パラメトリック発振器

パラメトリック発振器は、システムのいくつかのパラメータをいくつかの周波数で変化させることによって発振が駆動される駆動調和発振器であり、通常は発振器の固有周波数とは異なります。パラメトリック発振器の簡単な例としては、子供が遊び場のブランコを定期的に立ち上がったりしゃがんだりしてブランコの振動を大きくする動作が挙げられます。^{[1] [2] [3]}子供の動きによって、振り子としてのブランコの慣性モーメントが変化します。子供の「ポンプ」動作は、ブランコの振動の 2 倍の周波数でなければなりません。変化させることのできるパラメータの例としては、発振器の共振周波数や減衰などがあります。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \beta}$

パラメトリック発振器は、物理学のさまざまな分野で使用されています。 古典的なバラクタパラメトリック発振器は、共振回路または空洞共振器に接続された半導体バラクタ ダイオードで構成されています。 可変バイアス電圧を印加してダイオードの静電容量を変化させることで駆動されます。 ダイオードの静電容量を変化させる回路は、「ポンプ」または「ドライバ」と呼ばれます。 マイクロ波エレクトロニクスでは、導波管/ YAGベースのパラメトリック発振器が同じように動作します。 もう 1 つの重要な例は、入力レーザー光波をより低い周波数の 2 つの出力波 ( ) に変換する光パラメトリック発振器です。 ${\displaystyle \omega _{s},\omega _{i}}$

パラメトリック発振器は、発振以下のポンプレベルで動作する場合、信号を増幅してパラメトリック増幅器（パラメトリックアンプ）を形成できる。バラクタパラメトリック増幅器は、無線およびマイクロ波周波数範囲の低ノイズ増幅器として開発された。パラメトリック増幅器の利点は、トランジスタや真空管などのゲインデバイスに基づく増幅器よりもはるかにノイズが低いことである。これは、パラメトリック増幅器では（ノイズを生成する）抵抗ではなくリアクタンスが変化するためである。これらは、電波望遠鏡や宇宙船の通信アンテナの超低ノイズ無線受信機に使用されている。^[4]

パラメトリック共振は、機械システムがパラメトリックに励起され、その共振周波数の 1 つで振動するときに発生します。パラメトリック励起は、動作がシステム パラメータに対する時間変動の変更として現れるため、強制とは異なります。

パラメトリック振動は、最初に力学の分野で注目された。マイケル・ファラデー（1831年）は、ワイングラスが「歌う」ように振動したときに観察されるクリスパレーション（波立った表面波）において、ある周波数の振動が2倍の周波数の力によって励起されることに初めて気づいた。 ^[5] フランツ・メルデ（1860年）は、音叉を使って弦の共振周波数の2倍の張力を周期的に変化させることで、弦にパラメトリック振動を発生させた。^{[6]パラメトリック振動は、}レイリー（1883年、1887年）によって初めて一般現象として扱われた。 ^{[7] [8] [9]}

この概念を電気回路に適用した最初の一人はジョージ・フランシス・フィッツジェラルドで、1892年にダイナモによって提供される可変インダクタンスでLC回路をポンピングして振動を励起しようとしました。 ^{[10] [11]}パラメトリック増幅器 (パラアンプ) は、1913年から1915年にかけてベルリンからウィーンやモスクワへの無線電話で初めて使用され、将来的に有用であると予測されていました (エルンスト・アレクサンダーソン、1916年)。^[12]これらの初期のパラメトリック増幅器は鉄心インダクタの非線形性を利用したため、低周波数でしか機能しませんでした。

1948年、アルダート・ファン・デル・ジールはパラメトリック増幅器の大きな利点を指摘した。増幅に抵抗ではなく可変リアクタンスを使用するため、本質的にノイズが低いということである。^[13]ラジオ受信機のフロントエンドとして使用されるパラメトリック増幅器は、ノイズをほとんど発生させずに弱い信号を増幅することができる。1952年、ベル研究所のハリソン・ロウは、ジャック・マンリーによる1934年のポンプ振動に関する数学的研究を拡張し、パラメトリック振動の現代の数学理論であるマンリー・ロウ関係式を発表した。^[13]

