虚数超楕円曲線

超楕円曲線は、代数曲線の特別な種類です。あらゆる種数 の超楕円曲線が存在します。超楕円曲線の種数が 1 に等しい場合、その曲線は単に楕円曲線と呼ばれます。したがって、超楕円曲線は楕円曲線の一般化と見ることができます。ある体上の楕円曲線上にある点の集合にはよく知られた群構造があり、弦と接線を使用して幾何学的に記述できます。この群構造を超楕円の場合に一般化することは簡単ではありません。超楕円曲線上にある点の集合に同じ群法則を定義することはできませんが、代わりに、超楕円曲線のいわゆるヤコビアン上に群構造を定義できます。計算は、無限遠点の数によって異なります。虚数超楕円曲線は、無限遠点がちょうど 1 つある超楕円曲線です。実数超楕円曲線は、無限遠点が 2 つあります。 ${\displaystyle g\geq 1}$ ${\displaystyle K}$

超楕円曲線は、任意の特性の体上で定義できます。したがって、任意の体とその代数閉包について考えます。上の種数 の (虚数) 超楕円曲線は、の形式の方程式で与えられます 。ここ で、は次数 以下の多項式で、は次数のモニック多項式です。さらに、曲線には特異点がないことが必要です。ここでの設定では、これは、 と の両方の方程式を満たす点がないことを意味します。この定義は、一般の場合にはも次数を持つ可能性があるという点で、一般的な超楕円曲線の定義と異なります。ここからは、文献でよく行われるように、形容詞「虚数」を省いて、単に超楕円曲線について語ります。この場合は が3 次多項式であることに対応し、楕円曲線の定義と一致することに注意してください。曲線を座標 の射影平面上にあるものとして見ると、曲線上に特定の点、つまりで表される無限遠点があることがわかります。したがって、 と書くことができます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)\in K[x,y]}$$${\displaystyle h(x)\in K[x]}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x)\in K[x]}$${\displaystyle 2g+1}$${\displaystyle (x,y)\in {\overline {K}}\times {\overline {K}}}$${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle 2y+h(x)=0}$${\displaystyle h'(x)y=f'(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 2g+2}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(K)}$${\displaystyle (X:Y:Z)}$ ${\displaystyle (0:1:0)}$${\displaystyle O}$${\displaystyle C=\{(x,y)\in K^{2}|y^{2}+h(x)y=f(x)\}\cup \{O\}}$

に等しくない点が曲線上にあると仮定し、 について考えます。は と簡略化できるため、も曲線上の点であることがわかります。は の反対と呼ばれ、の場合、つまり の場合、 はワイエルシュトラス点と呼ばれます。さらに、 の反対はと単純に定義されます。 ${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle O}$${\displaystyle {\overline {P}}=(a,-bh(a))}$${\displaystyle (-bh(a))^{2}+h(a)(-bh(a))}$${\displaystyle b^{2}+h(a)b}$${\displaystyle {\overline {P}}}$${\displaystyle {\overline {P}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P={\overline {P}}}$${\displaystyle h(a)=-2b}$${\displaystyle O}$${\displaystyle {\overline {O}}=O}$

超楕円曲線の定義は、 の特性が2 に等しくないことを条件とすれば、多少簡略化できます。これを確かめるために、 との変数変換を考えます。これは、 の場合に意味をなします。この変数変換のもとで、をに書き直すと、 は に書き直すことができます。 およびは次数 のモニック多項式であることが分かっています。これは、 を含む体上で、種数 のすべての超楕円曲線が、 の形式 の方程式で与えられる曲線と同型であることを意味します。ここで、 は次数 のモニック多項式であり、曲線には特異点がありません。この形式の曲線では、非特異性基準が満たされているかどうかを簡単に確認できます。曲線上の点が特異であるためには、かつ である必要があります。 およびであるため、 であり、したがって の重根である必要があります。曲線に重根がない場合に限り、曲線に特異点がないと結論付けられます。 char の場合、超楕円曲線の定義は非常に簡単ですが、超楕円曲線暗号では特性 2 の体が広く使用される ため、特性 2 の体を忘れてはなりません。${\displaystyle K}$${\displaystyle x\rightarrow x}$${\displaystyle y\rightarrow y-{\frac {h(x)}{2}}}$${\displaystyle (K)\not =2}$${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\textstyle \left(y-{\frac {h(x)}{2}}\right)^{2}+h(x)\left(y-{\frac {h(x)}{2}}\right)=f(x)}$${\displaystyle y^{2}=f(x)+{\frac {h(x)^{2}}{4}}}$${\displaystyle \deg(h)\leq g}$${\displaystyle \deg(h^{2})\leq 2g}$${\displaystyle f(x)+{\frac {h(x)^{2}}{4}}}$${\displaystyle 2g+1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (K)\not =2}$${\displaystyle g}$${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 2g+1}$${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle f'(a)=0}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle b^{2}=f(a)}$${\displaystyle f(a)=0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (K)\not =2}$

