位相流体力学

位相幾何学的概念は、運動学レベルで流体力学（磁気流体力学を含む）に関連しています。これは、流体の流れには、輸送されるスカラー場またはベクトル場の連続的な変形が伴うためです。撹拌と混合の問題は、特に位相幾何学的手法の影響を受けやすいです。したがって、たとえば、サーストン・ニールセン分類は、時間周期的な「撹拌プロトコル」に従って任意の数の撹拌子で 2 次元的に撹拌する問題に効果的に適用されています (Boyland、Aref、Stremler 2000)。その他の研究では、混沌とした粒子経路を持つ流れと、それに伴う指数関数的な混合率について検討されています (Ottino 1989)。

力学レベルでは、古典的なオイラー方程式によって支配される流れによって渦線が輸送されるという事実は、流れ内の渦構造が保存されることを意味します。このような構造は、方程式の位相不変量である流れ場の特定のサブ領域のらせん性によって少なくとも部分的に特徴付けられます。らせん性は、恒星や惑星における磁場の自然発生の理論であるダイナモ理論において中心的な役割を果たしています (Moffatt 1978、Parker 1979、Krause & Rädler 1980)。いくつかの例外を除き、十分に大きな導電性流体の広がりにおける、平均らせん性がゼロでない統計的に均質な乱流は、ダイナモ作用によって大規模な磁場を生成することが知られています。このような磁場自体は、位相的に自明でない構造を反映して、 磁気らせん性を示します。

規定された位相を条件として、最小エネルギーの状態を決定することには、多くの関心が寄せられています。流体力学と磁気流体力学の多くの問題がこの範疇に入ります。位相流体力学の最近の発展には、太陽コロナの磁気編組、トポイソメラーゼによる DNA の結び目、化学物理学におけるポリマーの絡み合い、および動的システムにおけるカオス的動作への応用も含まれます。この主題の数学的入門は Arnold & Khesin (1998) によってなされており、最近の調査記事と寄稿は Ricca (2009) および Moffatt、Bajer & Kimura (2013) にあります。

トポロジーは、状態方程式が複数の要素（塩分や熱など）に非線形に依存する流体（海洋など）内の中性表面の構造にも重要です。流体塊は、塩分や熱の変動にかかわらず、中性表面に沿って移動するときに中性浮力を維持します。このような表面では、塩分と熱は機能的に関連していますが、この関数は多値です。この関数が単一値になる空間領域は、等値ごとに塩分（または熱）の等高線が最大で 1 つある領域であり、これはまさに表面上の塩分（または熱）のレーブ グラフの各エッジに関連付けられた領域です（Stanley 2019）。

• Arnold, VI & Khesin, BA (1998)流体力学における位相的手法応用数学科学125 、Springer - Verlag。ISBN 9780387949475 
• Boyland, PL, Aref, H. & Stremler, MA (2000) 撹拌の位相流体力学。J.Fluid Mech. 403、pp. 277–304。
• Krause, F. & Rädler, K.-H. (1980)平均場磁気流体力学とダイナモ理論ペルガモン プレス、オックスフォードISBN 9780080250410 
• Moffatt, HK (1978) 導電性流体における磁場生成。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9780521216401 
• Moffatt, HK、Bajer, K.、Kimura, Y.（編）（2013）トポロジカル流体力学、理論と応用。Kluwer。
• オッティーノ、J. (1989) 混合の運動学: 伸張、カオス、輸送。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9780521368780 
• パーカー、EN（1979）宇宙磁場：その起源と活動。オックスフォード大学出版局。ISBN 9780198512905 
• Ricca, RL (編) (2009) トポロジカル流体力学の講義。Springer-CIME 数学講義ノート1973 。Springer -Verlag。ハイデルベルク、ドイツ。ISBN 9783642008368 
• Stanley, GJ, 2019:中立表面トポロジー。海洋モデリング138、88–106。