最大弧

有限射影平面における最大弧とは、その射影平面における最大の ( k , d )弧のことです。有限射影平面の位数がqである場合 (任意の直線上にq + 1 個の点が存在する場合)、最大弧の場合、弧の点の数kは、弧のd + 1 個の点が同一直線上に存在しないという性質を持つ、最大 (= qd + d − q ) となります。

させて${\displaystyle \pi }$は次数qの有限射影平面である(必ずしもデサルグ平面である必要はない)。次数d (2 ≤ d ≤ q − 1) の最大弧は ( k , d )-弧である。${\displaystyle \pi }$ここで、kはパラメータdに関して最大​​であり、言い換えれば、k = qd + d − qである。

同様に、次数dの最大弧を次のように定義できます。${\displaystyle \pi }$Kを空でない点の集合とし、すべての直線が集合と 0 点またはd点で交わるようにする。

一部の著者は、最大弧の次数が 1、q、またはq + 1であることを許容している。 ^{[ 1 ]}射影平面上の次数qの最大 ( k , d ) 弧をKとすると、

• d = 1、Kは平面上の点、
• d = q、Kは直線の補集合（次数qのアフィン平面）であり、
• d = q + 1、Kは射影平面全体である。

これらのケースはすべて、任意のqの値に対して任意のタイプの射影平面に存在する最大弧の自明な例とみなされます。2 ≤ d ≤ q − 1 の場合、最大弧は非自明と呼ばれ、上記の定義と以下に列挙する性質はすべて非自明な最大弧に関するものです。

• 固定点pを通る直線のうち、最大弧K上にない直線で、Kとd点で交わるものの数は、${\displaystyle (q+1)-{\frac {q}{d}}}$したがって、d はqを割り切る。
• d = 2の特殊な場合、最大弧はハイパーオーバルとして知られており、 q が偶数の場合にのみ存在できます。
• 極大弧よりも点が1つ少ない弧Kは、 Kとd -1点で交わるすべての直線が交わる点をKに追加することで、常に一意に極大弧に拡張できる。 ^{[ 2 ]}
• 奇数qのPG(2, q )では、非自明な最大弧は存在しない。^{[ 3 ]}
• PG(2,2 ^{h ) では、次数 2 t}、1 ≤ t ≤ hごとに最大弧が存在する。^{[ 4 ]}

最大弧から派生した部分的な幾何学を構築することができる。 ^{[ 5 ]}

• K を次数dの最大弧とする。接続構造を考える。${\displaystyle S(K)=(P,B,I)}$ここで、Pは射影平面上でK上にないすべての点を含み、Bは射影平面上でKとd点で交わるすべての直線を含み、入射Iは自然な包含関係である。これは部分的な幾何学である 。${\displaystyle pg(qd,q-{\frac {q}{d}},q-{\frac {q}{d}}-d+1)}$。
• スペースを考慮してください${\displaystyle PG(3,2^{h})(h\geq 1)}$K を次数 の最大弧とする${\displaystyle d=2^{s}(1\leq s\leq m)}$2次元部分空間において${\displaystyle \pi }$発生構造について考えてみましょう。${\displaystyle T_{2}^{*}(K)=(P,B,I)}$ここで、P は、に含まれないすべての点を含む。${\displaystyle \pi }$B には、含まれていないすべての行が含まれます${\displaystyle \pi }$そして交差する${\displaystyle \pi }$K内の点において、Iは再び自然な包含関係となる。 ${\displaystyle T_{2}^{*}(K)}$これはまた部分的な幾何学です 。${\displaystyle pg(2^{h}-1,(2^{h}+1)(2^{m}-1),2^{m}-1)\,}$。

• ボール、S.ブロックハウス、A. Mazzocca, F. (1997)、「奇数次数のデサルグ平面の最大弧は存在しない」、Combinatorica、17 : 31–41、doi : 10.1007/bf01196129、MR 1466573、Zbl 0880.51003  
• Denniston, RHF (1969年4月)、「有限射影平面におけるいくつかの最大弧」、Journal of Combinatorial Theory、6 (3): 317–319、doi : 10.1016/s0021-9800(69)80095-5、MR 0239991、Zbl 0167.49106  
• Hirschfeld, JWP (1979), 『有限体上の射影幾何学』、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853526-3
• Mathon, Rudolf (2002)、「Desarguesian平面における新しい最大弧」、Journal of Combinatorial Theory、シリーズA、97 (2): 353–368、doi : 10.1006/jcta.2001.3218、MR 1883870、Zbl 1010.51009  
• JA (1974)、「最大円弧と部分幾何学の構築」、Geometriae Dedicata、3 : 61–64、doi : 10.1007/bf00181361、MR 0349437、Zbl 0285.50018