変数エラーモデル

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\hat {K}}(n_{1},n_{2}+1)}{{\hat {K}}(n_{1}+1,n_{2})}},\quad n_{1},n_{2}>0,}$

ここで、( n ₁ , n _{2 )は、(} x , y )の結合キュムラントK ( n ₁ +1, n ₂ )がゼロにならないような値である。潜在回帰変数x*の3次中心モーメントがゼロでない場合、式は次のように簡約される。

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})^{2}}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}(y_{t}-{\bar {y}})}}\ .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&z_{t}=\left(1\ z_{t1}'\ z_{t2}'\ z_{t3}'\ z_{t4}'\ z_{t5}'\ z_{t6}'\ z_{t7}'\right)',\quad {\text{where}}\\&z_{t1}=x_{t}\circ x_{t}\\&z_{t2}=x_{t}y_{t}\\&z_{t3}=y_{t}^{2}\\&z_{t4}=x_{t}\circ x_{t}\circ x_{t}-3{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}\\&z_{t5}=x_{t}\circ x_{t}y_{t}-2{\big (}\operatorname {E} [y_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}-y_{t}{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}\iota _{k}\\&z_{t6}=x_{t}y_{t}^{2}-\operatorname {E} [y_{t}^{2}]x_{t}-2y_{t}\operatorname {E} [x_{t}y_{t}]\\&z_{t7}=y_{t}^{3}-3y_{t}\operatorname {E} [y_{t}^{2}]\end{aligned}}}$

ここで、は_行列のアダマール積を表し、変数xt、yt_は予備的に平均が除去されている。この方法の著者は、フラーの修正IV推定量を使用することを提案している。^[17]${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X{\big )}^{-1}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'y.}$

${\displaystyle x_{t}^{*}=\pi _{0}'z_{t}+\sigma _{0}\zeta _{t},}$

ここで、π ₀とσ _{0 は}（未知の）定数行列であり、ζ _t ⊥ z _tです。係数π _0は、 xのzに対する標準的な最小二乗回帰を使用して推定できます。 ζ _tの分布は未知ですが、柔軟なパラメトリック ファミリ、つまりエッジワース級数に属するものとしてモデル化できます。

${\displaystyle f_{\zeta }(v;\,\gamma )=\phi (v)\,\textstyle \sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v^{j}}$

ここでϕは標準正規分布です。

シミュレーションされたモーメントは、重要度サンプリングアルゴリズムを使用して計算できます。まず、標準正規分布からいくつかのランダム変数{ v _ts ~ ϕ , s = 1,…, S , t = 1,…, T }を生成し、次にt番目の観測値 におけるモーメントを次のように計算します。

${\displaystyle m_{t}(\theta )=A(z_{t}){\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}H(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )\sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v_{ts}^{j},}$

ここでθ = ( β , σ , γ )、Aは単に操作変数zの関数であり、Hはモーメントの2成分ベクトルである。

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{1}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=y_{t}-g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta ),\\&H_{2}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=z_{t}y_{t}-({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts})g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\,y_{t}|x_{t}\,]=\int g(x_{t}^{*},\beta )f_{x^{*}|x}(x_{t}^{*}|x_{t})dx_{t}^{*},}$

ここで、条件付き密度関数ƒ _x*|xがわかれば積分を計算することができる。この関数がわかったり推定できたりすれば、問題は標準的な非線形回帰となり、たとえばNLLS法を使って推定できる。
簡単のため、η ₁、η ₂が同一分布であると仮定すると、この条件付き密度は次のように計算できる。

${\displaystyle {\hat {f}}_{x^{*}|x}(x^{*}|x)={\frac {{\hat {f}}_{x^{*}}(x^{*})}{{\hat {f}}_{x}(x)}}\prod _{j=1}^{k}{\hat {f}}_{\eta _{j}}{\big (}x_{j}-x_{j}^{*}{\big )},}$

ここで、表記法を少し誤用すると、x _{j は}ベクトルのj番目の成分を表します。この式のすべての密度は、経験的特性関数
の逆関数を使用して推定できます。特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(v)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v,0)}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)}},\quad {\text{where }}{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v_{1},v_{2})={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}e^{iv_{1}x_{1tj}+iv_{2}x_{2tj}},\\{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)=\exp \int _{0}^{v}{\frac {\partial {\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})/\partial v_{1}}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})}}dv_{2},\\&{\hat {\varphi }}_{x}(u)={\frac {1}{2T}}\sum _{t=1}^{T}{\Big (}e^{iu'x_{1t}}+e^{iu'x_{2t}}{\Big )},\quad {\hat {\varphi }}_{x^{*}}(u)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x}(u)}{\prod _{j=1}^{k}{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(u_{j})}}.\end{aligned}}}$

これらの特性関数を反転するには、数値安定性を確保するために必要なトリミングパラメータC を使用して逆フーリエ変換を適用する必要があります。例:

${\displaystyle {\hat {f}}_{x}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{k}}}\int _{-C}^{C}\cdots \int _{-C}^{C}e^{-iu'x}{\hat {\varphi }}_{x}(u)du.}$

${\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\beta _{j}g_{j}(x_{t}^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\beta _{k+j}w_{jt}+\varepsilon _{t},\\x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}}$

ここでw _tは誤差なしで測定された変数を表す。ここでの回帰変数x*はスカラーである（この方法はベクトルx*の場合にも拡張できる）。測定誤差がなければ、これは推定量を持つ 標準的な線形モデル
になるだろう。

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}\xi _{t}'\,]{\big )}^{-1}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}y_{t}\,],}$

どこ

${\displaystyle \xi _{t}'=(g_{1}(x_{t}^{*}),\cdots ,g_{k}(x_{t}^{*}),w_{1,t},\cdots ,w_{l,t}).}$

この式のすべての期待値は、同じ逆畳み込みトリックを使用して推定できることがわかります。特に、一般的な観測量w _t（1、w _{1 t}、…、w _{ℓ t}、またはy _t）と何らかの関数h （任意のg _jまたはg _i g _jを表す）の場合、次の式が得られます。

${\displaystyle \operatorname {E} [\,w_{t}h(x_{t}^{*})\,]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{h}(-u)\psi _{w}(u)du,}$

ここでφ _{h は}h ( x* )のフーリエ変換であるが、特性関数の場合と同じ規則を用いる。

${\displaystyle \varphi _{h}(u)=\int e^{iux}h(x)dx}$、

そして

${\displaystyle \psi _{w}(u)=\operatorname {E} [\,w_{t}e^{iux^{*}}\,]={\frac {\operatorname {E} [w_{t}e^{iux_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{iux_{1t}}]}}\exp \int _{0}^{u}i{\frac {\operatorname {E} [x_{2t}e^{ivx_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{ivx_{1t}}]}}dv}$

${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\beta }}}$

${\displaystyle {\hat {g}}(x)={\frac {{\hat {\operatorname {E} }}[\,y_{t}K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}{{\hat {\operatorname {E} }}[\,K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}},}$