例として、上のを考えます。は次数が 5 で根がすべて異なるため、は種数 の曲線です。 そのグラフは図 1 に示されています。 ${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$${\displaystyle f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g=2}$

この図から、弦と接線の法則を使用して超楕円曲線の点の集合に関する群法則を定義することはできないことがすぐにわかります。楕円曲線の群法則は、楕円曲線上にある 2 点を通る直線には、曲線との唯一の 3 番目の交点があるという事実に基づいています。 は曲線上にあるため、これは常に真であることに注意してください。 のグラフから、任意の超楕円曲線に対してこれが当てはまる必要がないことは明らかです。実際、ベズーの定理では、直線と種数 2 の超楕円曲線は 5 つの点で交差するとされています。したがって、上にある 2 点を通る直線には、唯一の 3 番目の交点はなく、他の 3 つの交点があります。 ${\displaystyle O}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

CのK上の座標環は次のように定義される。

${\displaystyle K[C]=K[x,y]/(y^{2}+h(x)yf(x)).}$

多項式は 上で既約なので、 ${\displaystyle r(x,y)=y^{2}+h(x)yf(x)}$${\displaystyle {\overline {K}}}$

${\displaystyle {\overline {K}}[C]={\overline {K}}[x,y]/(y^{2}+h(x)yf(x))}$

は整域である。

任意の多項式関数は 次のように一意に記述できることに注意する。${\displaystyle G(x,y)\in {\overline {K}}[C]}$

${\displaystyle G(x,y)=u(x)-v(x)y}$  と${\displaystyle u(x),v(x)\in {\overline {K}}[x]}$

多項式関数G ( x , y ) = u ( x ) − v ( x ) yの共役は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\overline {K}}[C]}$

${\displaystyle {\overline {G}}(x,y)=u(x)+v(x)(h(x)+y).}$

Gのノルムは多項式関数です。N ( G ) = u ( x ) ² + u ( x ) v ( x ) h ( x ) − v ( x ) ² f ( x )であることに注意します。したがって、N ( G ) は1 つの変数のみの多項式です。 ${\displaystyle N(G)=G{\overline {G}}}$

G ( x , y ) = u ( x ) − v ( x ) ⋅ yのとき、 Gの次数は次のように定義される。

${\displaystyle \deg(G)=\max[2\deg(u),2g+1+2\deg(v)].}$

プロパティ:

${\displaystyle \deg(G)=\deg _{x}(N(G))}$

${\displaystyle \deg(GH)=\deg(G)+\deg(H)}$

${\displaystyle \deg(G)=\deg({\overline {G}})}$

CのK上の関数体 K(C)はK[C]の分数体であり、 CのK上の関数体は の分数体です。 の元はC上の有理関数と呼ばれます。Rがそのような有理関数でP がC上の有限点である場合、R = G/HかつH(P) ≠ 0となる多項式関数G, H が存在するとき、 RはPで定義されていると言われ、そのときPでのRの値は ${\displaystyle {\overline {K}}(C)}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle {\overline {K}}[C]}$${\displaystyle {\overline {K}}(C)}$

${\displaystyle R(P)=G(P)/H(P).}$

C上の有限でない点P (つまりP = )に対して、 R(P) を次のように定義します。${\displaystyle O}$

すると、すなわちR はOでゼロになります。${\displaystyle \deg(G)<\deg(H)}$ ${\displaystyle R(O)=0}$

が定義されていない場合、つまりR はOに極を持ちます。${\displaystyle \deg(G)>\deg(H)}$ ${\displaystyle R(O)}$ 

の場合、 はGとHの主要係数の比です。${\displaystyle \deg(G)=\deg(H)}$ ${\displaystyle R(O)}$ 

およびについては、 ${\displaystyle R\in {\overline {K}}(C)^{*}}$${\displaystyle P\in C}$

すると、RはPで零点を持つと言われます。${\displaystyle R(P)=0}$

RがPで定義されていない場合、R はPに極を持つと言われ、 と書きます。${\displaystyle R(P)=\infty }$

およびの場合、 PにおけるGの位数は次のように定義されます。 ${\displaystyle G=u(x)-v(x)\cdot y\in {\overline {K}}[C]^{2}}$${\displaystyle P\in C}$

