デンプスター・シェーファー理論

信念関数の理論は、証拠理論またはデンプスター・シェーファー理論（DST ）とも呼ばれ、不確実性を伴う推論のための一般的な枠組みであり、確率理論、可能性理論、不正確な確率理論などの他の枠組みとのつながりが理解されています。この理論は、アーサー・P・デンプスター^{[1]によって}統計的推論の文脈で最初に導入され、後にグレン・シェーファーによって、認識論的不確実性をモデル化する一般的な枠組み、つまり証拠の数学的理論に発展しました。^{[2] [3]この理論により、さまざまな情報源からの証拠を組み合わせて、利用可能なすべての証拠を考慮に入れた信念の度合い（}信念関数と呼ばれる数学的オブジェクトによって表される）に到達できます。

デンプスター・シェーファー理論という用語は、狭義にはデンプスターとシェーファーによる理論の当初の構想を指す。しかし、より広い意味では、特定の状況に適応した同じ一般的なアプローチを指す用語としてこの用語を使用するのが一般的である。特に、多くの著者が証拠の矛盾をより適切に処理することを目的として、証拠を組み合わせるためのさまざまなルールを提案している。^{[4]初期の貢献は、}移転可能な信念モデルやヒントの理論など、多くの重要な発展の出発点にもなっている。 ^[5]

デンプスター・シェーファー理論はベイズの主観的確率理論を一般化したものである。信念関数は、ある質問に対する信念（または信頼、信用）の度合いを、関連する質問に対する主観的確率に基づいて決定する。信念の度合い自体は確率の数学的特性を持つ場合と持たない場合がある。信念の度合いがどの程度異なるかは、2つの質問がどれだけ密接に関連しているかによって決まる。^{[6]言い換えれば、これは}認識論的妥当性を表す方法であるが、確率論を使用して到達した答えと矛盾する答えを生み出す可能性がある。

センサーフュージョンの方法としてよく使用されるデンプスター・シェーファー理論は、1つの質問に対する信頼度を関連する質問の主観的確率から得ることと、独立した証拠項目に基づく信頼度を組み合わせるデンプスターのルール^[7]という2つのアイデアに基づいています。本質的には、命題に対する信頼度は、主にその命題を含む回答（関連する質問に対する）の数と、各回答の主観的確率によって決まります。また、データに関する一般的な仮定を反映する組み合わせのルールも寄与しています。

この形式では、信念の度合い（質量とも呼ばれる）は、ベイズ確率分布ではなく、信念関数として表されます。確率値は、単一のイベントではなく可能性の集合に割り当てられます。その魅力は、それらが命題を支持する証拠を自然にエンコードするという事実に基づいています。

デンプスター・シェーファー理論は、システムの状態集合のすべてのサブセットに質量を割り当てます。集合論の用語では、状態のべき集合です。たとえば、システムに 2 つの状態が存在する状況を想定します。このシステムでは、どの信念関数も最初の状態に質量を割り当て、2 番目の状態に質量を割り当て、両方の状態に質量を割り当て、どちらにも質量を割り当てません。

シェーファーの形式主義は、変数の数値や、「遺物の起源と場所」（アンティークか最近の偽物かを問う）のような言語変数のペアなど、検討中の可能性の集合から始まります。仮説は、「（明王朝、中国）」や「（19世紀、ドイツ）」のように、この識別フレームのサブセットによって表されます。^{[2] ：p.35f。}

シェーファーの枠組みでは、このような命題についての信念を、信念（または支持）と妥当性という2つの値で区切られた区間として表現することができます。

信念≤もっともらしさ。

最初のステップでは、主観的確率 (質量) がフレームのすべてのサブセットに割り当てられます。通常、限られた数のセットのみが非ゼロの質量 (焦点要素) を持ちます。^{[2] : 39f。} 仮説の信念は、仮説セットのすべてのサブセットの質量の合計によって構成されます。これは、特定の仮説またはより具体的な仮説を直接サポートする信念の量であり、その確率の下限を形成します。信念 (通常Belと表記) は、命題pを支持する証拠の強さを測定します。信念の範囲は、0 (証拠なしを示す) から 1 (確実性を示す) までです。 もっともらしさは、仮説との交差が空であるすべてのセットの質量の合計から 1 を引いたものです。または、仮説との交差が空でないすべてのセットの質量の合計として得ることもできます。これは仮説が真実である可能性の上限です。仮説に反する証拠は限られているためです。したがって、妥当性 (Pl で示される) は Bel と Pl( p ) = 1 − Bel(~ p ) で関連しています。妥当性も 0 から 1 の範囲で、~ p を支持する証拠がpを信じる余地を残す程度を測定します。