1956年に発明されたバラクタダイオードは、マイクロ波周波数で使用できる非線形容量を持っていました。バラクタパラメトリック増幅器は、1956年にウエスタンエレクトリックでマリオンハインズによって開発されました。^[13]発明された当時、マイクロ波はちょうど利用され始めたところで、バラクタ増幅器はマイクロ波周波数での最初の半導体増幅器でした。^{[13]多くの分野で低ノイズ無線受信機に応用され、}電波望遠鏡、衛星地上局、長距離レーダーで広く使用されています。これは、今日使用されているパラメトリック増幅器の主流です。それ以来、パラメトリック増幅器はジョセフソン接合などの他の非線形能動デバイスを使用して構築されています。

この技術は、非線形結晶を能動素子として 使用する光パラメトリック発振器および増幅器の光周波数にまで拡張されています。

パラメトリック発振器は、物理的特性が時間とともに変化する調和発振器である。このような発振器の方程式は

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta (t){\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}(t)x=0}$

この方程式は について線形です。仮定により、パラメータおよび は時間にのみ依存し、発振器の状態には依存しません。一般に、および/または は同じ周期 で周期的に変化すると仮定されます。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \omega^{2}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta (t)}$${\displaystyle \omega ^{2}(t)}$${\displaystyle T}$

パラメータが発振器の自然周波数（以下に定義）のおよそ2 倍で変化すると、発振器はパラメトリック変化に位相同期し、すでに持っているエネルギーに比例した速度でエネルギーを吸収します。 によって提供される補償エネルギー損失メカニズムがなければ、発振振幅は指数関数的に増大します。（この現象は、パラメトリック励起、パラメトリック共鳴、またはパラメトリックポンピングと呼ばれます。）ただし、初期振幅が 0 の場合は、そのままになります。この点が、初期状態に関係なく振幅が時間の経過とともに線形に増大する駆動された単純調和発振器の非パラメトリック共鳴と区別されます。 ${\displaystyle \beta}$

パラメトリック振動と駆動振動の両方の身近な経験は、ブランコで遊ぶことです。^{[1] [2] [3]}前後に揺らすことで、駆動調和振動子としてブランコが動き出しますが、いったん動き出すと、ブランコは、スイングアークの重要なポイントで交互に立ったりしゃがんだりすることで、パラメトリックに駆動することもできます。これにより、ブランコの慣性モーメントが変わり、したがって共振周波数も変わります。そのため、子供は、始めにある程度振幅があれば（例えば、押してもらうなど）、すぐに大きな振幅に到達できます。しかし、静止状態で立ったりしゃがんだりしていても、何も起こりません。

まず変数の変更から始めます

${\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{D(t)}x(t)}$

ここで減衰係数の時間積分は ${\displaystyle D(t)}$

${\displaystyle D(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\beta (\tau )\ ,d\タウ }$。

この変数の変更により、微分方程式の減衰項が除去され、次のように表される。

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\Omega ^{2}(t)q=0}$

ここで変換された周波数は次のように定義される。

${\displaystyle \Omega^{2}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega^{2}(t)-{\frac {1}{2}}{\frac {d\beta }{dt}}-{\frac {1}{4}}\beta^{2}(t)}$。

一般的に、減衰と周波数の変化は比較的小さな摂動である。

${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}{\big [}b+g(t){\big ]}}$

${\displaystyle \omega^{2}(t)=\omega_{0}^{2}{\big [}1+h(t){\big ]}}$

ここで、とは定数、すなわちそれぞれ時間平均された振動子周波数と減衰である。変換された周波数は、同様に次のように表される。 ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \Omega^{2}(t)=\omega_{n}^{2}{\big [}1+f(t){\big ]}}$、

減衰調和振動子の 固有振動数はどこですか？${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \omega _{n}^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left(1-{\frac {b^{2}}{4}}\right)}$

そして

${\displaystyle f(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega _{n}^{2}}}\left[h(t)-{\frac {1}{2\omega _{0}}}{\frac {dg}{dt}}-{\frac {b}{2}}g(t)-{\frac {1}{4}}g^{2}(t)\right]}$。

