操作変数

統計学、計量経済学、疫学、および関連分野では、準実験的手法である操作変数法（IV）は、制御実験が実行不可能な場合、またはランダム化実験で治療がすべての単位に正常に提供されない場合に、因果関係を推定するために使用されます。 ^{[ 1 ]}直感的に言えば、IVは、関心のある説明変数（独立変数または予測変数とも呼ばれる）が誤差項（内生変数）と相関している場合に使用されます。この場合、通常の最小二乗法とANOVAは偏った結果をもたらします。有効な操作変数を使用すると、説明変数（内生変数と相関している変数）は変化しますが、従属変数には独立した影響を与えず、誤差項とも相関しないため、研究者または分析者は、説明変数が従属変数に及ぼす真の因果効果を明らかにすることができます。

操作変数法は、回帰モデルにおいて説明変数（共変量）が誤差項と相関している場合でも、一貫性のある推定を可能にします。このような相関は、次のような場合に発生する可能性があります。

1. 従属変数の変化が少なくとも1つの共変量の値を変化させる（「逆」因果関係）、
2. 従属変数と説明変数の両方に影響を与える省略された変数がある、または
3. 共変量には測定誤差が生じる。

回帰分析においてこれらの問題の 1 つ以上を抱える説明変数は、内生変数と呼ばれることがあります。このような状況では、通常の最小二乗法では偏りのある不整合な推定値が得られます。^{[ 2 ]}しかし、操作変数が利用可能であれば、整合的な推定値が得られる可能性があります。操作変数とは、それ自体は説明方程式に含まれないが、他の共変量の値を条件として内生的な説明変数と相関のある変数です。

線形モデルにおいて、操作変数（IV）を使用するには、主に2つの要件があります。

• 操作変数は、他の共変量を条件として、内生的な説明変数と相関していなければなりません。この相関が強い場合、操作変数は第1段階が強いと言われます。相関が弱いと、パラメータ推定値について誤った推論が生じ、第2段階の標準誤差が通常の最小二乗推定値よりも大きくなる可能性があります。^{[ 3 ] [ 4 ]}
• 操作変数は、他の共変量を条件として、説明方程式の誤差項と相関があってはならない。言い換えれば、操作変数は元の予測変数と同じ問題を抱えてはならない。この条件が満たされる場合、操作変数は除外制約を満たすと言われる。

非公式には、ある変数X (「共変量」または「説明変数」) が別の変数Y (「従属変数」)に及ぼす因果効果を推定しようとする場合、操作変数とは、 Xへの影響を通じてのみYに影響を与える第 3 の変数Zのことである。  

例えば、研究者が喫煙（X ）が一般的な健康（ Y）に及ぼす因果効果を推定したいとします。 ^{[ 5 ]} 喫煙と健康の相関関係は、喫煙が健康を害することを意味するものではありません。なぜなら、うつ病などの他の変数が健康と喫煙の両方に影響を与える可能性があり、また健康が喫煙に影響を与える可能性があるからです。一般集団における喫煙状況に関する統制実験を行うことは不可能です。研究者は、喫煙の手段変数としてタバコ製品の税率（Z）を使用することで、観察データから喫煙が健康に及ぼす因果効果を推定しようと試みるかもしれません。タバコ製品の税率は、喫煙への影響を通じてのみ健康と相関すると研究者が想定しているため、手段変数として妥当な選択です。研究者がタバコ税と健康状態が相関していることを発見した場合、これは喫煙が健康の変化を引き起こす証拠とみなされる可能性があります。

操作変数の最初の使用は、1928 年にフィリップ G. ライトが著した本で行われました。ライトは、1900 年代初頭の米国における植物油と動物油の生産、輸送、販売に関する優れた記述で最もよく知られています。^{[ 6 ] [ 7 ]} 1945 年に、オラフ レイエルソルは、博士論文の中で誤差変数モデルの文脈で同じアプローチを適用し、その方法に名前を付けました。^{[ 8 ]}