たとえば、「箱の中の猫は死んでいる」という命題に対して確信度が 0.5 であるとします。これは、命題が 0.5 の信頼度で真であると強く主張できる証拠があることを意味します。ただし、その仮説に反する証拠 (つまり、「猫は生きている」) の信頼度は 0.2 しかありません。残りの質量 0.3 (一方の支持証拠 0.5 ともう一方の反証証拠 0.2 の間のギャップ) は「不確定」であり、猫は死んでいるか生きているかのどちらかであることを意味します。この間隔は、システム内の証拠に基づく不確実性のレベルを表します。

「どちらでもない」仮説は定義によりゼロに設定されます (「解決なし」に対応)。直交仮説「生きている」と「死んでいる」の確率はそれぞれ 0.2 と 0.5 です。これは「生死猫検出器」信号に対応し、それぞれの信頼性は 0.2 と 0.5 です。最後に、すべてを網羅する「どちらでもない」仮説 (箱の中に猫がいることを単に認める) が不足を補い、質量の合計が 1 になります。「生きている」仮説と「死んでいる」仮説の確信は、サブセットがないため、対応する質量と一致します。「どちらでもない」の確信は、3 つの質量 (どちらでもない、生きている、死んでいる) の合計で構成されます。これは、「生きている」と「死んでいる」がそれぞれ「どちらでもない」のサブセットであるためです。 「生きている」の妥当性は 1 −  m (死亡): 0.5 で、「死亡」の妥当性は 1 −  m (生きている): 0.8 です。言い換えると、「生きている」の妥当性はm (生きている) + m (どちらか) で、「死亡」の妥当性はm (死亡) + m (どちらか) です。最後に、「どちらか」の妥当性はm (生きている) +  m (死亡) +  m (どちらか) になります。普遍仮説 (「どちらか」) は常に 100% の確信と妥当性を持ち、一種のチェックサムとして機能します。

ここで、信念と妥当性の振る舞いが現れ始める、もう少し複雑な例を示します。私たちは、さまざまな検出システムを通して、遠くにある単一の信号灯を見ています。この信号灯は、3 色 (赤、黄、緑) のうちの 1 つにしか色付けできません。

この種のイベントは、ここでの質量割り当て空間とは異なり、確率空間では別個のエンティティとしてモデル化されません。むしろ、「赤または黄色」というイベントは、「赤」と「黄色」のイベントの和集合と見なされ、(確率公理を参照) P (赤または黄色) ≥ P (黄色)、P (Any) = 1 となります。ここで、Any は赤、黄色、または緑を指します。DST では、 Anyに割り当てられた質量は、他のいずれの状態にも割り当てることができない証拠の割合を指します。これは、ここでは、光があることは示しているが、それが何色であるかについては何も示していない証拠を意味します。この例では、光が赤または緑であることを示す証拠の割合に、質量 0.05 が与えられます。このような証拠は、たとえば、R/G 色覚異常の人から得られる可能性があります。DST を使用すると、このセンサーの証拠の値を抽出できます。また、DST では、空集合は質量がゼロであると見なされます。つまり、ここでは信号灯システムが存在し、それが存在するかどうかを推測するのではなく、その可能な状態を調べていることになります。

異なる情報源からの信念は、様々な融合演算子と組み合わせることで、信念融合の特定の状況をモデル化することができます。例えば、デンプスターの結合規則では、ヒントの結合^{[5]や好みの結合[9]}などの独立した信念源によって決定される信念制約^[8]を結合します。互いに矛盾する命題からの確率質量は、独立した信念源間の衝突の尺度を得るために使用できることに注意してください。他の状況は、累積融合演算子でモデル化できる独立した情報源からの信念の累積融合など、さまざまな融合演算子でモデル化できます。^[10]

