正投影

正射影（正射影、アナレンマとも呼ばれる）^[a]は、 3次元の物体を2次元で表現する手段である。正射影は平行投影の一種で、すべての投影線が投影面に対して直交しており、^[2]結果としてシーンのすべての平面が表示面上でアフィン変換されて現れる。正射影の表側は斜射影で、これは投影線が投影面に対して直交してい ない平行投影である。

正投影という用語は、主軸または被写体の平面も投影面と平行になって主要ビューを作成する多面投影の手法を意味する場合があります。^[2] 正投影のオブジェクトの主平面または軸が投影面と平行でない場合、その描写は軸測図または補助ビューと呼ばれます。（軸測図は平行投影と同義です。）主要ビューのサブタイプには、平面図、立面図、および断面図があり、補助ビューのサブタイプには、等角投影、二面測量、および三面測量図があります。

正投影を提供するレンズは物体空間テレセントリックレンズです。

平面z = 0への単純な正投影は、次の行列によって定義できます。

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

各点v = ( v _x , v _y , v _z )に対して、変換された点Pvは次のようになる。

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\end{bmatrix}}}$

多くの場合、同次座標を使用する方が便利です。上記の変換は、同次座標では次のように表すことができます。

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

各同次ベクトルv = ( v _x , v _y , v _z , 1)に対して、変換されたベクトルPvは次のようになる。

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\\1\end{bmatrix}}}$

コンピュータグラフィックスでは、正投影に使用される最も一般的な行列の1つは、クリッピング平面を定義する6つの要素（左、右、下、上、近く、遠く）で定義できます。これらの平面は、最小コーナーが（左、下、-近く）で最大コーナーが（右、上、-遠く）のボックスを形成します。^[3]

ボックスは、中心が原点になるように移動され、最小コーナーが (-1,-1,-1)、最大コーナーが (1,1,1) になるように定義される単位立方体に拡大縮小されます。

正投影変換は次の行列で表されます。

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

これは、スケーリング Sとそれに続く変換 Tとして表すことができる。

${\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

投影行列P ⁻¹の逆行列は、逆投影行列として使用できます。

${\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

正投影には、視点が直交から外れる正確な角度に応じて、等角投影、二角投影、三角投影の3つのサブタイプがあります。 ^{[2] [4]}通常、軸測図では、他の種類の図法と同様に、空間の1つの軸が垂直に表示されます。

等角投影は、工学図面で最も一般的に使用される軸測投影の形式です^[5]。視線の方向は、空間の3つの軸が均等に短縮されて見え、それらの間の共通角度は120°です。短縮による歪みは均一であるため、長さの比例関係は維持され、軸は共通のスケールを共有します。これにより、図面から直接測定を行うことが容易になります。もう1つの利点は、コンパスと定規のみを使用して120°の角度を簡単に作成できることです。

二等辺投影では、視線の方向によって、空間の 3 つの軸のうち 2 つが均等に短縮されて表示され、それに伴うスケールと表示角度は視線の角度に応じて決定されます。3 番目の方向のスケールは別に決定されます。

三角投影法では、視線の方向によって、空間の3つの軸すべてが不均等に短縮されて見える。3つの軸のそれぞれに沿ったスケールとそれらの間の角度は、視線の角度によって個別に決定される。三角透視図法は、技術図面ではほとんど使用されない。^[4]

マルチビュー投影では、オブジェクトの最大 6 枚の画像 (プライマリ ビュー)が生成されます。各投影面は、オブジェクトの座標軸の 1 つに平行です。ビューは、第 1 角投影または第 3 角投影の 2 つのスキームのいずれかに従って、互いに対して配置されます。各スキームでは、ビューの外観は、オブジェクトの周りに 6 辺のボックスを形成する平面に投影されていると考えることができます。6 つの異なる側面を描くことができますが、通常、図面の 3 つのビューで、3 次元オブジェクトを作成するのに十分な情報が得られます。これらのビューは、正面図(立面図とも呼ばれます)、上面図(平面図とも呼ばれます)、端面図(断面図とも呼ばれます) と呼ばれます。描画されたオブジェクトの平面または軸が投影面と平行ではなく、オブジェクトの複数の側面が同じ画像に表示される場合は、補助ビューと呼ばれます。したがって、等角投影、二面投影、三面投影は、マルチビュー投影の補助ビューと見なされます。マルチビュー投影の一般的な特徴は、空間の 1 つの軸が通常垂直に表示されることです。

正射投影図は、地図作成における地図投影法の一種である。立体投影や心射投影と同様に、正射投影は透視投影（または方位投影）であり、球面を接平面または割面上に投影する。正射投影の透視点は無限遠にある。宇宙から見た地球の半球を描き、地平線は大円となる。形状や面積は、特に端の近くでは歪んでいる。 ^{[6] [7]}

正投影法は古代から知られており、地図作成におけるその使用法はよく文書化されている。ヒッパルコスは紀元前2世紀にこの投影法を使用して、星の出と沈む場所を決定した。紀元前14年頃、ローマの技術者マルクス・ウィトルウィウス・ポリオはこの投影法を使用して日時計を製作し、太陽の位置を計算した。^[7]

ウィトルウィウスはまた、投影法をギリシャ語のorthos (「まっすぐな」) とgraphē (「描く」) から派生した orthographic という用語も考案したようです。しかし、緯度と経度を示す日時計も意味するアナレマという名前は、 1613 年にアントワープのフランソワ・ダギロンが現在の名前を推進するまで、一般的な名前でした。 ^[7]

この投影法で現存する最も古い地図は、1509年（匿名）、1533年と1551年（ヨハネス・シェーナー）、1524年と1551年（アピアン）の地球儀の木版画である。^[7]

ウィキメディア・コモンズには、正投影法に関連するメディアがあります。

• Normale (直交) Axonometrie (ドイツ語)
• 正投影ビデオと数学