ライトは、米国におけるバターの価格と販売数量に関するパネルデータを用いて、バターの需要と供給を決定しようと試みた。需要曲線や供給曲線は、価格と需要量または供給量の間の経路によって形成されるため、回帰分析によってこれらを導き出せるはずだというのがその考えだった。しかし問題は、観測データが需要曲線や供給曲線を形成するのではなく、市場状況の変化に応じて形状が異なる点観測値の集合体であったことだ。データから推論を行うことは、依然として困難であるように思われた。

問題は、価格が供給と需要の両方に影響を与えるため、観測データから直接、どちらか一方だけを表す関数を構築できないことだった。ライトは、需要と供給のどちらか一方にのみ相関する変数、つまり操作変数が必要だと正しく結論づけた。

熟慮の末、ライトは地域の降雨量を操作変数として使用することにした。彼は、降雨量が牧草生産量、ひいては牛乳生産量、そして最終的にはバター供給量に影響を与えるが、バター需要量には影響を与えないと結論付けた。このようにして、彼は価格と供給量という操作変数のみを用いた回帰方程式を構築することができた。^{[ 9 ]}

操作変数の正式な定義は、反事実と図式基準を用いて、 2000 年にJudea Pearlによって与えられた。 ^{[ 10 ]} AngristとKrueger (2001) は、操作変数法の歴史と使用法に関する概説を発表している。^{[ 11 ]}計量経済学における因果関係の概念と、操作変数法やその他の方法との関係については、Heckman (2008) が論じている。^{[ 12 ]}

IVの背後にある考え方は幅広いモデルクラスに及ぶが、IVの非常に一般的な文脈は線形回帰である。従来^{[ 13 ]} 、操作変数は変数として定義される。${\displaystyle Z}$それは独立変数と相関関係にある ${\displaystyle X}$そして「誤差項」とは相関がない${\displaystyle U}$線形方程式において

${\displaystyle Y=X\beta +U}$

${\displaystyle Y}$これはベクトルです。${\displaystyle X}$これは行列であり、通常は1の列と、他の共変量のための追加の列を持つ場合があります。操作変数がどのように${\displaystyle \beta }$回復されるべき。OLSは、${\displaystyle {\ワイドハット {\beta }}}$そのため${\displaystyle \operatorname {cov} (X,{\widehat {U}})=0}$（二乗誤差の合計を最小化する場合、${\displaystyle \min _{\beta }(YX\beta )'(YX\beta )}$一次条件は正確に${\displaystyle X'(YX{\widehat {\beta }})=X'{\widehat {U}}=0}$) 真のモデルが${\displaystyle \operatorname {cov} (X,U)\neq 0}$上記に挙げた理由のいずれかにより、例えば、両方に影響を与える省略された変数がある場合${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$別々に分析すると、このOLS手順では因果的影響は得られません。${\displaystyle X}$の上${\displaystyle Y}$OLSは、結果として生じる誤差が相関しないように見えるパラメータを選択するだけです。${\displaystyle X}$。

簡略化のため、単一変数の場合を考えてみましょう。1つの変数と定数項を含む回帰分析を考えているとします（他の共変量は不要、あるいは関連する他の共変量はすべて除外済みとします）。

${\displaystyle y=\alpha +\beta x+u}$

この場合、対象となる回帰変数の係数は次のように表されます。${\displaystyle {\widehat {\beta }}={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}}$. を置き換える${\displaystyle y}$与える

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\beta }}&={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x+u)}{\operatorname {var} (x)}}\\[6pt]&={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x)}{\operatorname {var} (x)}}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}}=\beta ^{*}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}},\end{aligned}}}$

