制御機能（計量経済学）

制御関数（ 2段階残差包含とも呼ばれる）は、誤差項の内生性をモデル化することで内生性の問題を修正する統計的手法である。このアプローチは、同じ計量経済学の問題を説明しようとする他のモデルとは重要な点で異なっている。たとえば、操作変数は、内生変数X を、関連する外生的な操作変数Zに関して、多くの場合可逆なモデルとしてモデル化しようとする。パネル分析は、特別なデータ特性を使用して、時間の経過とともに固定されていると想定される観測されない異質性を区別する。

制御関数はヘックマンとロブによって導入されたが^[1]、その原理は以前の論文にまで遡ることができる。^[2] 特に人気があるのは、非可逆モデル（離散選択モデルなど）で機能し、個々のレベルでの効果と集計レベルでの効果が異なる可能性がある異質な効果を考慮できるためである。 ^[3]制御関数アプローチのよく知られた例はヘックマン補正である。

加法誤差を伴う標準的な内生変数設定から開始すると仮定します。ここで、X は内生変数であり、Z は計器として機能する外生変数です。

一般的な操作変数法は、2段階の手順を使用して最初に式（2）を推定し、この最初のステップの推定値を使用して2番目のステップで式（1）を推定するというものである。しかし、制御関数は、このモデルが意味するものを使用する。

関数h ( V )は事実上、内生性をモデル化する制御関数であり、この計量経済学的アプローチの名前の由来となっている。^[4]

ルービン因果モデル潜在的成果フレームワークでは、Y _{1は参加指標}Dが1に等しい人々の成果変数であり、制御関数アプローチは次のモデルにつながる。

潜在的な結果Y0とY1_がXと_Zの条件付きDから独立している限り。^[5]

第2段階の回帰分析には生成された回帰変数が含まれるため、その分散共分散行列を調整する必要がある。^{[6] [7]}

ウールドリッジとテルザは、指数回帰の枠組みの中で内生性を扱い、それをテストする方法論を提供しており、以下の議論はそれに沿っている。^[8]この例ではポアソン回帰モデルに焦点を当てているが、他の指数回帰モデルに一般化することは可能であるが、これには追加の仮定（バイナリ応答モデルや打ち切りデータモデルなど）が必要になる可能性がある。

次の指数回帰モデルを想定します。ここで、 は 潜在変数内の観測されない項です。 と の間には相関関係があることを許容しますが( はおそらく内生的であることを意味します)、と の間にはそのような相関関係は許容しません。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [y_{i}\mid x_{i},z_{i},a_{i}]=\exp(x_{i}b_{0}+z_{i}c_{0}+a_{i})}$

変数は、潜在的に内生的な に対する操作変数として機能します。これら 2 つの変数の間に線形関係があると仮定するか、または内生変数を操作変数に投影して、次の簡約形式方程式を取得できます。 ${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

識別を確実にするために、通常のランク条件が必要です。 内生性は次のようにモデル化されます。ここで、 は内生性の重大度を決定し、 とは独立していると仮定されます。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle a_{i}=v_{i}\rho +e_{i}}$

これらの仮定を課し、モデルが正しく指定されていると仮定し、正規化すると、条件付き平均を次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \operatorname {E} [\exp(e_{i})]=1}$

この時点で分かっていれば、準最大尤度推定（QMLE）によって関連パラメータを推定することが可能になる。2段階の手順戦略に従って、WooldridgeとTerzaは、通常の最小二乗法によって式（ 1 ）を推定することを提案している。この回帰から得られた適合残差は、推定式（2）に代入することができ、QMLE法は、関心のあるパラメータの一貫した推定値をもたらす。その後、有意性検定を使用して、モデル内の内生性を検定することができる。 ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

オリジナルのヘキット手順では誤差項について分布仮定を行っていますが、より弱い分布仮定を用いたより柔軟な推定手法が確立されています。 ^[9]さらに、ブランデルとパウエルは、制御関数アプローチが離散選択モデルなどの非加法誤差を持つモデルで特に役立つことを示しています。^[10] ただし、この後者のアプローチでは、暗黙的に強い分布および関数形式の仮定を行っています。^[5]

• 2段階最小二乗法 – 統計学の手法リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• ヘックマン補正 – サンプリングバイアスを補正する統計手法

• Guo, Zijian; Small, Dylan S. ( 2016). 「非線形因果効果モデルの制御関数の計数変数推定」。機械学習研究ジャーナル。17 (100): 1–35。arXiv : 1602.01051。
• Wooldridge, Jeffrey M. ( 2015). 「応用計量経済学における制御関数法」。Journal of Human Resources。50 (2): 420–445。doi :10.3368/jhr.50.2.420。S2CID 119604644  。