係なく、6本、8本、またはそれ以上の肢を持つ節足動物にも当てはまります。^{[ 12 ]}

• Kapitza's Pendulumのデモンストレーションビデオ- YouTube
• Wolfram Demonstrations Projectでのインタラクティブなデモンストレーション