どこ$\displaystyle \beta ^{*}}$推定係数ベクトルは、 ${\displaystyle \operatorname {cov} (x,u)=0}$この場合、次のことが示せる。$\displaystyle \beta ^{*}}$は不偏推定量である${\displaystyle \beta }$。 もし${\displaystyle \operatorname {cov} (x,u)\neq 0}$私たちが信じる基礎モデルでは、OLSは一貫性のない推定値を与え、関心のある基礎的な因果効果を反映しません。IVは、パラメータを特定することでこの問題を解決するのに役立ちます。$\displaystyle {\beta }}$に基づいていない${\displaystyle x}$相関関係がない${\displaystyle u}$しかし、別の変数に基づいて${\displaystyle z}$相関関係がない${\displaystyle u}$理論が示唆するところによれば${\displaystyle z}$は${\displaystyle x}$（第一段階）だが相関なし${\displaystyle u}$（除外制約がある場合）、OLSでは検出できない因果関係パラメータをIVで特定できる可能性があります。線形の場合だけでも、IV推定量の使用方法や導出方法には複数の具体的な方法（IV、2SLS、GMM）があるため、詳細な説明は後述の推定のセクションで行います。

IV法は、より広範な非線形モデルの中で開発されてきた。反事実的および図式的形式を用いた操作変数の一般的な定義は、Pearl（2000; p.  248）によって与えられた。^{[ 10 ]}図式的定義では、Zが次の条件を満たす必要がある。

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y)_{G_{\overline {X}}}\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)_{G}}$

どこ${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$はd分離を表し、${\displaystyle G_{\overline {X}}}$これは、 Xに入るすべての矢印が途中で切断されたグラフを表します。

反事実的定義では、Z が以下を満たす必要がある。

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y_{x})\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)}$

ここで、Y _{x は}、 Xがxであった場合にYが達成する値を表し、${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$独立を意味する。

追加の共変量Wがある場合、上記の定義は、与えられた基準がWを条件として成り立つ場合にZ が操作変数として適格となるように修正されます。

パールの定義の本質は次のとおりです。

1. ここで注目する方程式は「構造方程式」であり、「回帰方程式」ではない。
2. 誤差項Uは、 Xを一定に保った場合にYに影響を与えるすべての外生的要因を表す。
3. 計測器ZはUとは独立しているべきである。
4. Xを一定に保った場合、機器ZはYに影響を与えてはならない（除外制約）。
5. 計測器ZはXから独立していてはならない。

これらの条件は方程式の特定の関数形式に依存しないため、U が非加法的である非線形方程式にも適用できます (非パラメトリック分析を参照)。また、X (およびその他の要因)が複数の中間変数を介してYに影響を与える複数の方程式のシステムにも適用できます。操作変数はXの原因である必要はありません。条件 1～5 を満たす場合は、そのような原因の代理変数を使用することもできます。^{[ 10 ]}除外制約 (条件 4) は冗長です。これは条件 2 および 3 から導かれます。

ここで、IVのメカニズムをより詳細に再検討し、拡張します。データが次の形式のプロセスによって生成されると仮定します。

${\displaystyle y_{i}=X_{i}\beta +e_{i},}$

どこ

• i は観測値をインデックス化します。
• $\displaystyle y_i}}$は従属変数のi番目の値です。
• ${\displaystyle X_{i}}$は独立変数のi番目の値のベクトルと定数です。
• ${\displaystyle e_{i}}$は、すべての原因を表す未観測誤差項のi番目の値です。$\displaystyle y_i}}$以外${\displaystyle X_{i}}$、 そして
• ${\displaystyle \beta }$これは観測されていないパラメータベクトルです。

パラメータベクトル${\displaystyle \beta }$因果効果は$\displaystyle y_i}}$各要素の1単位の変化${\displaystyle X_{i}}$他のすべての原因を保持して$\displaystyle y_i}}$定数。計量経済学の目標は、推定することです。${\displaystyle \beta }$簡略化のため、eの抽出値は無相関であり、同じ分散を持つ分布から抽出されていると仮定します(つまり、誤差は自己相関がなく、等分散性を持つとします)。

また、名目上同じ形式の回帰モデルが提案されていると仮定します。このプロセスからT個の観測値のランダムサンプルが与えられた場合、通常の最小二乗推定量は次のようになります。

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {OLS} }=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }y=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }(X\beta +e)=\beta +(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }e}$