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=r+s}$P = ( a , b )がワイエルシュトラスでない有限点である場合。ここでr はu ( x )とv ( x )の両方を割り切る( x − a )の最大の累乗です。G ( x , y ) = ( x − a ) ^r ( u ₀ (x) − v ₀ ( x ) y )と書き、u ₀ ( a ) − v ₀ ( a ) b = 0の場合、sはN ( u ₀ ( x ) − v ₀ ( x ) y ) = u ₀ ² + u ₀ v ₀ h − v ₀ ² fを割り切る( x − a )の最大の累乗です。それ以外の場合はs = 0です。

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=2r+s}$P = ( a , b )が有限のワイエルシュトラス点である場合、 rとs は上記のようになります。

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=-\deg(G)}$P = Oの場合。

ヤコビアンを定義するには、まず因子の概念が必要です。ある体 上の超楕円曲線を考えます。次に、因子を内の点の形式的な和、つまりおよびが有限集合であるものとして定義します。これは、因子が点のスカラー倍数の有限な形式的な和であることを意味します。 を単一点によって簡略化することはできないことに注意してください (楕円曲線との類似性から予想されるように)。さらに、 の次数を と定義します。曲線のすべての因子の集合は、次のように点ごとに加算が定義されるアーベル群を形成します。 が恒等元として機能し、 の逆が に等しいことは容易にわかります。次数 0 のすべての因子の集合は、のサブグループであることが簡単に確認できます。証明。によって定義される写像を考えます。 は通常の加算の下で群を形成することに注意してください。すると、および したがって は群準同型です。さて、はこの準同型の核であり、したがって の部分群です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\textstyle D=\sum _{P\in C}{c_{P}[P]}}$${\displaystyle c_{P}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{c_{P}\mid c_{P}\neq 0\}}$${\displaystyle c_{P}[P]}$${\displaystyle D}$${\textstyle \deg(D)=\sum _{P\in C}{c_{P}}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$${\displaystyle C}$${\textstyle \sum _{P\in C}{c_{P}[P]}+\sum _{P\in C}{d_{P}[P]}=\sum _{P\in C}{(c_{P}+d_{P})[P]}}$${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$${\textstyle \sum _{P\in C}{c_{P}[P]}}$${\textstyle \sum _{P\in C}{-c_{P}[P]}}$${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)=\{D\in \mathrm {Div} (C)\mid \deg(D)=0\}}$${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$
${\displaystyle \varphi :\mathrm {Div} (C)\rightarrow \mathbb {Z} }$${\displaystyle \varphi (D)=\deg(D)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\textstyle \varphi (\sum _{P\in C}{c_{P}[P]}+\sum _{P\in C}{d_{P}[P]})=\varphi (\sum _{P\in C}{(c_{P}+d_{P})[P]})=\sum _{P\in C}{c_{P}+d_{P}}=\sum _{P\in C}{c_{p}}+\sum _{P\in C}{d_{p}}=\varphi (\sum _{P\in C}{c_{P}[P]})+\varphi (\sum _{P\in C}{d_{P}[P]})}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)}$${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$

関数 を考えてみましょう。すると、形式的な和 div を見ることができます。ここで はにおけるの位数を表します。に位数の極がある場合、ord は、が で定義され非ゼロの場合、 ord はで位数の零点を持つことがわかります。^[1]には有限個の零点と極しかなく、^[2]したがって有限個の ord だけが非ゼロであることが示されます。これは divが因子であることを意味します。さらに、 であるため、^[2]は次数 0 の因子です。このような因子、つまり何らかの有理関数 から得られる因子は主因子と呼ばれ、すべての主因子の集合はのサブグループです。証明。恒等元は非ゼロの定数関数から得られます。 が、および からそれぞれ得られる 2 つの主因子であるとします。次には関数 から得られるため、も主因子です。は加法と逆元に対して閉じており、部分群になるという 結論が導かれます。${\displaystyle f\in {\overline {K}}(C)^{*}}$${\textstyle (f)=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)[P]}}$${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle _{P}(f)<0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\mathrm {ord} _{P}(f)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f}$${\displaystyle _{P}(f)}$${\displaystyle (f)}$${\textstyle \sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)}=0}$${\displaystyle \operatorname {div} (f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {Princ} (C)}$${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)}$
${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$${\textstyle D_{1}=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)[P]},D_{2}=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(g)[P]}\in \mathrm {Princ} (C)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\textstyle D_{1}-D_{2}=\sum _{P\in C}{(\mathrm {ord} _{P}(f)-\mathrm {ord} _{P}(g))[P]}}$${\displaystyle f/g}$${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$${\displaystyle \mathrm {Princ} (C)}$