デンプスターの組み合わせ規則は、ベイズの規則のおおよその一般化として解釈されることがあります。この解釈では、事前確率と条件文を指定する必要がありません。これは、従来のベイズ法では対称性 (ミニマックス誤差) の議論を使用して事前確率をランダム変数に割り当てることが多いためです (たとえば、どちらがより可能性が高いかについての情報がないバイナリ値に 0.5 を割り当てるなど)。ただし、欠落している事前確率と条件文に含まれる情報は、間接的に取得できる場合を除き、デンプスターの組み合わせ規則では使用されません。その場合、ベイズ方程式を使用した計算に使用できると考えられます。

デンプスター・シェーファー理論では、このような状況において、統一性を高める事前確率を強制的に与えるのではなく、無知の程度を指定することができます。このような状況、およびリスクと無知の間に実際の違いがあるかどうかは、統計学者や経済学者によって広く議論されてきました。たとえば、ダニエル・エルズバーグ、ハワード・ライファ、ケネス・アロー、フランク・ナイトの対照的な見解を参照してください。^[要出典]

Xを宇宙、すなわち検討中のシステムのすべての可能な状態を表す集合とする。べき集合

${\displaystyle 2^{X}\,\!}$

は、空集合を含むXのすべての部分集合の集合です。たとえば、  ${\displaystyle \emptyset}$

${\displaystyle X=\left\{a,b\right\}\,\!}$

それから

${\displaystyle 2^{X}=\left\{\emptyset ,\left\{a\right\},\left\{b\right\},X\right\}.\,}$

べき集合の要素は、命題が真であるすべての状態のみを含むことによって、システムの実際の状態に関する命題を表すものとみなすことができます。

証拠理論は、冪集合の各要素に信念質量を割り当てる。正式には、関数

${\displaystyle m:2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}$

2つの特性を持つ場合、これは基本信念割り当て（BBA）と呼ばれます。まず、空集合の質量はゼロです。

${\displaystyle m(\emptyset )=0.\,\!}$

第二に、べき乗集合のすべての要素の質量を合計すると 1 になります。

${\displaystyle \sum _{A\in 2^{X}}m(A)=1.}$

べき集合の特定の要素であるAの質量m ( A ) は、実際の状態がAに属し、 Aの特定の部分集合には属さないという主張を裏付ける、関連性のある利用可能なすべての証拠の割合を表します。 m ( A )の値は集合Aにのみ関係し、定義によりそれぞれ独自の質量を持つAの部分集合に関する追加の主張は行いません。

質量割り当てから、確率区間の上限と下限を定義できます。この区間には、関心のあるセットの正確な確率（古典的な意味で）が含まれており、確信度（またはサポート）と妥当性と呼ばれる2つの非加法的な連続尺度によって制限されます。

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)\leq P(A)\leq \operatorname {pl} (A).}$

集合Aの信念ベル( A )は、関心のある集合の部分集合のすべての質量の合計として定義されます。

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B).\,}$

妥当性pl( A )は、関心集合Aと交差する集合Bのすべての質量の合計である。

${\displaystyle \operatorname {pl} (A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \emptyset }m(B).\,}$

2 つの対策は次のように相互に関連しています。

${\displaystyle \operatorname {pl} (A)=1-\operatorname {bel} ({\overline {A}}).\,}$

逆に、有限のAに対して、 Aのすべての部分集合Bの信念測度 bel( B )が与えられれば、次の逆関数で 質量m ( A ) を見つけることができます。

${\displaystyle m(A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}(-1)^{|AB|}\operatorname {bel} (B)\,}$

ここで、| A  −  B |は2つの集合の濃度の差である。^[4]

最後の2つの式から、有限集合Xの場合、他の2つを推論するには、3つ（質量、信念、または妥当性）のうち1つだけを知っていればよいことがわかります。ただし、特定の集合の他の値の1つを計算するには、多くの集合の値を知る必要がある場合があります。無限 X の場合、信念関数と妥当性関数は明確に定義できますが、質量関数は明確に定義できません。^[11]