ここで、X、y、eは長さTの列ベクトルを表す。この式は、以下の式と類似している。${\displaystyle \operatorname {cov} (X,y)}$序論で述べたように（これはその方程式の行列版です）。X と e が無相関の場合、特定の規則性条件の下で、第 2 項はXを条件とした期待値がゼロとなり、極限でゼロに収束するため、推定量は不偏かつ一致性があります。しかし、 Xと、 e項に集約された他の測定されていない因果変数が相関している場合、OLS 推定量は一般的にβに対して偏りがあり、不一致です。この場合、推定値を使用してXの値が与えられたときのyの値を予測することは有効ですが、推定値はXがyに及ぼす因果効果を回復しません。  

基となるパラメータを復元するには${\displaystyle \beta }$そこで、 Xの各内生的成分と高い相関を持つが (我々の基礎モデルでは) eとは相関を持たない変数Zのセットを導入します。簡単にするために、Xを定数の列と 1 つの内生変数からなる T × 2 行列、Zを定数の列と 1 つの操作変数からなるT × 2 行列と考えることができます。ただし、この手法は、 Xが定数と、例えば 5 つの内生変数からなる行列であり、Z が定数と 5 つの操作変数からなる行列である場合にも一般化できます。以下の議論では、 XはT × K行列であると仮定し、この値Kは指定しません。XとZ の両方がT × K行列である推定量は、ちょうど識別可能であると呼ばれます。 

各内生成分x _iと操作変数との関係は次のように与えられると仮定する。

${\displaystyle x_{i}=Z_{i}\gamma +v_{i},}$

最も一般的なIV（操作変数）の仕様では、以下の推定量を使用します。

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y}$

この仕様は、サンプルが大きくなるにつれて真のパラメータに近づきます。${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$真のモデルでは：

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X\beta +(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }e\rightarrow \beta }$

に限って${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$データを生成する基礎的なプロセスにおいて、IV推定量を適切に使用することで、このパラメータを特定できます。これは、IVが以下の条件を満たす一意のパラメータを解くためです。${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$そのため、サンプルサイズが大きくなるにつれて、真の根本的なパラメータに焦点を絞っていく。

ここで拡張として、対象となる方程式において、共変量よりも操作変数の数が多い場合を考えてみましょう。つまり、ZはM > KのT × M行列です。これはしばしば過剰識別ケースと呼ばれます。この場合、一般化モーメント法(GMM) を使用できます。GMM IV 推定量は次のようになります。

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }=(X^{\mathrm {T} }P_{Z}X)^{-1}X^{\mathrm {T} }P_{Z}y,}$

どこ${\displaystyle P_{Z}}$投影行列を参照します${\displaystyle P_{Z}=Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}$。

対象となる方程式において、操作変数の数が共変量の数と等しい場合、この式は最初の式に縮退します。したがって、過剰識別された操作変数は、ちょうど識別された操作変数の一般化と言えます。

m < kの場合にも同等の識別不能推定量があります。パラメータは一連の線形方程式の解であるため、一連の方程式を使用した識別不能モデルは次のようになります。${\displaystyle Z'v=0}$唯一の解は存在しない。

IV推定値を計算するために使用される計算方法の1つに、2段階最小二乗法（2SLSまたはTSLS）があります。第1段階では、対象となる方程式の内生共変量である各説明変数を、対象となる方程式の外生共変量と除外された操作変数の両方を含む、モデル内のすべての外生変数に対して回帰します。これらの回帰から予測値が得られます。

ステージ 1: Xの各列をZに対して回帰します。(${\displaystyle X=Z\delta +{\text{errors}}}$):

${\displaystyle {\widehat {\delta }}=(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X,\,}$

そして予測値を保存します。

${\displaystyle {\widehat {X}}=Z{\widehat {\delta }}={\color {ProcessBlue}Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}X={\color {ProcessBlue}P_{Z}}X.\,}$

第2段階では、通常どおりに目的の回帰分析が推定されますが、この段階では各内生共変量が第1段階で予測された値に置き換えられます。

ステージ2：ステージ1で予測された値に対してYを回帰分析する。

${\displaystyle Y={\widehat {X}}\beta +\mathrm {noise} ,\,}$

これにより

${\displaystyle \beta _{\text{2SLS}}=\left(X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}Y.}$

