複素正規分布

確率論では、複素正規分布の族は、${\displaystyle {\mathcal {CN}}}$または$\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}}$複素正規分布族は、実部と虚部がともに正規分布に従う複素確率変数を特徴づける。^{[ 1 ]}複素正規分布族には、位置パラメータμ、共分散行列の3つのパラメータがある。${\displaystyle \Gamma }$、そして関係行列${\displaystyle C}$標準複素正規分布は、以下の単変量分布です。${\displaystyle \mu =0}$、${\displaystyle \Gamma =1}$、 そして${\displaystyle C=0}$。

複素正規分布族の重要なサブクラスとして、円対称（中心）複素正規分布があり、これは関係行列がゼロで平均値がゼロの場合に対応します。${\displaystyle \mu =0}$ そして${\displaystyle C=0}$[ ^{2 ]}このケースは信号処理で広く使用されており、文献では単に複素正規と呼ばれることもあります^。

複雑なガウス分布は、3つのパラメータで記述できます。^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],}$

どこ$\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }}$行列の転置を表す${\displaystyle \mathbf {Z} }$、 そして${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }}$共役転置を表す。^{[ 3 ]： p.504 [ 4 ]： pp.500}

ここで位置パラメータ${\displaystyle \mu }$はn次元複素ベクトルであり、共分散行列は${\displaystyle \Gamma }$はエルミート行列かつ非負定値行列であり、関係行列または擬似共分散行列は${\displaystyle C}$対称である。複素正規ランダムベクトル${\displaystyle \mathbf {Z} }$は次のように表すことができます。$${\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).}$$さらに、行列${\displaystyle \Gamma }$そして${\displaystyle C}$行列が

${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C}$

また、非負定値である。${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$は、の複素共役を表します。${\displaystyle \Gamma }$[ ^{5 ]​}

任意の複雑なランダムベクトルと同様に、行列は${\displaystyle \Gamma }$そして${\displaystyle C}$共分散行列と関連付けることができる${\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )}$そして${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}$式を介して

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}}$

そして逆に

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}$

複素正規分布の確率密度関数は次のように計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}^{\mathrm {H} }{\begin{bmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{bmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}}$そして${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}$。

複素正規分布の特性関数は^{[ 5 ]で与えられる。}

${\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},}$

議論が${\displaystyle w}$これはn次元の複素ベクトルです。

• もし${\displaystyle \mathbf {Z} }$は複素正規n次元ベクトルであり、${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$m ×n行列、${\displaystyle b}$定数mベクトル、次に線形変換${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b}$複素正規分布も適用されます。

${\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })}$

• もし${\displaystyle \mathbf {Z} }$は複素正規nベクトルである。

${\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)}$

• 中心極限定理。${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}}$は独立同分布の複素確率変数であり、

${\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),}$

どこ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]}$そして${\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}$。

• 複素正規確率変数の絶対値はホイト分布に従う。^{[ 6 ]}

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