私たちが現在直面している問題は、特定の状況で 2 つの独立した確率質量割り当てセットをどのように組み合わせるかということです。ヒントを与える場合や好みを表現する場合など、異なる情報源がフレーム上で信念制約の観点から信念を表現する場合、デンプスターの組み合わせ規則が適切な融合演算子です。この規則は、複数の情報源間で共通の信念を導き出し、正規化係数によってすべての矛盾する (共有されていない) 信念を無視します。信念制約を組み合わせる場合以外の状況でこの規則を使用することは、制約としてではなく累積的に統合される複数の情報源からの個別の信念推定を融合する場合など、深刻な批判を受けています。累積融合とは、さまざまな情報源からのすべての確率質量が導き出された信念に反映されるため、確率質量が無視されないことを意味します。

具体的には、組み合わせ（ジョイント質量と呼ばれる）は、2 つの質量セットm ₁とm ₂から次のように計算されます。

${\displaystyle m_{1,2}(\emptyset )=0\,}$

${\displaystyle m_{1,2}(A)=(m_{1}\oplus m_{2})(A)={\frac {1}{1-K}}\sum _{B\cap C=A\neq \emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C)\,\!}$

どこ

${\displaystyle K=\sum _{B\cap C=\emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C).\,}$

K は、2 つの質量セット間の競合の量を表す尺度です。

上記の正規化係数 1 −  K は、衝突を完全に無視し、衝突に関連する質量を空集合に帰属させる効果があります。したがって、次に示すように、この証拠の組み合わせルールは直感に反する結果を生み出す可能性があります。

次の例は、競合が激しい場合でも、好みの融合状況にデンプスターのルールを適用すると直感的な結果が生成される様子を示しています。

アリスとボブという 2 人の友人がある晩映画館で映画を見たいとします。上映される映画は X、Y、Z の 3 本だけです。アリスは映画 X を好む確率を 0.99 で表明し、映画 Y を好む確率はわずか 0.01 です。ボブは映画 Z を好む確率を 0.99 で表明し、映画 Y を好む確率はわずか 0.01 です。これらの好みをデンプスターの組み合わせ規則で組み合わせると、2 人が一緒に見に行くことに同意する唯一の映画が映画 Y であるため、組み合わせた好みは映画 Y の確率が 1.0 になります。

デンプスターの組み合わせの法則は、このように解釈すると、完全に矛盾する信念の場合でも直感的な結果を生み出します。アリスが映画 X を 1.0 の確率で好み、ボブが映画 Z を 1.0 の確率で好むと仮定します。彼らの好みをデンプスターの法則で組み合わせようとすると、この場合は定義されていないことがわかります。つまり、解はありません。これは、彼らが一緒に映画を見ることに同意できないため、その夜一緒に映画館に行かないことを意味します。ただし、好みを確率として解釈する意味論は曖昧です。それが今夜映画 X を見る確率を指している場合、排中律の誤謬に直面します。つまり、実際に発生するイベント、つまり今夜どの映画も見ないというイベントの確率質量は 0 です。

1979年にロトフィ・ザデー^{[12] [13] [14]}が、全く同じ数値の例を紹介し 、高いレベルの矛盾がある場合にデンプスターの法則によって直感に反する結果が生成されることを指摘した。その例は次の通りである。

信頼性が同等の医師が 2 人いて、1 人の医師は患者が脳腫瘍である確率 (つまり、基本的信念の割り当て、つまり bba または信念の質量) が 0.99 であるか、髄膜炎である確率がわずか 0.01 であると信じているとします。2 人目の医師は、患者が脳震盪である確率が 0.99 であると信じ、患者が髄膜炎である確率がわずか 0.01 であると信じています。デンプスターの規則を適用して、これら 2 つの信念の質量を組み合わせると、最終的にm (髄膜炎) = 1 (髄膜炎は 100 パーセントの信頼度で診断される) になります。