この方法は線形モデルでのみ有効です。カテゴリカルな内生共変量の場合、通常の最小二乗法とは異なる第1段階、例えば第1段階でプロビットモデル、第2段階でOLSを使用するという方法を試みたくなるかもしれません。これは計量経済学の文献では一般的に「禁止回帰」として知られています^{[ 15 ]。}なぜなら、第2段階IVパラメータ推定値は特殊な場合にのみ一致性を持つからです^{[ 16 ] 。}

結果として得られる推定値は${\displaystyle \beta }$は、上記の式と数値的に同一です。第2段階の適合モデルの二乗残差の合計に小さな修正を加えることで、共分散行列が${\displaystyle \beta }$正しく計算されています。

構造方程式の形式が不明な場合、操作変数${\displaystyle Z}$それらは依然として以下の式によって定義できる。

${\displaystyle x=g(z,u)\,}$

${\displaystyle y=f(x,u)\,}$

どこ${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$は 2 つの任意の関数であり、${\displaystyle Z}$独立している${\displaystyle U}$線形モデルとは異なり、${\displaystyle Z,X}$そして${\displaystyle Y}$平均因果効果の特定は許可されない${\displaystyle X}$の上${\displaystyle Y}$ACEと表記される

${\displaystyle {\text{ACE}}=\Pr(y\mid {\text{do}}(x))=\operatorname {E} _{u}[f(x,u)].}$

BalkeとPearl[1997]はACEの厳密な境界を導出し、これらがACEの符号と大きさに関する貴重な情報を提供できることを示した。^{[ 17 ]}

線形解析では、仮定を反証するテストはありません。${\displaystyle Z}$ペアに対して重要${\displaystyle (X,Y)}$これは、次の場合には当てはまりません。${\displaystyle X}$離散的である。パール（2000）は、すべての${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$、次の制約（「道具的不等式」と呼ばれる）は、${\displaystyle Z}$上記の2つの式を満たす：^{[ 10 ]}

${\displaystyle \max _{x}\sum _{y}[\max _{z}\Pr(y,x\mid z)]\leq 1.}$

上記の説明では、関心のある因果効果が観測間で変化しないこと、つまり、${\displaystyle \beta }$は定数です。一般的に、異なる被験者は「治療」 xの変化に対して異なる反応を示します。この可能性が認識されると、 xの変化がyに及ぼす母集団における平均効果は、特定のサブ集団における効果と異なる可能性があります。たとえば、職業訓練プログラムの平均効果は、実際に訓練を受ける人々のグループと訓練を受けないことを選択した人々のグループの間で大きく異なる可能性があります。これらの理由から、IV 法は行動反応に関する暗黙の仮定、より一般的には治療への反応と治療を受ける傾向との相関に関する仮定を前提としています。^{[ 18 ]}

標準的な IV 推定量では、平均処置効果(ATE) ではなく、局所平均処置効果(LATE) を回収することができます。^{[ 1 ]} Imbens と Angrist (1994) は、線形 IV 推定値は、弱い条件下では局所平均処置効果の加重平均として解釈できることを示しました。ここで、重みは、内生回帰変数の操作変数の変化に対する弾力性に依存します。大まかに言えば、変数の効果は、操作変数の観測された変化によって影響を受けるサブグループに対してのみ明らかになり、操作変数の変化に最も反応するサブグループが IV 推定値の大きさに最も大きな影響を与えることを意味します。

例えば、研究者が所得回帰分析において、大学教育の指標として州立大学の存在を用いる場合、大学が存在する場合には学位を取得するが、存在しない場合には学位を取得しないというサブグループにおける、大学が所得に与える影響を特定することができる。しかし、この実証的なアプローチは、さらなる仮定を置かない限り、地元の大学の有無に関わらず常に学位を取得する人、あるいは決して学位を取得しない人における大学の影響については何も教えてくれない。