したがって、変換された方程式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}{\big [}1+f(t){\big ]}q=0}$。

振動子の減衰と共振周波数のそれぞれにおける独立した変化とを、単一のポンピング関数に組み合わせることができます。逆に言えば、共振周波数または減衰のいずれか、あるいはその両方を変化させることによって、あらゆる形態のパラメトリック励起を実現できるということです。 ${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle f(t)}$

振動子の固有振動数の約 2 倍の周波数を持つ正弦波であると 仮定します。${\displaystyle \f(t)\}$

${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin(2\omega _{p}t)}$

ここでポンピング周波数は厳密に等しい必要はない。パラメータの変分法を用いると、変換された方程式の解は次のように書ける。 ${\displaystyle \\omega_{p}\approx\omega_{n}\}$${\displaystyle \ \omega _{n}\ }$${\displaystyle \ q(t)\ }$

${\displaystyle \ q(t)\ =\ A(t)\ \cos(\omega _{p}t)\ +\ B(t)\ \sin(\omega _{p}t)\ }$

急速に変化する成分は、ゆっくりと変化する振幅と${\displaystyle \ \cos(\omega _{p}t)\ }$${\displaystyle \ \sin(\omega _{p}t)\ ,}$${\displaystyle \ A(t)\ }$${\displaystyle \ B(t)~.}$

この解を微分方程式に代入し、微分方程式を同一に満たすには、 との前の係数が両方ともゼロでなければならないと仮定します。また、と はゆっくりと変化するという理由で、との 2 次導関数を省略します。また、固有周波数に近くない正弦波項は、共振に大きく寄与しないため省略します。結果は、次の 2 つの結合微分方程式になります。 ${\displaystyle \ \cos(\omega _{p}t)\ }$${\displaystyle \ \sin(\omega _{p}t)\ }$${\displaystyle \ A(t)\ }$${\displaystyle \ B(t)\ }$${\displaystyle \ A(t)\ }$${\displaystyle \ B(t)\ }$${\displaystyle \ \omega _{n}\ ,}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {\ \operatorname {d} A\ }{\operatorname {d} t}}={\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}\ A-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\ B\ ,}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {\ \operatorname {d} B\ }{\operatorname {d} t}}=\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\ A-{\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}\ B~.}$

この定数係数の線形微分方程式系は、分離して固有値/固有ベクトル法で解くことができます。これにより、次の解が得られます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A(t)\\B(t)\end{bmatrix}}=c_{1}\ {\vec {V_{1}}}\ e^{\lambda _{1}t}+c_{2}\ {\vec {V_{2}}}\ e^{\lambda _{2}t}}$

ここで、およびは行列の固有値である。 ${\displaystyle \ \lambda _{1}\ }$${\displaystyle \ \lambda _{2}\ }$

${\displaystyle {\frac {1}{\ 2\omega _{p}\ }}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}&-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\\+\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)&-{\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}\end{bmatrix}}\ ,}$

${\displaystyle \ {\vec {V_{1}}}\ }$および は対応する固有ベクトルであり、 およびは任意の定数です。 ${\displaystyle \ {\vec {V_{2}}}\ }$${\displaystyle \ c_{1}\ }$${\displaystyle \ c_{2}\ }$

固有値は次のように与えられる。

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm {\frac {1}{\ 2\omega _{p}\ }}{\sqrt {{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}{\Bigr )}^{2}\;}}~.}$

との違いを と書き、違いが重要でない箇所では を に置き換えると、次のようになります。${\displaystyle \ \omega _{p}\ }$${\displaystyle \ \omega _{n}\ }$${\displaystyle \ \Delta \omega =\omega _{p}-\omega _{n}\ ,}$${\displaystyle \ \omega _{p}\ }$${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {{\Bigl (}{\tfrac {1}{4}}f_{0}\ \omega _{n}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}\Delta \omega {\Bigr )}^{2}\;}}}$。

