識別可能性

させて${\displaystyle {\mathcal {P}}}$通常の位置尺度族とする。

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}}\ {\Big |}\ \theta =(\mu ,\sigma ):\mu \in \mathbb {R} ,\,\sigma \!>0\ {\Big \}}.}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{\theta _{1}}(x)=f_{\theta _{2}}(x)\\[6pt]\Longleftrightarrow {}&{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{1}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma _{1}^{2}}}(x-\mu _{1})^{2}\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma _{2}^{2}}}(x-\mu _{2})^{2}\right)\\[6pt]\Longleftrightarrow {}&{\frac {1}{\sigma _{1}^{2}}}(x-\mu _{1})^{2}+\ln \sigma _{1}={\frac {1}{\sigma _{2}^{2}}}(x-\mu _{2})^{2}+\ln \sigma _{2}\\[6pt]\Longleftrightarrow {}&x^{2}\left({\frac {1}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {1}{\sigma _{2}^{2}}}\right)-2x\left({\frac {\mu _{1}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)+\left({\frac {\mu _{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {\mu _{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}+\ln \sigma _{1}-\ln \sigma _{2}\right)=0\end{aligned}}}$

この式は、すべての係数がゼロに等しい場合にのみ、ほぼすべてのxに対してゼロに等しくなります。これは、| σ ₁ | = | σ ₂ | およびμ ₁ = μ ₂の場合にのみ可能です。スケール パラメータσはゼロより大きい値に制限されているため、モデルは識別可能であると結論付けられます。ƒ _{θ 1}  =  ƒ _{θ 2} ⇔ θ ₁  = θ ₂。 

させて${\displaystyle {\mathcal {P}}}$標準線形回帰モデルとする：

${\displaystyle y=\beta 'x+\varepsilon ,\quad \mathrm {E} [\,\varepsilon \mid x\,]=0}$

（ここで ′ は行列の転置を表す）。すると、パラメータβは、行列が${\displaystyle \mathrm {E} [xx']}$これは可逆である。したがって、これはモデルにおける識別条件である。

仮定する${\displaystyle {\mathcal {P}}}$これは古典的な誤差変数線形モデルです。

${\displaystyle {\begin{cases}y=\beta x^{*}+\varepsilon ,\\x=x^{*}+\eta ,\end{cases}}}$

ここで、( ε、η、x* ) は期待値がゼロで分散が未知の、共変的に正規分布に従う独立な確率変数であり、変数 ( x、y ) のみが観測されます。この場合、このモデルは識別できません。 ^{[ 4 ]}積 βσ² _∗のみが識別可能です (ここで σ² _{∗は潜在回帰変数}x*の分散です)。これも集合識別可能なモデルの例です。βの正確な値は学習できませんが、β _yxはyをxに対してOLS回帰したときの係数、β _{xyは x を}yに対してOLS 回帰したときの係数である区間 ( β _yx、 1÷ β _xy ) のどこかに存在することは保証できます。^{[ 5 ]}

正規性の仮定を放棄し、x* が正規分布に従わないことを要求し、独立条件ε  ⊥ η ⊥ x*だけを残すと、モデルは識別可能になる。^{[ 4 ]}   

• Lewbel, Arthur (2019-12-01). "識別動物園：計量経済学における識別の意味" . Journal of Economic Literature . 57 (4). American Economic Association: 835–903 . doi : 10.1257/jel.20181361 . ISSN 0022-0515 . S2CID 125792293 .  
• Matzkin, Rosa L. (2013). "構造経済モデルにおけるノンパラメトリック識別". Annual Review of Economics . 5 (1): 457–486 . doi : 10.1146/annurev-economics-082912-110231 .
• ローテンバーグ、トーマス J. (1971). 「パラメトリック モデルにおける識別」. Econometrica . 39 (3): 577–591 . doi : 10.2307/1913267 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1913267 .