このような結果は常識に反する。なぜなら、両医師とも患者が髄膜炎に罹患している可能性は低いことに同意しているからだ。この例は、デンプスターの法則とデンプスター・シェーファー理論^{[15] [16]}の基礎の確固たる根拠を見つけようとしたり、この理論の矛盾点を示そうとする多くの研究の出発点となっている。^{[17] [18] [19]}

次の例は、衝突が少ない場合でも、デンプスターの法則によって直感に反する結果が生成される場合を示しています。

ある医師が、患者が脳腫瘍を患っている確率は0.99、髄膜炎を患っている確率はわずか0.01であると考えているとします。2人目の医師も、患者が脳腫瘍を患っている確率は0.99、脳震盪を患っている確率はわずか0.01であると考えています。デンプスターの法則でm（脳腫瘍）を計算すると、次のようになります。

${\displaystyle m({\text{脳腫瘍}})=\operatorname {Bel} ({\text{脳腫瘍}})=1.\,}$

この結果は、両医師ともその可能性が高いと考えていた脳腫瘍の診断を完全に裏付けるものである。この一致は、両医師の意見に含まれる 2 セットの証拠間の矛盾の程度が低いことから生じたものである。

どちらの場合でも、次のことが予想されます。

${\displaystyle m({\text{脳腫瘍}})<1{\text{ および }}\operatorname {Bel} ({\text{脳腫瘍}})<1,\,}$

他の診断に対する非ゼロの確信確率の存在は、脳腫瘍の診断に対する 完全な支持ではないことを意味するからです。

デンプスター・シェーファー理論と同様に、ベイズ信念関数は および という性質を持つ。しかし、3番目の条件は DS理論に包含されるが、緩和される: ^{[2] : p. 19}${\displaystyle \operatorname {bel} :2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}$${\displaystyle \operatorname {bel} (\emptyset )=0}$${\displaystyle \operatorname {bel} (X)=1}$

${\displaystyle {\text{A\cap B=\emptyset の場合、{\text{\operatorname {bel} (A\cup B)=\operatorname {bel} (A)+\operatorname {bel} (B) となります。}$

以下の条件のいずれかは、DS理論のベイズ的特殊ケースを意味する: ^{[2] : p. 37, 45}

• ${\displaystyle \operatorname {bel} (A)+\operatorname {bel} ({\bar {A}})=1{\text{ すべての }}A\subseteq X に対して。}$
• 有限のXの場合、信念関数のすべての焦点要素はシングルトンです。

2 つのアプローチの違いの例として、ベイジアンは車の色を (赤、緑、青) の確率分布としてモデル化し、各色に 1 つの数字を割り当てることができます。デンプスター・シェーファーは、(赤、緑、青、(赤または緑)、(赤または青)、(緑または青)、(赤または緑または青)) にそれぞれ数字を割り当てます。これらの数字は一貫している必要はありません。たとえば、Bel(赤)+Bel(緑) は Bel(赤または緑) と等しくする必要はありません。

したがって、ベイズの条件付き確率は、デンプスターの組み合わせ則の特殊なケースと見なすことができます。^{[2] : p. 19f。}しかし、ベイズの規則を直感的に望ましいものにする多くの（ほとんどではないにしても）特性を欠いているため、意味のある意味での一般化とは見なせないと主張する人もいます。^[20]たとえば、DS理論はコックスの定理の要件に違反しており、これは、DS理論が古典論理の首尾一貫した（矛盾のない）一般化とは見なされないことを意味します。具体的には、DS理論は、ステートメントが真か偽のいずれか（両方ではない）であるという要件に違反しています。その結果、DS理論はダッチブック議論の対象となり、DS理論を使用するエージェントは誰でも、確実に損失となる一連の賭けに同意することになります。

ベイズ近似^{[21] [22]}は、与えられたbpaを（離散）確率分布に還元する。つまり、識別フレームの単一部分集合のみが、の近似バージョンの焦点要素となることが許される。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\underline {m}}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\underline {m}}(A)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\sum \limits _{B|A\subseteq B}m(B)}{\sum \limits _{C}m(C)\cdot |C|}},&|A|=1\\&0,&{\text{otherwise}}\end{aligned}}\right.}$