Bound、Jaeger 、Baker（1995）が指摘するように、問題は「弱い」操作変数の選択によって引き起こされます。これは、第1段階方程式の内生的な質問予測変数の予測精度が低い操作変数です。^{[ 19 ]}この場合、操作変数による質問予測変数の予測精度は低く、予測値の変動は非常に小さくなります。したがって、第2段階方程式で質問予測変数の代わりに操作変数を使用しても、最終的な結果を予測する上で大きな成功を収める可能性は低いでしょう。

前述の喫煙と健康の例で言えば、喫煙状況が税率の変化にほとんど反応しない場合、たばこ税は喫煙に対する有効な手段とは言えません。税率の上昇が喫煙をやめる（あるいは喫煙を始めない）動機付けにならないのであれば、税率の変動は喫煙が健康に及ぼす影響について何も教えてくれません。税金が喫煙以外の経路で健康に影響を与える場合、手段は無効となり、操作変数法は誤解を招く結果をもたらす可能性があります。例えば、比較的健康意識の高い人々が住む地域や時代では、喫煙率が一定であっても、たばこ税を高く設定し、健康状態が良好である可能性があります。そのため、喫煙が健康に全く影響を与えない場合でも、健康とたばこ税の間に相関関係が見られるでしょう。この場合、たばこ税と健康の間に見られる相関関係から、喫煙が健康に因果関係を持つと推論するのは誤りです。

共変量が外生的である場合、OLS推定量の小標本特性は、Xを条件とした推定量のモーメントを計算することで簡単に導出できます。共変量の一部が内生的であるため操作変数推定が実行される場合、推定量のモーメントの単純な式は得られません。一般に、操作変数推定量は望ましい漸近特性のみを持ち、有限標本特性は持たず、推論は推定量の標本分布の漸近近似に基づいています。操作変数が対象となる方程式の誤差と無相関であり、操作変数が弱くない場合でも、操作変数推定量の有限標本特性は劣る可能性があります。たとえば、完全に識別可能なモデルはモーメントのない有限標本推定量を生成するため、推定量は偏りも不偏もないと言え、検定統計量の名目上のサイズは大きく歪む可能性があり、推定値は一般的にパラメータの真の値から大きく離れる可能性があります。^{[ 21 ]}

操作変数が対象となる方程式の誤差項と相関していないという仮定は、厳密に識別されたモデルでは検証できません。モデルが過剰識別されている場合、この仮定を検証するために使用できる情報があります。これらの過剰識別制約の最も一般的なテストは、サーガン・ハンセン検定と呼ばれ、操作変数が真に外生的であれば、残差は外生変数のセットと相関しないはずであるという観察に基づいています。^{[ 22 ]} サーガン・ハンセン検定統計量は次のように計算できます。${\displaystyle TR^{2}}$（観測数に決定係数を乗じた値）は、残差を外生変数セットに回帰させたOLS回帰から得られる統計量です。この統計量は、誤差項が操作変数と無相関であるという帰無仮説の下では、漸近的に自由度m  − kのカイ二乗分布に従います。 

• 制御関数（計量経済学）－内生性問題を補正するための統計的手法 
• 最適計測器– 条件付きモーメントモデルにおける推定量の効率を向上させるための手法 

• グリーン、ウィリアム・H. (2008).計量経済学分析（第6 版）. アッパー・サドル・リバー：ピアソン・プレンティス・ホール. pp. 314–353 . ISBN  978-0-13-600383-0。
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• Keane, Michael P.; Neal, Timothy (2024). "弱指標の実践ガイド". Annual Review of Economics . 16 : 185–212.
• サーガン、デニス（1988）。『高度計量経済学講義』オックスフォード：バジル・ブラックウェル。42-67頁。ISBN  978-0-631-14956-9。
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• Wooldridge, J. (2002): "Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data", MIT Press、ケンブリッジ、マサチューセッツ州。

• ダニエル・マクファデンの教科書からの章
• マーク・トーマによるYouTubeの計量経済学講義（トピック：操作変数）。
• マーク・トーマによるYouTubeの計量経済学講義（トピック：二段階最小二乗法）