フロケ理論

フロケ理論は、次の形式の 周期線形微分方程式の解のクラスに関連する常微分方程式の理論の分野である。

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,}$

は周期を持つ区分的に連続した周期関数であり、解の安定性の状態を定義します。 ${\displaystyle x\in {R^{n}}}$${\displaystyle \displaystyle A(t)\in {R^{n\times n}}}$ ${\displaystyle T}$

フロケ理論の主要定理であるフロケの定理は、ガストン・フロケ (1883)によるもので、この一般的な線形システムの各基本行列解の標準形を与えます。これは、周期システムを、定数の実数係数を持つ従来の線形システムに変換する座標変換を与えます。 ${\displaystyle \displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$${\displaystyle \displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}$

凝縮物質物理学における結晶など、周期的なポテンシャルを持つ物理系に適用した場合、その結果はブロッホの定理として知られています。

線形微分方程式の解はベクトル空間を形成することに注意してください。列が解の集合の基底を形成する場合、行列は基本行列解と呼ばれます。すべての列が線形独立な解であり、 が恒等解となるようなものが存在する場合、行列は主基本行列解と呼ばれます。主基本行列は、 を使用して基本行列から構築できます。初期条件を持つ線形微分方程式の解は、であり、は任意の基本行列解です。 ${\displaystyle \phi \,(t)}$${\displaystyle \Phi (t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \Phi (t_{0})}$${\displaystyle \Phi (t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(t_{0})}$${\displaystyle x(0)=x_{0}}$${\displaystyle x(t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(0)x_{0}}$${\displaystyle \phi \,(t)}$

を線型1階微分方程式とします。ここで は長さの列ベクトルで、周期を持つ周期行列です（つまりのすべての実数値に対してです）。をこの微分方程式の基本行列解とします。すると、すべての に対して、 ${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A(t)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle A(t+T)=A(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \phi \,(t)}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi (t+T)=\phi (t)\phi ^{-1}(0)\phi (T).}$

ここ

${\displaystyle \phi ^{-1}(0)\phi (T)}$

はモノドロミー行列として 知られている。さらに、${\displaystyle B}$

${\displaystyle e^{TB}=\phi ^{-1}(0)\phi (T),}$

周期的な（周期）行列関数が存在し、 ${\displaystyle T}$${\displaystyle t\mapsto P(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=P(t)e^{tB}{\text{ \mathbb {R}内のすべてのtに対して }}t .}$

また、実行列と実周期（周期）行列関数が存在し、 ${\displaystyle R}$${\displaystyle 2T}$${\displaystyle t\mapsto Q(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=Q(t)e^{tR}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .}$

上記において、、およびは行列 です。${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n\times n}$

このマッピングにより、時間依存の座標変更 ( ) が発生し、その下では元のシステムは実定数係数 を持つ線形システムになります。 は連続かつ周期的であるため、境界がなければなりません。したがって、 および のゼロ解の安定性は、の固有値によって決まります。 ${\displaystyle \phi \,(t)=Q(t)e^{tR}}$${\displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$${\displaystyle {\dot {y}}=Ry}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle R}$

この表現は、基本行列のフロケ正規形と呼ばれます。 ${\displaystyle \phi \,(t)=P(t)e^{tB}}$${\displaystyle \phi \,(t)}$

の固有値は、システムの特性乗数と呼ばれます。また、それらは（線形）ポアンカレ写像の固有値でもあります。フロケ指数（特性指数と呼ばれることもあります）は、 がシステムの特性乗数であるような複素数です。 （ただし は整数）であるため、フロケ指数は一意ではないことに注意してください。フロケ指数の実部は、リアプノフ指数と呼ばれます。すべてのリアプノフ指数が負の場合、ゼロ解は漸近的に安定であり、リアプノフ指数が非正の場合、リアプノフ安定であり、それ以外の場合は不安定です。 ${\displaystyle e^{TB}}$ ${\displaystyle x(t)\to x(t+T)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle e^{\mu T}}$${\displaystyle e^{(\mu +{\frac {2\pi ik}{T}})T}=e^{\mu T}}$${\displaystyle k}$

• フロケ理論は、マシュー方程式などの動的システムの研究にとって非常に重要です。
• フロケ理論は、周期的な重力場における調和振動子としての月の運動を近似するヒル微分方程式（ジョージ・ウィリアム・ヒルによって導入）の安定性を示します。
• 強力なレーザー場における結合軟化と結合硬化は、フロケ定理から得られる解によって説明できます。
• 強く駆動される量子システムのダイナミクスは、多くの場合、フロケ理論を使用して調べられます。超伝導回路では、フロケフレームワークが活用され、駆動誘起マルチ量子ビット相互作用の量子電気力学が解明されています。

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