非圧縮流れ

流体力学、またはより一般的には連続体力学において、非圧縮流（等積流）とは、各流体塊（流速とともに移動する微小な体積）の物質密度が時間不変である流れを指します。非圧縮流を意味する同等の記述は、流速の発散がゼロであることです（これらの条件が同等である理由を示す以下の導出を参照してください）。

非圧縮性の流れは、流体自体が非圧縮性であることを意味するものではありません。以下の導出で示されているように、適切な条件下では、圧縮性流体の流れであっても、かなりの近似値で非圧縮性の流れとしてモデル化できます。

非圧縮性流れの基本的な要件は、密度 が、流速uで移動する小さな要素体積dV内で一定であることです。数学的には、この制約は、非圧縮性流れを保証するために、密度の物質微分(以下で説明) がゼロでなければならないことを意味します。この制約を導入する前に、質量保存則を適用して必要な関係を生成する必要があります。質量は、密度 の体積積分によって計算されます。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.}$

質量保存則では、制御体積内の質量の時間微分が、その境界を横切る質量流束Jと等しくなければなりません。数学的には、この制約を表面積分で表すことができます。

${\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

上記の式の負の符号は、表面積ベクトルが外側を向いているという慣例に従い、外向きの流れが時間に対する質量の減少をもたらすことを保証します。ここで、発散定理を使用して、フラックスと密度の部分時間微分の関係を導き出すことができます。

${\displaystyle {\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},}$

したがって：

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .}$

非圧縮性の流れを保証するために、時間に関する密度の偏微分がゼロである必要はありません。時間に関する密度の偏微分について話すときは、固定位置の制御ボリューム内のこの変化率について言及します。密度の時間偏微分をゼロ以外にすることで、非圧縮性流体に限定されなくなります。これは、流体が制御ボリュームを通過するときに、固定位置から観察すると密度が変化する可能性があるためです。このアプローチは一般性を維持し、密度の時間偏微分がゼロである必要がないことは、圧縮性流体が依然として非圧縮性の流れを経験できることを示しています。ここで興味深いのは、流速uとともに移動する制御ボリュームの密度の変化です。フラックスは、次の関数を通じて流速と関連しています。

${\displaystyle {\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.}$

したがって、質量保存則は次のことを意味します。

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

前の式（適切な積の法則を使用した場合）は連続方程式として知られています。ここで、密度の全微分に関する次の関係式が必要です（連鎖律を適用した場合）。

${\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

したがって、流体と同じ速度で移動する制御ボリューム（つまり、（dx / dt、  dy / dt、  dz / dt）=  u）を選択すると、この式は物質微分に簡略化されます。

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.}$

そして、上で導出した連続方程式を使用すると、次のようになります。

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.}$

時間の経過に伴う密度の変化は、流体が圧縮または膨張した（または、一定体積dVに含まれる質量が変化した）ことを意味しますが、これは禁止されています。そのため、密度の物質微分がゼロになることが必要であり、同様に（密度がゼロでない場合は）流速の発散もゼロである必要があります。

${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.}$

そして、質量保存則と流体の移動体積内の密度が一定であるという制約から始めて、非圧縮性の流れに必要な同等の条件は、流速の発散がゼロになることであることが示されました。

いくつかの分野では、流れの非圧縮性の尺度は圧力変化の結果としての密度の変化である。これは圧縮率で表現するのが最も適切である。

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.}$

圧縮率が許容できるほど小さい場合、流れは非圧縮性であると見なされます。

非圧縮性の流れは、ソレノイド流速場によって記述されます。しかし、ソレノイド場は、発散がゼロであることに加えて、回転がゼロではない（つまり、回転成分）という追加の意味合いも持っています。

それ以外の場合、非圧縮性の流れの回転もゼロで、非回転性でもある場合、流れの速度場は実際にはラプラシアン になります。

先に定義したように、非圧縮性（等容積性）の流れとは、

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,}$

これは、

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

つまり、密度の物質微分はゼロです。したがって、物質要素を追跡する場合、その質量密度は一定のままです。物質微分は 2 つの項で構成されることに注意してください。最初の項は、物質要素の密度が時間とともにどのように変化するかを説明します。この項は、非定常項とも呼ばれます。2 番目の項は、物質要素がある点から別の点に移動するにつれて密度が変化することを示します。これは移流項(スカラー場の移流項) です。流れが非圧縮性を持つと見なされるには、これらの項の集積合計がゼロになる必要があります。 ${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}}$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$

一方、均質で非圧縮性の材料は、全体にわたって一定の密度を持つ材料です。このような材料の場合、次のようになります。 ${\displaystyle \rho ={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$そして

${\displaystyle \nabla \rho =0}$ 独立して。

連続方程式から次の式が得られる。

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

したがって、均質な材料は常に非圧縮性の流れを受けますが、その逆は当てはまりません。つまり、圧縮性材料は流れの中で圧縮を受けない可能性があります。

流体力学では、流速の発散がゼロの場合、流れは非圧縮性であると見なされます。ただし、モデル化される流れシステムに応じて、関連する定式化が使用される場合もあります。いくつかのバージョンを次に説明します。

1. 非圧縮性流れ:これは、一定密度 (厳密な非圧縮性) または可変密度流れのいずれかを想定できます。可変密度セットは、密度、圧力、および/または温度フィールドの小さな摂動を含む解を受け入れ、ドメイン内の圧力成層化を可能にします。${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}}$
2. 非弾性流:主に大気科学の分野で使用されている非弾性制約は、非圧縮流の有効性を成層密度および/または温度、圧力にまで拡張します。これにより、例えば気象学の分野で使用される場合、熱力学的変数は下層大気で見られる「大気」基本状態に緩和されます。この条件は、さまざまな天体物理学的システムにも使用できます。^[1]${\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}}$
3. 低マッハ数の流れ、または擬似非圧縮性:低マッハ数制約は、無次元量のスケール解析を使用して圧縮性オイラー方程式から導くことができます。この制約は、このセクションの前の制約と同様に、音波の除去を可能にしますが、密度や温度の大きな摂動も許容します。このような制約を使用するソリューションが有効であるためには、流れがマッハ数制限(通常は0.3未満)内に収まっていることが前提となります。また、すべての非圧縮性の流れと同様に、圧力偏差は圧力ベース状態と比較して小さくなければなりません。^[2]${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$

これらの方法はフローに関して異なる仮定を行いますが、いずれも一般的なフロー依存関数およびに対する制約の一般的な形式を考慮に入れています。 ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

非圧縮性流れ方程式の厳密な性質により、それを解くために特定の数学的手法が考案されています。これらの方法には次のようなものがあります。

1. 投影法（近似と正確の両方）
2. 人工圧縮技術（近似値）
3. 圧縮率の前処理

• ベルヌーイの原理
• オイラー方程式（流体力学）
• ナビエ・ストークス方程式