これで、 のヤコビアンまたはピカール群と呼ばれる商群 を定義できます。 2 つの因子は、 の同じ元に属する場合、同値と呼ばれます。これは、 が主因子である場合に限ります。たとえば、体上の超楕円曲線と上の点を考えてみましょう。有理関数はと の両方に の位数の零点を持ち、に の位数の極を持ちます。したがって、 が見つかり、がワイエルシュトラス点である 場合、これを と簡略化できます。${\displaystyle J(C):=\mathrm {Div} ^{0}(C)/\mathrm {Princ} (C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D_{1},D_{2}\in \mathrm {Div} ^{0}(C)}$${\displaystyle J(C)}$${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$${\displaystyle f(x)=(x-a)^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {P}}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \operatorname {div} (f)=nP+n{\overline {P}}-2nO}$${\displaystyle \operatorname {div} (f)=2nP-2nO}$${\displaystyle P}$

楕円曲線の場合、ヤコビ行列はこの曲線上の点の集合上の通常の群に単純に同型であることがわかり、これは基本的にアーベル・ヤコビの定理 の系です。これを理解するために、体 上の楕円曲線を考えてみましょう。最初のステップは、曲線上のすべての点に因子 を関連付けることです。上の点に、特に単位元 にリンクされた 内の因子 を関連付けます。これで、の類にリンクすることにより、各点にの要素を関連付けることができます。これは、 によって表される。すると、上の点群からによって定義されるのヤコビ行列への写像は、群準同型になります。これは、 上の 3 つの点を加算して になることを見ることで示せます。つまり、または をとります。ここで、ヤコビ行列上の加法則を楕円曲線上の幾何学的群法則に関連付けます。と を幾何学的に加算することは、 とを通る直線を引くことであり、この直線は曲線と別の 1 つの点で交差します。次に、 をこの点の反対として定義します。したがって、 の場合、これら 3 つの点は同一線上に存在するため、 、および を満たす線型関数が存在します。ここで、はの単位元であり、は有理関数の約数であるため、主約数です。 と結論付けます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle D_{P}=1[P]-1[O]}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O-O=0}$${\displaystyle J(E)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D_{P}}$${\displaystyle [D_{P}]}$${\displaystyle \varphi :E\to J(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi (P)=[D_{P}]}$${\displaystyle E}$${\displaystyle O}$${\displaystyle P,Q,R\in E}$${\displaystyle P+Q+R=O}$${\displaystyle P+Q=-R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P+Q}$${\displaystyle P+Q+R=O}$${\displaystyle f\in K[x,y]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle \varphi (P)+\varphi (Q)+\varphi (R)=[D_{P}]+[D_{Q}]+[D_{R}]=[[P]+[Q]+[R]-3[O]]}$${\displaystyle J(E)}$${\displaystyle [P]+[Q]+[R]-3[O]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi (P)+\varphi (Q)+\varphi (R)=\varphi (O)=\varphi (P+Q+R)}$

アベル・ヤコビの定理によれば、3次曲線上の点に対する通常の加法則の下で、因子が主因子となるのは、かつその場合に限ります。2つの因子が同値となるのは、かつその場合に限り、主因子となるため、と が同値となるのは、かつその場合に限ります。ここで、次数0のあらゆる非自明な因子は、形式 の因子と同値であるため、これは、あらゆるクラス に点を帰属させる方法を見つけたことを意味します。つまり、点 を に帰属させます。これは、 にマップされる中立元 0 に拡張されます。そのため、によって定義されるマップはの逆マップです。したがって、は実際には群同型 であり、と が同型であることを証明しています。 ${\textstyle D=\sum _{P\in E}{c_{P}[P]}}$${\displaystyle D}$${\textstyle \sum _{P\in E}{c_{P}P}=O}$${\displaystyle D_{1},D_{2}\in \mathrm {Div} ^{0}(E)}$${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$${\textstyle D_{1}=\sum _{P\in E}{c_{P}[P]}}$${\textstyle D_{2}=\sum _{P\in E}{d_{P}[P]}}$${\textstyle \sum _{P\in E}{c_{P}P}=\sum _{P\in E}{d_{P}P}}$${\displaystyle [P]-[O]}$${\displaystyle E}$${\displaystyle [D_{P}]}$${\displaystyle [D_{P}]=[1[P]-1[O]]}$${\displaystyle (P-O)+O=P}$${\displaystyle 0+O=O}$${\displaystyle \psi :J(E)\rightarrow E}$${\displaystyle \psi ([D_{P}])=P}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle J(E)}$

