実超楕円曲線

数学では、代数曲線の一種である超楕円曲線には、実超楕円曲線と虚超楕円曲線の 2 種類があり、これらは無限遠点の数によって異なります。超楕円曲線は、あらゆる種数に対して存在します。有限体上の超楕円曲線の一般式は、特定の条件を満たす によって与えられます 。このページでは、実超楕円曲線について詳しく説明します。実超楕円曲線は無限遠点に 2 つの点を持つ曲線ですが、虚超楕円曲線は無限遠点に 1 つの点を持ちます。 ${\displaystyle g\geq 1}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)\in K[x,y]}$$${\displaystyle h(x),f(x)\in K}$

K上の種数gの実超楕円曲線は、の次数がg +1以下で、の次数が 2 g +1 または 2 g +2 でなければならない、という形式の方程式によって定義されます。この曲線は、の代数閉包内のどの点も曲線方程式と、およびの両方の偏微分方程式を満たすことのない非特異曲線です。C上の (有限) -有理点の集合は、 によって与えられます 。 ここで、 は無限大点の集合です。実超楕円曲線では、無限大には 2 つの点、および が存在します。任意の点 に対して、 の反対の点はによって与えられます。これは、曲線上にある x座標aを持つもう 1 つの点です。${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle h(x)\in K}$${\displaystyle f(x)\in K}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle 2y+h(x)=0}$${\displaystyle h'(x)y=f'(x)}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle C(K)=\left\{(a,b)\in K^{2}\mid b^{2}+h(a)b=f(a)\right\}\cup S}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle \infty_{1}}$${\displaystyle \infty_{2}}$${\displaystyle P(a,b)\in C(K)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {P}}=(a,-bh)}$

を と すると、 は6 次なので、 は種数g = 2 の曲線です。${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$$${\displaystyle f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x=x(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)(x+3)}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle \deg f(x)=2g+2}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle C}$

曲線方程式の同次バージョンは、次のように与えられます。 これは 、(0:1:0) で与えられる単一の無限大点を持ちますが、この点は特異です。の爆発には、無限大点が 2 つあり、それぞれおよび と表記します。したがって、この曲線は実超楕円曲線の例です。 $${\displaystyle Y^{2}Z^{4}=X^{6}+3X^{5}Z-5X^{4}Z^{2}-15X^{3}Z^{3}+4X^{2}Z^{4}+12XZ^{5}.}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle \infty _{1}}$${\displaystyle \infty _{2}}$

一般に、fが偶数次である方程式によって与えられるすべての曲線は、無限遠点に 2 つの点を持ち、実超楕円曲線である。一方、 fが奇数次である方程式によって与えられる曲線は、(0:1:0) 上の拡大点に 1 つの点しか持たないため、虚超楕円曲線である。どちらの場合も、曲線のアフィン部分は非特異であると仮定している (上記の導関数の条件を参照)。

実超楕円曲線では、楕円曲線のように点の加法は定義されず、因子とヤコビアン の加法が定義されます。を有限体K上の種数gの超楕円曲線とします。上の因子は上の点の形式的な有限和です。とをほぼすべての に対して書きます 。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle D=\sum _{P\in C}{n_{P}P}}$$${\displaystyle n_{P}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle n_{p}=0}$${\displaystyle P}$

の次数はによって定義され、 上のすべての自己同型σに対してが成り立つとき、上で定義されていると言われる。上で定義されたの約数集合は、加法規則の下で 加法アーベル群を形成する。${\textstyle D=\sum _{P\in C}{n_{P}P}}$$${\displaystyle \deg(D)=\sum _{P\in C}{n_{P}}.}$$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle K}$${\textstyle D^{\sigma }=\sum _{P\in C}n_{P}P^{\sigma }=D}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Div(K)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \sum a_{P}P+\sum b_{P}P=\sum {(a_{P}+b_{P})P}.}$$

上で定義されたのすべての次数ゼロの因子の集合はの部分群です。 ${\displaystyle Div^{0}(K)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Div(K)}$

例を挙げてみましょう:

と とします。これらを加えると となります。 の次数はであり、 の次数はです。すると、${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}}$${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}}$${\displaystyle D_{1}+D_{2}=7P_{1}+9P_{2}}$${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle \deg(D_{1})=6+4=10}$${\displaystyle D_{2}}$${\displaystyle \deg(D_{2})=1+5=6}$${\displaystyle \deg(D_{1}+D_{2})=\deg(D_{1})+\deg(D_{2})=16.}$

多項式 の場合、 の約数はによって定義されます 。 関数 が点で極を持つ場合、におけるの消滅の位数は です。がの多項式であると仮定すると、有理関数 の約数は主約数と呼ばれ、 によって定義されます。 主約数の群を、つまりと表します。上ののヤコビアンはによって定義されます。 因子群はの約数類群とも呼ばれます。 上で定義される要素は群 を形成します。におけるの類によって表します。 ${\displaystyle G\in K[C]}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle \mathrm {div} (G)=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} }_{P}(G)P.}$$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle -{\mathrm {ord} }_{P}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G,H}$${\displaystyle K[C]}$${\displaystyle F=G/H}$${\displaystyle \mathrm {div} (F)=\mathrm {div} (G)-\mathrm {div} (H)}$${\displaystyle P(K)}$${\displaystyle P(K)=\{\mathrm {div} (F)\mid F\in K(C)\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle J=Div^{0}/P}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle J(K)}$${\displaystyle {\overline {D}}\in J(K)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Div^{0}(K)/P(K)}$