の場合には、固有値は実数であり、ちょうど1つが正であるため、およびの指数関数的増加が起こります。これはパラメトリック共鳴の条件であり、の増大率は正の固有値によって与えられます。${\displaystyle \ {\bigl |}\Delta \omega {\bigr |}<{\tfrac {1}{4}}f_{0}\ \omega _{n}\ ,}$${\displaystyle \ A(t)\ }$${\displaystyle \ B(t)~.}$${\displaystyle \ q(t)\ }$${\displaystyle \ \lambda _{1}=+{\sqrt {{\Bigl (}{\tfrac {1}{4}}f_{0}\ \omega _{n}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}\Delta \omega {\Bigr )}^{2}\;}}~.}$

ただし、この成長率は変換された変数の振幅に対応するのに対し、元の変換されていない変数の振幅は、時間の増加関数か減少関数かに応じて増加または減少する可能性があることに注意する。${\displaystyle \ q(t)\ ,}$${\displaystyle \ x(t)=q(t)\ e^{-D(t)}\ }$${\displaystyle \ \lambda _{1}t-D(\ t\ )\ }$${\displaystyle \ t~.}$

上記の導出は数学的な小技のように見えるかもしれないので、直感的な導出を示すことが役立つかもしれない。この式は次のように書ける。 ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}q=-\omega _{n}^{2}f(t)q}$

これは、応答に比例する信号によって駆動される単純な調和振動子（または、バンドパスフィルタ）を表します。 ${\displaystyle -\omega _{n}^{2}f(t)q}$${\displaystyle q(t)}$

がすでに周波数 で振動しており、ポンピングの周波数が 2 倍で振幅が小さいと仮定します。正弦波の積に三角関数の恒等式を適用すると、その積によって 1 つは周波数 、もう 1 つは周波数 の2 つの駆動信号が生成されます。 ${\displaystyle q(t)=A\cos(\omega _{p}t)}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin(2\omega _{p}t)}$${\displaystyle f_{0}\ll 1}$${\displaystyle q(t)f(t)}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle 3\omega _{p}}$

${\displaystyle f(t)q(t)={\frac {f_{0}}{2}}A{\big [}\sin(\omega _{p}t)+\sin(3\omega _{p}t){\big ]}}$

共鳴していないため、信号は減衰し、最初は無視できます。対照的に、共鳴している信号は を増幅する役割を果たし、振幅 に比例します。したがって、 の振幅は、最初はゼロでない限り、指数関数的に増加します。 ${\displaystyle 3\omega _{p}}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle q(t)}$

フーリエ空間で表現すると、乗算はそれらのフーリエ変換との畳み込みです。の成分が の成分を の駆動信号に変換し、その逆も成り立つ（符号を反転する）ため、正のフィードバックが生じます。これは、ポンピング周波数が （発振器の固有周波数の 2 倍）に近くなければならない理由を説明しています。大幅に異なる周波数でポンピングすると、の との成分が結合（つまり、相互に正のフィードバックを提供）しません。 ${\displaystyle f(t)q(t)}$${\displaystyle {\tilde {F}}(\omega )}$${\displaystyle {\tilde {Q}}(\omega )}$${\displaystyle +2\omega _{p}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle -\omega _{p}}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle +\omega _{p}}$${\displaystyle 2\omega _{n}}$${\displaystyle -\omega _{p}}$${\displaystyle +\omega _{p}}$${\displaystyle q(t)}$

パラメトリック共振は、特定の周波数（および関連する高調波）での機械的摂動と振動のパラメトリック 共振 現象です。この効果は不安定現象を示すため、通常の共振とは異なります。

パラメトリック共振は、機械システムがパラメトリック励起され、その共振周波数の 1 つで振動するときに発生します。パラメトリック励起は、その作用がシステム パラメータに対する時間的に変化する変更として現れるため、強制とは異なります。パラメトリック共振の典型的な例は、垂直に強制された振り子です。パラメトリック共振は、外部励起周波数がシステムの自然周波数の 2 倍を正の整数で割った値に等しい場合に発生します。摩擦がない場合の小振幅のパラメトリック励起の場合、共振の帯域幅は主要な次数です。^[14]摩擦の影響により、パラメトリック励起の振幅に有限のしきい値が導入され、不安定性が生じます。^[15]${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(|h|^{n})}$