一般的な超楕円の場合はもう少し複雑です。体 上の種数 の超楕円曲線を考えます。の因子は、すべての に対して、に対してとなる形式を持つ場合、被約因子と呼ばれます。被約因子は常に次数 0 であり、 の場合となる可能性がありますが、 がワイエルシュトラス点でない場合に限ります。各因子に対して、 がと同値となるような唯一の被約因子が存在することが証明できます。^[3]したがって、商群のすべてのクラスには、正確に 1 つの被約因子があります。 を見る代わりに、すべての被約因子の集合を見ることができます。 ${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\textstyle D=\sum _{i=1}^{k}{[P_{i}]}-k[O]}$${\displaystyle k\leq g}$${\displaystyle P_{i}\not =O}$${\displaystyle i=1,\dots ,k}$${\displaystyle P_{i}\not ={\overline {P_{j}}}}$${\displaystyle i\not =j}$${\displaystyle P_{i}=P_{j}}$${\displaystyle i\not =j}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle D\in \mathrm {Div} ^{0}(C)}$${\displaystyle D'}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D'}$${\displaystyle J(C)}$${\displaystyle J(C)}$

既約因子を見る便利な方法は、それらの Mumford 表現を介することです。この表現の因子は、がモニックであり、であるような多項式のペアで構成されます。すべての非自明な既約因子は、そのような多項式の一意のペアで表すことができます。これは、 を因数分解することで確認でき、これは がモニックであるように行うことができます。および上の最後の条件は、点がすべての に対して上にあることを意味します。したがって は因子であり、実際にそれが既約因子であることを示すことができます。たとえば、条件はであることが保証されます。これにより、既約因子と Mumford 表現の因子の間に 1 対 1 の対応が得られます。例として、は の単位元に属する一意の既約因子です。その Mumford 表現はおよびです。これで、既約因子とその Mumford 表現の間を行ったり来たりすることが簡単にできるようになりました。たとえば、実数上の種数 2 の超楕円曲線を考えます。曲線、および上に次の点を見つけることができます。次に、約数因子およびを定義できます。 の Mumford 表現は、およびを伴う多項式で構成され、およびの最初の座標、つまり 1 および 3 は、 のゼロでなければならないことが分かっています。したがって、が成り立ちます。および であるため、 および が成り立つ必要があり、したがって次数 1 を持ちます。これらの特性を持つ次数 1 の多項式は 1 つだけ存在し、つまり です。したがって、 の Mumford 表現はおよびです。同様に、のMumford 表現を見つけることができ、および が成り立ちます。重複度n の点が現れる場合、 に対して多項式v は を満たす必要があります 。 ${\displaystyle u,v\in K[x]}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \deg(v)<\deg(u)\leq g}$${\displaystyle u|v^{2}+vh-f}$${\textstyle u(x)=\prod _{i=1}^{k}{(x-x_{i})}}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P_{i}=(x_{i},v(x_{i}))}$${\displaystyle C}$${\displaystyle i=1,...,k}$${\textstyle D=\sum _{i=1}^{k}{[P_{i}]}-k[O]}$${\displaystyle \deg(u)\leq g}$${\displaystyle k\leq g}$${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$${\displaystyle J(C)}$${\displaystyle u(x)=1}$${\displaystyle v(x)=0}$${\displaystyle C:y^{2}=x^{5}-4x^{4}-14x^{3}+36x^{2}+45x=x(x+1)(x-3)(x+3)(x-5)}$${\displaystyle P=(1,8)}$${\displaystyle Q=(3,0)}$${\displaystyle R=(5,0)}$${\displaystyle D=[P]+[Q]-2[O]}$${\displaystyle D'=[P]+[R]-2[O]}$${\displaystyle D}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \deg(v)<\deg(u)\leq g=2}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u(x)=(x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3}$${\displaystyle P=(1,v(1))}$${\displaystyle Q=(3,v(3))}$${\displaystyle v(1)=8}$${\displaystyle v(3)=0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v(x)=-4x+12}$${\displaystyle D}$${\displaystyle u(x)=x^{2}-4x+3}$${\displaystyle v(x)=-4x+12}$${\displaystyle (u',v')}$${\displaystyle D'}$${\displaystyle u'(x)=(x-1)(x-5)=x^{2}-6x+5}$${\displaystyle v(x)=-2x+10}$${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$${\textstyle \left.\left({\frac {d}{dx}}\right)^{j}\left[v(x)^{2}+v(x)h(x)-f(x)\right]\right|_{x=x_{i}}=0}$${\displaystyle 0\leq j\leq n_{i}-1}$