2 点が無限大 である実超楕円曲線の因子類を表す標準的な方法が 2 つあります。1 つ目は、 となる 0 次因子を で表すことです。ここで、、 の場合の代表は半被約と呼ばれます。 が追加条件を満たす場合、代表は被約と呼ばれます。^[1]あるiに対して が許されることに注意してください。したがって、すべての 0 次因子類には と なる一意の代表が含まれます。 ここで は、 および、 の両方と互いに素な因子です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle S=\{\infty _{1},\infty _{2}\}}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\textstyle D=\sum _{i=1}^{r}P_{i}-r\infty _{2}}$${\displaystyle P_{i}\in C({\bar {\mathbb {F} }}_{q})}$${\displaystyle P_{i}\not =\infty _{2}}$${\displaystyle P_{i}\not ={\bar {P_{j}}}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle r\leq g}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P_{i}=\infty _{1}}$${\displaystyle {\bar {D}}}$$${\displaystyle D=D_{x}-\deg(D_{x})\infty _{2}+v_{1}(D)(\infty _{1}-\infty _{2}),}$$${\displaystyle D_{x}}$${\displaystyle \infty _{1}}$${\displaystyle \infty _{2}}$${\displaystyle 0\leq \deg(D_{x})+v_{1}(D)\leq g}$

もう 1 つの表現は無限大でバランスが取れています。とします。この約数は、点とが独立に有理数でなくても有理数であることに注意してください。 クラスの代表をと書きます。ここで はアフィン部分と呼ばれ、と は含まれません。 とします。が偶数の 場合、${\displaystyle D_{\infty }=\infty _{1}+\infty _{2}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \infty _{1}}$${\displaystyle \infty _{2}}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\displaystyle D=D_{1}+D_{\infty }}$${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle \infty _{1}}$${\displaystyle \infty _{2}}$${\displaystyle d=\deg(D_{1})}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle D_{\infty }={\frac {d}{2}}(\infty _{1}+\infty _{2}).}$$

が奇数の 場合 、例えば2つの約数のアフィン部分が次のように与えられるとします。 ${\displaystyle d}$$${\displaystyle D_{\infty }={\frac {d+1}{2}}\infty _{1}+{\frac {d-1}{2}}\infty _{2}.}$$

${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}}$そして${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}}$

すると、バランスの取れた約数は

${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}-5D_{\infty _{1}}-5D_{\infty _{2}}}$そして${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}-3D_{\infty _{1}}-3D_{\infty _{2}}}$

を体 上の実二次曲線とする。 に次数 1 の分岐素因数が存在する場合、虚二次曲線への双有理変換を実行できます。 （有限または無限の）点は、それ自身の反対に等しい場合、分岐していると言われます。これは、 、つまり であることを意味します。が分岐している場合、 は分岐素因数です。^[2]${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P=(a,b)={\overline {P}}=(a,-b-h(a))}$${\displaystyle h(a)+2b=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D=P-\infty _{1}}$

分岐有理有限点を持つ種数 の実超楕円曲線は、種数 の虚数モデルと双有理的に同値である。つまり、関数体は に等しい。 ^[3]ここで、 ${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle C':y'^{2}+{\bar {h}}(x')y'={\bar {f}}(x')}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \deg({\bar {f}})=2g+1}$${\displaystyle K(C)=K(C')}$

の例では、h ( x )は 0 に等しくなります。任意の点 に対して、 は0 に等しく、したがってPが分岐するための要件は になります。 と を代入すると、 が得られます。ここで、 、すなわち です。 ${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$${\displaystyle f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x}$${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle h(a)}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle h(a)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(a)=0}$${\displaystyle f(a)=a(a-1)(a-2)(a+1)(a+2)(a+3)}$${\displaystyle a\in \{0,1,2,-1,-2,-3\}}$

( i ) から、およびが得られます。g = 2 の場合、が得られます。 ${\textstyle x={\frac {ax'+1}{x'}}}$${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{g+1}}}}$${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$

例えば、と とすると、 ${\displaystyle a=1}$${\textstyle x={\frac {x'+1}{x'}}}$${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$$${\displaystyle \left({\frac {y'}{x'^{3}}}\right)^{2}={\frac {x'+1}{x'}}\left({\frac {x'+1}{x'}}+1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}+2\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}+3\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-2\right).}$$

分母を除去するために、この式に を掛けると、次の 曲線が得られます 。ここで${\displaystyle x^{6}}$$${\displaystyle y'^{2}=(x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')}$$$${\displaystyle C':y'^{2}={\bar {f}}(x')}$$$${\displaystyle {\bar {f}}(x')=(x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')=-24x'^{5}-26x'^{4}+15x'^{3}+25x'^{2}+9x'+1.}$$

${\displaystyle C'}$は次数なので虚数 2 次曲線です。 ${\displaystyle {\bar {f}}(x')}$${\displaystyle 2g+1}$