単一状態仮説にのみ興味がある人にとっては便利です。

「ライト」の例でそれを実行できます。

ジューディア・パール（1988a、第9章、^[23] 1988b ^[24]および 1990）^[25]は、信念関数を「ある出来事の確率」または「さまざまな結果に割り当てられた確率に対する信頼度」または「命題に対する信念（または信頼、または信用）の度合い」または「状況に対する無知の度合い」のいずれかを表すと解釈するのは誤解を招くと主張した。信念関数は、代わりに、確率が割り当てられた他の命題の集合から、与えられた命題が証明可能である確率を表す。真実の確率と証明可能性の確率を混同すると、（1）不完全な知識の表現、（2）信念の更新、および（3）証拠のプールなどの推論タスクで直感に反する結果につながる可能性がある。彼はさらに、部分的な知識が信念関数法によって符号化および更新される場合、結果として得られる信念は合理的な決定の根拠として機能できないことを実証した。

Kłopotek と Wierzchoń ^{[26] は、 Dempster–Shafer 理論を（}ラフ集合理論の）決定表の統計の観点から解釈することを提案しました。これにより、証拠を組み合わせる演算子は、決定表の関係結合として見なされることになります。別の解釈では、MA Kłopotek と ST Wierzchoń ^[27]は、この理論を、たとえば一部の半導体製造プロセスのような、破壊的な材料処理（特性の損失を伴う）を説明するものとして見ることを提案しています。どちらの解釈でも、DST の推論は、引用された論文や他の研究者によって批判された以前の確率的解釈とは対照的に、正しい結果をもたらします。

ヨサンは、デンプスターの結合規則は実際には信念制約を融合する方法であることを証明しました。^[8]これは、信念の累積融合など、他の状況での近似融合演算子を表すだけですが、そのような状況では通常、誤った結果を生成します。したがって、デンプスターの規則の妥当性をめぐる混乱は、モデル化される状況の性質を正しく解釈できないことに起因します。デンプスターの結合規則は、異なるソースからの信念制約を融合する状況で常に正確で直感的な結果を生成します。

選好を考慮する際には、デンプスター・シェーファー理論で見られる実数直線の全順序の代わりに格子の部分順序を使用することもできる。実際、ギュンター・シュミットはこの修正を提案し、その方法を概説した。^[28]

基準集合Cと順序≤を持つ有界格子 Lが与えられたとき、シュミットは関係測度を、Cの冪集合からLへの関数μとして定義し、その関数μは( C )上の順序⊆に従うものとする。 ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle A\subseteq B\implies \mu (A)\leq \mu (B)}$

そして、μ は( C )の空部分集合をLの最小元にとり、C をLの最大値にとる。 ${\displaystyle \mathbb {P} }$

シュミットは、 μ をシェーファーの信念関数と比較し、デンプスターのアプローチを一般化する測定法を組み合わせる方法も検討しています（新しい証拠が以前に保持されていた証拠と組み合わされる場合）。また、関係積分を導入し、それをショケ積分およびスゲノ積分と比較しています。CとLの間の任意の関係m は、「直接評価」として導入され、関係の計算で処理されて可能性測定μが得られます。

• Yang, JB および Xu, DL証拠の組み合わせのための証拠推論ルール、人工知能、Vol.205、pp. 1–29、2013 年。
• Yager, RR, & Liu, L. (2008).信念関数のデンプスター-シェーファー理論の古典的研究。あいまいさとソフトコンピューティングの研究、v. 219。ベルリン: Springer。ISBN 978-3-540-25381-5。 
• Joseph C. Giarratano および Gary D. Riley (2005); Expert Systems: 原理とプログラミング、編集 Thomson Course Tech.、ISBN 0-534-38447-1 
• Beynon, M., Curry, B. および Morgan, P. Dempster–Shafer 証拠理論: 多基準意思決定モデリングへの代替アプローチ^{[リンク切れ‍ ]}、Omega、Vol.28、pp. 37–50、2000 年。

• BFAS: 信念の機能と応用の協会