振幅が小さい場合、線形化により周期解の安定性はマシューの式で与えられます。

${\displaystyle {\ddot {u}}+(a+B\cos t)u=0}$

ここで、 は周期解からの摂動です。ここで、項は「エネルギー」源として機能し、システムをパラメトリックに励起すると言われています。 Mathieu 方程式は、コンデンサプレートが正弦波状に動く LC 回路など、正弦波パラメトリック励起に対する他の多くの物理システムを記述します。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle B\ \cos(t)}$

自己パラメトリック共振は、2つの結合した振動子を持つシステムで発生し、一方の振動がもう一方の振動子のパラメトリック共振として作用します。2番目の振動子のゼロ点は不安定になり、振動を開始します。^{[16] [17]}

パラメトリック アンプはミキサーとして実装されます。ミキサーのゲインは、出力にアンプ ゲインとして表示されます。入力された弱い信号は強い局部発振器信号と混合され、結果として得られる強い出力が後続の受信段で使用されます。

パラメトリック アンプも、アンプのパラメータを変更することで動作します。可変コンデンサ ベースのアンプの場合、直感的に次のように理解できます。コンデンサの電荷は に従うため、 両端の電圧は です。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q=C\times V}$
${\displaystyle V={\frac {Q}{C}}}$

上記を踏まえると、コンデンサの電圧が、入力される弱い信号のサンプル電圧と等しくなるまでコンデンサを充電し、その後コンデンサの静電容量を減少させると（たとえば、プレートを手動でさらに離すなど）、コンデンサにかかる電圧が増加します。このようにして、弱い信号の電圧が増幅されます。

コンデンサがバリキャップ ダイオードである場合、「プレート移動」は、バリキャップ ダイオードに時間変動 DC 電圧を印加するだけで実行できます。この駆動電圧は通常、別の発振器 (「ポンプ」と呼ばれることもあります) から供給されます。

結果として得られる出力信号には、入力信号 (f1) とポンプ信号 (f2) の和と差の周波数 (f1 + f2) と (f1 − f2) が含まれます。

実用的なパラメトリック発振器には、次の接続が必要です。1 つは「共通」または「接地」用、1 つはポンプへの給電用、1 つは出力の取得用、そしておそらく 4 つ目はバイアス用です。パラメトリック増幅器には、増幅する信号を入力するための 5 番目のポートが必要です。バラクタ ダイオードには接続が 2 つしかないため、接続にノードがある 4 つの固有ベクトルを持つ LC ネットワークの一部にしかなれません。これは、トランスインピーダンス増幅器、進行波増幅器、またはサーキュレータによって実装できます。

パラメトリック発振器方程式は、外部駆動力を追加することで拡張できます。 ${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta (t){\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}(t)x=E(t)}$。

減衰は十分に強く、駆動力 がない場合でもパラメトリック振動の振幅は発散しない、つまり であると仮定します。この状況では、パラメトリックポンピングはシステム内の有効減衰を低下させるように作用します。説明のために、減衰を一定とし、外部駆動力が平均共振周波数、つまりであると仮定します。方程式は次のようになります 。${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \alpha t<D}$${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}b}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle E(t)=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b\omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}\left[1+h_{0}\sin 2\omega _{0}t\right]x=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

その解はおよそ

${\displaystyle x(t)={\frac {2E_{0}}{\omega _{0}^{2}\left(2b-h_{0}\right)}}\cos \omega _{0}t}$。

が閾値 に近づくにつれて、振幅は発散します。 のとき、システムはパラメトリック共振に入り、駆動力がなくても振幅は指数関数的に増加し始めます。 ${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle 2b}$${\displaystyle h_{0}\geq 2b}$${\displaystyle E(t)}$

1. 非常に敏感です
2. 超高周波およびマイクロ波無線信号用の低ノイズレベル増幅器

任意の 2 次線形微分方程式のパラメータが周期的に変化する場合、フロケ解析により、解は正弦波または指数関数的に変化する必要があることが示されます。

周期的に変化する上記の方程式は、ヒル方程式の例です。 が単純な正弦波の場合、この方程式はマシュー方程式と呼ばれます。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f(t)}$

• 調和振動子
• マシュー方程式
• 光パラメトリック増幅器
• 光パラメトリック発振器

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